2012届高三数学一轮复习 7.2 数形结合思想学案

用心 爱心 专心 1 专题七 思想方法专题专题七 思想方法专题第二讲第二讲 数形结合思想数形结合思想 思想方法诠释思想方法诠释 一 数形结合的思想 所谓的数形结合 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系 既分析其代数含义 又揭示其几何意义 使数量关系和空间形式巧妙 和谐地结合起来 并充分利用这种 结合 寻找解题思路 使问题得到解决 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系 通过数与 形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解 形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从形的直观和数的严谨两方面思考问题 拓宽 了解题思路 是数学的规律性与灵活性的有机结合 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来 关键是代数问题与图形之 间的相互转化 它可以使代数问题几何化 几何问题代数化 二 数形结合思想解决的问题常有以下几种 1 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 2 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围 3 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 4 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式 5 构建立体几何模型研究代数问题 6 构建解析几何中的斜率 截距 距离等模型研究最值问题 7 构建方程模型 求根的个数 8 研究图形的形状 位置关系 性质等 三 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧 特别是在解选择题 填 空题时发挥奇特功效 具体操作时 应注意以下几点 1 准确画出函数图象 注意函数的定义域 2 用图象法讨论方程 特别是含参数的方程 的解的个数是一种行之有效的方法 值 得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 有时可能先作适当调整 以 便于作图 然后作出两个函数的图象 由图求解 四 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时 需做到以下四点 1 要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 用心 爱心 专心 2 2 要恰当设参 合理用参 建立关系 做好转化 3 要正确确定参数的取值范围 以防重复和遗漏 4 精心联想 数 与 形 使一些较难解决的代数问题几何化 几何问题代数化 以 便于问题求解 核核心要点突破心要点突破 要点考向要点考向 1 1 利用数学概念或数学式的几何意义解题 利用数学概念或数学式的几何意义解题 例例 1 1 实系数一元二次方程 x2 ax 2b 0 有两个根 一个根在区间 0 1 内 另一个根 在区间 1 2 内 求 1 点 a b 对应的区域的面积 2 的取值范围 3 a 1 2 b 2 2的值域 思路精析 思路精析 列出 a b 满足的条件 画出点 a b 对应的区域 求面积 根据的几何 意义求范围 根据 a 1 2 b 2 2的几何意义求值域 解析 解析 方程 x2 ax 2b 0 的两根在区间 0 1 和 1 2 上的几何意义分别是 函数 y f x x2 ax 2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间 0 1 和 1 2 内 由此可得不等式组 由 解得 A 3 1 由 解得 C 1 0 在如图所示的 aOb 坐标平面内 满足条件的点 a b 对应的平面区域为 ABC 不包括 边界 用心 爱心 专心 3 1 ABC 的面积为 h 为 A 到 Oa 轴的距离 2 几何意义是点 a b 和点 D 1 2 边线的斜率 由图可知 3 a 1 2 b 2 2表示的区域内的点 a b 与定点 1 2 之间距离的平方 注 注 如果等式 代数式的结构蕴含着明显的几何特征 就要考虑用数形结合的思想方法 来解题 即所谓的几何法求解 比较常见的对应有 1 连线的斜率 2 之间的距离 3 为直角三角形的三边 4 图象的对称轴为 x 只要具有一定的观 察能力 再掌握常见的数与形的对应类型 就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法 要点考向要点考向 2 2 用数形结合求方程根的个数 解决与不等式有关的问题 用数形结合求方程根的个数 解决与不等式有关的问题 例例 2 2 1 已知 函数 f x 满足下面关系 f x 1 f x 1 当 x 1 1 时 f x x2 则方程 f x lgx 解的个数是 A 5 B 7 C 9 D 10 2 设有函数 f x a 和 g x 已知 x 4 0 时 恒有 f x g x 求实数 a 的范围 用心 爱心 专心 4 思路精析 思路精析 1 画出 f x 的图象 画出 y lgx 的图象 数出交点个数 2 f x g x 变形为 画出的图象 画出的图象 寻找成立的位置 解析 解析 1 选 C 由题间可知 f x 是以 2 为周期 值域为 0 1 的函数 又 f x lgx 则 x 0 10 画出两函数图象 则交点个数即为解的个数 由图象可知共 9 个交 点 2 f x g x 即 变形得 令 变形得 即表示以 2 0 为圆心 2 为半径的圆的上半 圆 表示斜率为 纵截距为 1 a 的平行直线系 设与圆相切的直线为 AT 其倾斜角为 则有 tan 要使 f x g x 在 x 4 0 时恒成立 则 成立所表示的直线应在直线 AT 的上方或 与它重合 故有 1 a 6 a 5 注 注 1 用函数的图象讨论方程 特别是含参数的指数 对数 根式 三角等复杂方 程 的解的个数是一种重要的思想方法 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟 悉函数的表达式 不熟悉时 需要作适当变形转化为两熟悉的函数 然后在同一坐标系中 作出两个函数的图象 图象的交点个数即为方程解的个数 2 解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问 用心 爱心 专心 5 题 往往可以避免繁琐的运算 获得简捷的解答 3 函数的单调性经常联系函数图象的升 降 奇偶性经常联系函数图象的对称性 最值 值域 经常联系函数图象的最高 最低点的纵坐标 要点考向要点考向 2 2 数形结合在解析几何中的应用 数形结合在解析几何中的应用 例例 3 3 已知椭圆C的中心在原点 一个焦点 0 2 F 且长轴长与短轴长的比 是 2 1 求椭圆C的方程 若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1 过点P作倾斜角互补的两条不同的直线 PA PB分别交椭圆C于另外两点A B 求证 直线AB的斜率为定值 求 PAB 面积的最大值 解析 解析 设椭圆C的方程为 22 22 1 0 yx ab ab 由题意 222 2 1 2 abc a b c 2 分 解得 2 4a 2 2b 所以椭圆C的方程为 22 1 42 yx 4 分 由题意知 两直线PA PB的斜率必存在 设PB的斜率为k 则PB的直线方程为 2 1 yk x 由 22 2 1 1 42 yk x yx 得 用心 爱心 专心 6 222 2 2 2 2 40kxkk xk 6 分 设 AA A xy BB B xy 则 2 2 2 22 1 2 BB kk xx k 同理可得 2 2 2 22 2 A kk x k 则 2 4 2 2 AB k xx k 2 8 1 1 2 ABAB k yyk xk x k 所以直线AB的斜率 2 AB AB AB yy k xx 为定值 8 分 设AB的直线方程为 2yxm 由 22 2 1 42 yxm yx 得 22 42 240 xmxm 由 22 2 2 16 4 0mm 得 2 8m 10 分 此时 2 2 AB m xx 2 4 4 AB m xx P到AB的距离为 3 m d 22 ABAB ABxxyy 2 3 12 2 m 则 2 113 12 2223 PAB m SAB dm 22 22 11118 8 2 22222 mm mm 因为 2 4m 使判别式大于零 所以当且仅当 2m 时取等号 用心 爱心 专心 7 所以 PAB 面积的最大值为 2 13 分 注 注 1 数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形 通过方程等代数的方法来研 究几何问题 也就是解析法 解析法与几何法结合来解题 会有更大的功效 2 此类题目的求解要结合该类图形的几何性质 将条件信息或结论信息结合在一起 观察图形特征 转化为代数语言 即方程 组 或不等式 组 从而将问题解决 要点考向要点考向 2 2 数形结合在立体几何中的应用 数形结合在立体几何中的应用 例例 4 4 如图 1 在直角梯形ABCD中 90ADC CDAB 4 2ABADCD M为线段AB的中点 将ADC 沿AC折起 使平面ADC 平面ABC 得到几何体D ABC 如 图 2 所示 求证 BC 平面ACD 求二面角A CDM 的余弦值 解析解析 在图 1 中 可得 2 2ACBC 从而 222 ACBCAB 故AC BC 取AC中点O连结DO 则DO AC 又面ADC 面ABC 面ADC 面ABC AC DO 面ACD 从而OD 平面ABC 4 分 OD BC 又AC BC ACODO BC 平面ACD 6 分 建立空间直角坐标系O xyz 如图所示 则 0 2 0 M 2 0 0 C 0 0 2 D 2 2 0 CM 2 0 2 CD 8 分 设 1 nx y z 为面CDM的法向量 则 1 1 0 0 n CM n CD 即 220 220 xy xz 解得 yx zx 用心 爱心 专心 8 令 1x 可得 1 1 1 1 n 又 2 0 1 0 n 为面ACD的一个法向量 12 12 12 13 cos 3 3 n n n n nn 二面角A CDM 的余弦值为 3 3 注 1 应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角 线面角 二面角 位置关系中的平行 垂直及点的空间位置 其一般思路是 尽量建立空间直角坐标 系 将要证 要求的问题转化为坐标运算 2 立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质 结合该类图形的 几何性质 将条件信息和结论信息结合在一起 观察图形特征 为代数法求解找到突破口 跟踪模拟训练跟踪模拟训练 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 6 分 共分 共 3636 分 分 1 方程 lgx sinx 的根的个数 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 已知全集 U R 集合 A x x2 3x 103 则右图中阴影部分表示的集合为 A 3 5 B 2 C 2 5 D 5 3 在平面直角坐标系 xOy 中 已知平面区域 A x y x y 1 且 x 0 y 0 则平面区域 B x y x y x y A 的面积为 A 2 B 1 C 1 2 D 1 4 4 函数 32 f xxbxcxd 图象如图 则函数 2 2 33 c yxbx 的单调递增区间为 A 2 B 3 C 3 2 D 2 1 2 3 y x 0 用心 爱心 专心 9 5 不等式组 2 1 42 xa xa 有解 则实数a的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 3 1 D 3 1 6 已知 f x 是定义在 3 3 上的奇函数 当 0 x 3 时 f x 的图象如图所示 那么不等 式 f x cosx 0 的解集是 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 1818 分 分 7 复数 x 2 yi 其中 x y 均为实数 当此虚数的模为 1 时 的取值范围是 8 已知关于 x 的方程 x2 4 x 5 m 有四个不相等的实根 则实数 m 的范围是 9 设 A x y x2 y 1 2 1 B x y x y m 0 则使 A B 成立的实数 m 的取值范围是 三 解答题 三 解答题 1010 1111 题每题题每题 1515 分 分 1212 题题 1616 分 共分 共 4646 分 分 10 如图 已知四棱锥P ABCD 的底面是正方形 PA 底面ABCD 且 2PAAD 点M N分别在侧棱PD PC上 且PM MD 求证 AM 平面PCD 若 1 2 PNNC 求平面AMN与平面PAB的所成锐 二面角的大小 用心 爱心 专心 10 11 如图 1 l 2 l 是通过某市开发区中心 0 的两条南北和东西走向的道路 连接 M N 两地 的铁路是一段抛物线弧 它所在的抛物线关于直线 L1 对称 M 到 L1 L2 的距离分别是 2 km 4km N 到 L1 L2 的距离分别是 3 km 9 kin 1 建立适当的坐标系 求抛物线弧 MN 的方程 该市拟在点 0 的正北方向建设一座工厂 考虑到环境问题 要求厂址到点 0 的距 离大于 5km 而不超过 8km 并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 6 km 求 此厂离点 0 的最近距离 注 工厂视为一个点 12 已知函数 f x x2 8x g x 6lnx m 1 求 f x 在区间 t t 1 上的最大值 h t 2 是否存在实数 m 使得 y f x 的图象与 y g x 的图象有且只有三个不同的交点 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 说明理由 参考答案参考答案 1 解析 选 C 在同一坐标系中作出 y lgx 与 y sinx 的图象 如图 其交点数为 3 2 答案 B 3 用心 爱心 专心 11 作出不等式组表示的平面区域 B 如图所示 根据图形可知该区域为等腰直角三角形 可求 出面积 所以平面区域 B 的面积为 1 4 答案 D 5 答案 A 6 解析 选 B 根据对称性画出 f x 在 3 0 上的图象如 图 结合 y cosx 在 3 0 0 3 上函数值的正负 易知不等式 f x cosx 0 的解集是 7 解析 由题意知 设 则 k 为过圆 x 2 2 y2 1 上的点及原 点的直线斜率 作图如下 又由对称性 可得答案 答案 8 解析 令 f x x2 4 x 5 x 2 2 1 其图象如图 用心 爱心 专心 12 画直线 y m 由图象知当 1 m 5 时 方程有四个不相等的实根 答案 1 5 9 解析 由于集合 A B 都是点的集合 故可结合图形进行分析 求解 集合 A 是一个圆 x2 y 1 2 1 上的点的集合 集合 B 是一个不等式 x y m 0 表示的平面区域内的点的集合 要使 AB 则应使圆被平面区域所包含 如图 即直线 x y m 0 应与圆相切或相离 在圆的下方 而当直线与圆相切时有 故 m 的取值范围是 m 1 答案 m 1 10 解 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA 又 PA AD 2 则有 P 0 0 2 D 0 2 0 0 1 1 2 2 0 MC 2 2 2 PC 0 1 1 AM 3 分 0 0 AM CDAM PCAMCD AMPC AA 又 PCCDCAMPCD 平面 7 分 设 1 2 N x y zPNNC 则有 12 0 2 23 xxx 同理可得 24 33 yz 即得 2 2 4 3 3 3 N 9 分 用心 爱心 专心 13 由 448 0 333 PC ANPCAN 2 2 2 AMNPC 平面的法向量为 而平面 PAB 的法向量可为 0 2 0 AD 43 cos 3124 PC AD PC AD PCAD 故所求平面 AMN 与 PAB 所成锐二面角的大小为 3 3 arccos 12 分 11 解析 1 分别以 1 l 2 l 为x轴 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 则 M 2 4 N 3 9 设 MN 所在抛物线的方程为 caxy 2 则有 ca ca 99 44 解得 0 1 c a 所求方程为 2 xy 2 x 3 5 分 说明 若建系后直接射抛物线方程为 0 2 2 ppyx 代入一个点坐标求对方程 本 问扣 2 分 2 设抛物线弧上任意一点 P x 2 x 2 x 3 厂址为点 A 0 t 5 t 8 由题意得 222 txxPA 6 6 21 224 txtx 07 分 令 2 xu 2 x 3 4 u 9 对于任意的 9 4 u 不等式 6 21 22 tutu 0 恒成立 8 分 用心 爱心 专心 14 设 6 21 22 tutuuf t 5 8 2 21 2 9t 2 15 要使 恒成立 需 0 即 6 4 12 22 tt 010 分 解得t 4 25 t的最小值为 4 25 所以 该厂距离点 O 的最近距离为 6 25km12 分 12 解析 1 f x x2 8x x 4 2 16 当 t 1 4 即 t4 时 f x 在 t t 1 上单调递减 如图 h t f t t2 8t 2 函数 y f x 的图象与 y g x 的图象有且只有三个不同的交点 即函数 x g x f x 用心 爱心 专心 15 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点 x x2 8x 6lnx m 当 x 0 1 时 x 0 x 是增函数 当 x 1 3 时 x 0 x 是增函数 当 x 1 或 x 3 时 x 0 x 极大值 1 m 7 x 极小值 3 m 6ln3 15 当 x 充分接近 0 时 x 0 要使 x 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点 即 7 mc B b c 或 b c 中至少有一个正确 C b c 用心 爱心 专心 17 D 不能确定 解析 选