广东省惠州市2013届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）新人教A版

1 20132013 年广东省惠州市高考数学一模试卷 理科 年广东省惠州市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 5 分 2013 惠州一模 若集合 A x x2 4x 5 0 B x x2 1 则 A B A 1B 1 C 5 1 D 1 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 分别求出集合 A 和 B 中一元二次方程的解 确定出两集合 找出两集合的公共元素 即可求出两集合的交集 解答 解 由集合 A 中的方程 x2 4x 5 0 变形得 x 5 x 1 0 解得 x 5 或 x 1 集合 A 1 5 由集合 B 中的方程 x2 1 解得 x 1 或 x 1 集合 B 1 1 则 A B 1 故选 B 点评 此题属于以一元二次方程的解法为平台 考查了交集及其运算 是高考中常考的基 本题型 2 5 分 2013 惠州一模 已知复数 z i 1 i i 为虚数单位 则复数 z 在复平面上 所对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数的代数表示法及其几何意义 专题 计算题 分析 首先进行复数的乘法运算 写成复数的代数形式 写出复数对应的点的坐标 根据 点的横标和纵标和零的关系 确定点的位置 解答 解 z i 1 i 1 i z i 1 i 1 i 对应的点的坐标是 1 1 复数在复平面对应的点在第二象限 故选 B 2 点评 本题考查复数的代数形式的乘法运算 考查复数在复平面上对应的点的坐标 本题 是一个基础题 这种题目若出现一定是一个必得分题目 3 5 分 2011 陕西 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 则抛物线的方程是 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 考点 抛物线的标准方程 专题 计算题 分析 根据准线方程求得 p 则抛物线的标准方程可得 解答 解 准线方程为 x 2 2 p 4 抛物线的方程为 y2 8x 故选 B 点评 本题主要考查了抛物线的标准方程 考查了考生对抛物线基础知识的掌握 4 5 分 2013 惠州一模 如图是某简单组合体的三视图 则该组合体的体积为 A 36 B 36 2 C 108 D 108 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 几何体是一个简单的空间组合体 前面是半个圆锥 圆锥的底面是半径为 6 的圆 母线长是 12 后面是一个三棱锥 三棱锥的底边长是 12 高为 6 的等腰三角形 三 棱锥的高是 12 求出两个几何体的体积 求和得到结果 解答 解 由三视图知 几何体是一个简单的空间组合体 前面是半个圆锥 圆锥的底面是半径为 6 的圆 母线长是 12 根据勾股定理知圆锥的高是 6 3 半个圆锥的体积是 62 6 36 后面是一个三棱锥 三棱锥的底是边长为 12 高为 6 的等腰三角形 三棱锥的高是 6 三棱锥的体积是 12 6 6 72 几何体的体积是 36 72 36 2 故选 B 点评 本题考查由三视图求几何体的体积 考查由三视图还原几何体直观图 考查锥体的 体积公式 本题是一个基础题 5 5 分 2013 惠州一模 已知向量 则 m A 2B 2C 3D 3 考点 平行向量与共线向量 平面向量的坐标运算 专题 平面向量及应用 分析 由题意求出 通过共线 列出关系式 求出 m 的值 解答 解 因为向量 所以 2 1 m 又 所以 1 1 m 1 2 0 解得 m 3 故选 C 点评 本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算 考查计算能力 6 5 分 2013 惠州一模 设随机变量 服从正态分布 N 3 4 若 P 2a 3 P a 2 则 a 的值为 A B C 5D 3 考点 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题 计算题 分析 根据随机变量符合正态分布 又知正态曲线关于 x 3 对称 得到两个概率相等的区 间关于 x 3 对称 得到关于 a 的方程 解方程即可 解答 解 随机变量 服从正态分布 N 3 4 4 P 2a 3 P a 2 2a 3 与 a 2 关于 x 3 对称 2a 3 a 2 6 3a 7 a 故选 A 点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 本题主要考查曲线关于 x 3 对 称 考查关于直线对称的点的特点 本题是一个基础题 若出现是一个得分题目 7 5 分 2013 惠州一模 已知函数 f x 3x x 9 的零点为 x0 则 x0所在区间为 A B C D 考点 函数零点的判定定理 专题 计算题 分析 根据函数 f x 在 R 上连续 f 0 f 0 从而判断函数的零点 x0所 在区间为 解答 解 函数 f x 3x x 9 在 R 上连续 f 9 0 f 9 0 f f 0 故函数的零点 x0所在区间为 故选 D 点评 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用 属于基础题 8 5 分 2008 辽宁 设 P 为曲线 C y x2 2x 3 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角 的取值范围是 则点 P 横坐标的取值范围是 A B 1 0 C 0 1 D 考点 导数的几何意义 专题 压轴题 分析 根据题意知 倾斜角的取值范围 可以得到曲线 C 在点 P 处斜率的取值范围 进而 5 得到点 P 横坐标的取值范围 解答 解 设点 P 的横坐标为 x0 y x2 2x 3 y 2x0 2 利用导数的几何意义得 2x0 2 tan 为点 P 处切线的倾斜角 又 0 2x0 2 1 故选 A 点评 本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 5 分 2013 惠州一模 在等差数列 an 中 有 a6 a7 a8 12 则此数列的前 13 项之和 为 52 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由等差数列的性质可知 a6 a7 a8 3a7可求 a7 然后代入等差数列的求和公式 13a7即可求解 解答 解 由等差数列的性质可知 a6 a7 a8 3a7 12 a7 4 13a7 52 故答案为 52 点评 本题主要考查了等差 数列的性质及 等差数列的求和公式的简单应用 属于基础试 题 10 5 分 2013 惠州一模 展开式中 常数项是 60 考点 二项式定理 分析 据二项展开式的通项公式求得第 r 1 项 令 x 的指数为 0 得常数项 解答 解 展开式的通项为 6 令得 r 2 故展开式的常数项为 T3 2 2C62 60 故答案为 60 点评 二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具 11 5 分 2013 惠州一模 执行如图的程序框图 那么输出 S 的值是 考点 程序框图 专题 计算题 图表型 分析 框图首先给变量 S k 赋值 S 2 k 1 然后判断 k 2013 是否成立 成立则执行 否则跳出循环 输出 S 然后依次判断执行 由执行结果看出 S 的值呈周期出现 根据最后当 k 2013 时算法结束可求得 S 的值 解答 解 框图首先给变量 S k 赋值 S 2 k 1 判断 1 2013 执行 S k 1 1 2 判断 2 2013 执行 S k 2 1 3 判断 3 2013 执行 S k 3 1 4 7 判断 4 2013 执行 S k 4 1 5 程序依次执行 由上看出 程序每循环 3 次 S 的值重复出现 1 次 而由框图看出 当 k 2012 时还满足判断框中的条件 执行循环 当 k 2013 时 跳 出循环 又 2013 671 3 所以当计算出 k 2013 时 算出的 S 的值为 此时 2013 不满足 2013 2013 跳出循环 输出 S 的值为 故答案为 点评 本题考查了程序框图 是当型结构 即先判断后执行 满足条件执行循环 不满足 条件 跳出循环 算法结束 解答的关键是算准周期 是基础题 12 5 分 2013 惠州一模 已知集合 A B C A 直线 B 平面 C A B 若 a A b B c C 给出下列四个命题 其中所有正确命题的序号是 考点 空间中直线与直线之间的位置关系 命题的真假判断与应用 专题 证明题 空间位置关系与距离 分析 由题意可知 c 可以是直线 也可以是平面 当 c 表示平面时 都不正确 在正 方体中举出反例可得 不正确 而根据空间位置关系进行推理可得 正确 由此可 得本题的答案 解答 解 对于 当 c 表示平面时 根据 a b 且 c b 不一定有 a c 成立 可能 a c 故 不正确 对于 以正方体过同一个顶点的三条棱为 a b c 可得 a b 且 c b 但是 a c 是相交直线 故 不正确 对于 当 c 表示平面时 由 a b 且 c b 不能推出 a c 成立 故 不正确 对于 用与 相同的方法 可证出 a c 成立 故 正确 综上 正确命题的序号为 故答案为 点评 本题给出关于位置关系的几个命题 叫我们找出其中的真命题 着重考查了平行公 8 理及其推论 线面平行与线面垂直的判定与性质和命题真假的判断等知识 属于基 础题 13 5 分 2013 惠州一模 设变量 x y 满足约束条件 则目标函数 z 3x 2y 的最小值为 4 考点 简单线性规划 专题 计算题 分析 先根据条件画出可行域 设 z 3x 2y 再利用几何意义求最值 将最小值转化为 y 轴上的截距最大 只需求出直线 z 3x 2y 过可行域内的点 A 时的最小值 从而得 到 z 最小值即可 解答 解 在坐标系中画出可行域 如图所示 由 z 3x 2y 可得 y 则 表示直线 z 3x 2y 在 y 轴上的截距 截距越 大 z 越小 平移直线 3x 2y 0 经过点 A 时 z 最小 由可得 A 0 2 此时最小值为 4 则目标函数 z 3x 2y 的最小值为 4 故答案为 4 点评 借助于平面区域特性 用几何方法处理代数问题 体现了数形结合思想 化归思 想 线性规划中的最优解 通常是利用平移直线法确定 14 5 分 2013 惠州一模 坐标系与参数方程选做题 9 若直线 l 的极坐标方程为 曲线 C 1 上的点到直线 l 的距 离为 d 则 d 的最大值为 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 直线与圆的位置关系 专题 计算题 直线与圆 分析 求出直线的直角坐标方程 圆的直角坐标方程 通过圆心到直线的距离求出 d 的最 大值 解答 解 直线的直角坐标方程为 x y 6 0 曲线 C 的方程为 x2 y2 1 为圆 d 的最大值为圆心到直线的距离加半径 即为 故答案为 点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与圆的位置关系 考查计算能 力 15 2013 惠州一模 几何证明选做题 如图圆 O 的直径 AB 6 P 是 AB 的延长线上一点 过点 P 作圆 O 的切线 切点为 C 连接 AC 若 CPA 30 则 PC 3 考点 与圆有关的比例线段 专题 压轴题 直线与圆 分析 连接 OC 由 PC 是 O 的切线 可得 OC PC 于是 即可解出 解答 解 连接 OC PC 是 O 的切线 OC PC 又 CPA 30 R 3 故答案为 点评 熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 10 16 12 分 2013 惠州一模 已知 f x Asin x 1 x R 其中 的周期为 且图象上一个最低点为 M 1 求 f x 的解析式 2 当时 求 f x 的值域 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 1 通过函数的周期求出 利用函数图象上一个最低点求出 A 列出关系式求出 推出函数的解析式 2 利用函数的解析式 通过 x 的范围 求出相位的范围 利用正弦函数的值域求 解函数的值域即可 解答 解 1 因为函数的周期为 所以 T 所以 2 因为函数图象上一个最低点为 M 所以 A 1 1 所以 A 2 并且 1 2sin 2 1 可得 sin 2 1 2k k Z 2k k Z 因为 所以 k 1 解得 函数的解析式为 f x 2sin 2x 1 2 因为 所以 2x sin 2x 2sin 2x 2sin 2x 1 所以 f x 的值域为 点评 本题考查三角函数的解析式的求法 函数的值域的求法 基本知识的应用 考查计 算能力 17 12 分 2013 惠州一模 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中 规定每位同 学只能选一个科目 已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙 情 况如下表 科目甲科目乙总计 11 第一小组 156 第二小组 246 总计 3912 现从第一小组 第二小组中各任选 2 人分析选课情况 1 求选出的 4 人均选科目乙的概率 2 设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数 求 的分布列和数学期望 考点 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 专题 综合题 概率与统计 分析 1 设 从第一小组选出的 2 人选科目乙 为事件 A 从第二小组选出的 2 人选科 目乙 为事件 B 利用古典概型的概率计算公式可求得 P A P B 再利用独立 事件同时发生的概率公式可得答案 2 可能的取值为 0 1 2 3 根据古典概型的概率计算公式分别求得 P 0 P 1 P 3 再用对立事件的概率求得 P 2 从而可得分 布列 由数学期望的定义可得 的数学期望 解答 解 1 设 从第一小组选出的 2 人选科目乙 为事件 A 从第二小组选出的 2 人 选科目乙 为事件 B 由于事件 A B 相互独立 且 P A P B 所以选出的 4 人均选科目乙的概率为 P A B P A P B 2 可能的取值为 0 1 2 3 则 P 0 P 1 P 3 P 2 1 P 0 P 1 P 3 的分布列为 所以 的数学期望为 0 1 2 3 1 点评 本题考查离散型随机变量的分布列 数学期望及古典概型的概率计算公式 考查学 生对表格的理解应用能力 属中档题 12 18 14 分 2013 惠州一模 如图 ABC A1B1C1 中 侧棱与底面垂直 AB AC AB AC AA1 2 点 M N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点 1 证明 MN 平面 A1ACC1 2 求二面角 N MC A 的正弦值 考点 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 二面角的平面角及求法 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 如图所示 取 A1B1的中点 P 连接 MP NP 利用三角形的中位线定理可得 NP A1C1 MP B1B 再利用线面平行的判定定理可得 NP 平面 A1ACC1 MP 平面 A1ACC1 利用面面平行的判定定理可得平面 MNP 平面 A1ACC1 进而得到线面平行 MN 平面 A1ACC1 2 通过建立空间直角坐标系 利用两个平面的法向量的夹角即可得出 解答 解 1 如图所示 取 A1B1的中点 P 连接 MP NP 又 点 M N 分别为 A1B 和 B1C1的中点 NP A1C1 MP B1B NP 平面 MNP A1C1 平面 MNP NP 平面 A1ACC1 同理 MP 平面 A1ACC1 又 MP NP P 平面 MNP 平面 A1ACC1 MN 平面 A1ACC1 2 侧棱与底面垂直可得 A1A AB A1A AC 及 AB AC 可建立如图所示的空间直 角坐标系 则 A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 2 0 A1 0 0 2 B1 2 0 2 C1 0 2 2 N 1 1 2 M 1 0 1 1 2 1 1 1 2 0 2 0 设平面 ACM 的法向量为 x1 y1 z1 则 令 x1 1 则 z1 1 y1 0 1 0 1 设平面 NCM 的法向量为 x2 y2 z2 则 令 x2 3 则 y2 1 z2 1 13 3 1 1 设二面角 N MC A 为 则 故二面角 N MC A 的正弦值为 点评 本题综合考查了线面平行 面面平行 二面角 三角形的中位线定理 平面的法向 量等基础知识 考查了空间想象能力 推理能力和计算能力 19 14 分 2013 惠州一模 已知中心在原点 O 焦点在 x 轴上 离心率为的椭圆过 点 1 求椭圆的方程 2 设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P Q 两点 满足直线 OP PQ OQ 的斜率依次成 等比数列 求 OPQ 面积的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 计算题 分析 1 设出椭圆的方程 将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于 14 椭圆的三个参数的等式 解方程组求出 a b c 的值 代入椭圆方程即可 2 设出直线的方程 将直线方程与椭圆方程联立 消去 x 得到关于 y 的二次方程 利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系 将直线 OP PQ OQ 的斜率用坐标表 示 据已知三个斜率成等比数列 列出方程 将韦达定理得到的等式代入 求出 k 的值 利用判别式大于 0 得到 m 的范围 将 OPQ 面积用 m 表示 求出面积的范围 解答 解 1 由题意可设椭圆方程为 a b 0 则 则故 所以 椭圆方程为 2 由题意可知 直线 l 的斜率存在且不为 0 故可设直线 l 的方程为 y kx m m 0 P x1 y1 Q x2 y2 由消去 y 得 1 4k2 x2 8kmx 4 m2 1 0 则 64k2b2 16 1 4k2b2 b2 1 16 4k2 m2 1 0 且 故 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 因为直线 OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 所以 k2 即 m2 0 又 m 0 所以 k2 即 k 由于直线 OP OQ 的斜率存在 且 0 得 0 m2 2 且 m2 1 设 d 为点 O 到直线 l 的距离 则 S OPQ d PQ x1 x2 m 所以 S OPQ的取值范围为 0 1 点评 求圆锥曲线的方程 一般利用待定系数法 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题 一般设出直线方程 将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个未知数 得到关于 15 一个未知数的二次方程 利用韦达定理 找突破口 注意设直线方程时 一定要讨 论直线的斜率是否存在 20 14 分 2013 惠州一模 已知函数 f x logmx mm 为常数 0 m 1 且数列 f an 是首项为 2 公差为 2 的等差数列 1 若 bn an f an 当 m 时 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 2 设 cn an lgan 如果 cn 中的每一项恒小于它后面的项 求 m 的取值范围 考点 数列的求和 数列的函数特性 专题 计算题 综合题 分析 1 用等差数列求和公式 结合对数的运算性质可得 an m2n 从而有 bn n n 1 最后用错位相减法结合等比数列的求和公式 得到数列 bn 的前 n 项和 Sn 2 由题意 不等式 cn cn 1对一切 n N 成立 代入 an的表达式并化简可得 m2 min 通过讨论单调性可得当 n 1 时 的最小值是 从而得到 m2 结合 0 m 1 得到实数 m 的取值范围是 0 解答 解 1 由题意得 f an 2 2 n 1 logman 可得 2n logman 1 分 an m2n 2 分 bn an f an 2n m2n m bn an f an 2n 2n n n 1 3 分 Sn 1 0 2 1 3 2 n n 1 Sn 1 1 2 2 3 3 n n 4 分 得 Sn 0 1 2 n 1 n n 6 分 化简得 Sn n 2 n 1 4 7 分 2 解 由 知 cn an lgan 2n m2nlgm 要使 cn cn 1对一切 n N 成立 即 nlgm n 1 m2lgm 对一切 n N 成立 8 分 0 m 1 可得 lgm 0 原不等式转化为 n n 1 m2 对一切 n N 成立 只需 m2 min即可 10 分 16 h n 在正整数范围内是增函数 当 n 1 时 min 12 分 m2 且 0 m 1 0 m 13 分 综上所述 存在实数 m 0 满足条件 14 分 点评 本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体 求数列的前 n 项和并求数列单调递 增时参数的取值范围 着重考查了等差 等比数列的通项公式与求和公式 以及不 等式恒成立问题的讨论等知识 属于中档题 21 14 分 2013 惠州一模 已知函数 f x ax2 bx 1 在 x 3 处的切线方程为 y 5x 8 1 求函数 f x 的解析式 2 若关于 x 的方程 f x kex恰有两个不同的实根 求实数 k 的值 3 数列 an 满足 2a1 f 2 求 的整数部分 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 函数解析式的求解及常用方法 函数的零点与 方程根的关系 数列的求和 专题 函数的性质及应用 等差数列与等比数列 分析 1 把 x 3 代入切线方程 求出切点 把切点坐标代入