广东省2012届高三数学全真模拟卷6 理

用心 爱心 专心 1 广东省广东省 20122012 届高三全真模拟卷数学理科届高三全真模拟卷数学理科 6 6 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 8 题题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分分 在每题列出的四个选项中 只有一项是最在每题列出的四个选项中 只有一项是最 符合题目要求的符合题目要求的 1 1 已知复数 i为虚数单位 则复数在复平面上所对应的点位于 1 zii z A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限 2 2 等差数列 n a中 若 582 15aaa 则 5 a等于 A 3 B 4 C 5 D 6 3 3 已知向量等于 cos 2 sin 1 tan 4 abab 且 则 A B C D 33 3 1 3 1 4 4 直线在轴和轴上的截距相等 则的值是 02 ayaxlxya A B C 或 D 或1 2 1 2 5 5 设变量满足约束条件 则的最大值为 x y 20 70 1 xy xy x y x A B C D 9 5 346 6 6 是 的 22 ab 22 loglogab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 7 若一个底面边长为 棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上 则此球的 6 2 6 体积为 A B C D 72 2 32 3 9 2 4 3 8 8 设 S 是至少含有两个元素的集合 在 S 上定义了一个二元运算 即对任意的 a b S 对于有序元素对 a b 在 S 中有唯一确定的元素 a b 与之对应 若对于任意的 a b S 有 a b a b 则对任意的 a b S 下列等式中不能成立的是 A a b a a B a b a a b a C b b b b D a b b a b b 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 分为必做题和选做题两部分 考生作答小题 分为必做题和选做题两部分 考生作答 6 6 小题小题 每小题每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 第 一 必做题 第 9 9 至至 1313 题为必做题 每道试题考生都必须作答 题为必做题 每道试题考生都必须作答 9 9 的展开式中的常数项为 23 2 x x 用心 爱心 专心 2 B O D A C 1010 如果执行右面的程序框图 那么输出的 S 1111 若直线 10 0 0 l axbyab 始终平分圆M 22 8210 xyxy 的周长 则 14 ab 的最小值为 12 12 如图所示 在一个边长为 1 的正方形内 曲线AOBC 和曲线围成一个叶形图 阴影部分 向正方形 2 yx yx 内随机投一点 该点落在正方形内任何一点是等可AOBCAOBC 能的 则所投的点落在叶形图内部的概率是 13 13 某班有 50 名学生 一次考试的成绩 N 服从正态分布 2 100 10 N 已知 90100 0 3P 估计该班数学成绩在 110 分以上的人数为 二 选做题 第 二 选做题 第 1414 1515 题为选做题 考生只能选做其中的一题 两题全答的 只计算前题为选做题 考生只能选做其中的一题 两题全答的 只计算前 一题的得分一题的得分 1414 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 从圆外一点引圆的切线和割线 已知OAADABC 圆的半径为 则圆心到的距离为 2 3AD 6AC O3OAC 1515 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 若过点且与极轴垂直的直线 0 3 A 交曲线于 A B 两点 则 cos4 AB 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1616 本小题满分本小题满分1212分分 已知向量 且 A为锐角 sin cos mAA 3 1 n 1m n 求角的大小 求函数的值域 A cos24cossin f xxAx xR 1717 本小题满分本小题满分1212分分 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂 准备进行某种实验 过圆锥高的中点有一个 不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区 其中小锥体叫第一实验区 圆 台体叫第二实验区 且两个实验区是互通的 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的 1 求蜜蜂落入第二实验区的概率 2 若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色 求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率 3 记为落入第一实验区的蜜蜂数 求随机变量的数学期望 XX 第 12 题图 用心 爱心 专心 3 1818 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 在四棱锥中 底面是一直角梯形 PABCD ABCD 与底面成角 aBCABBCADBAD 90 PDABCDPAaAD 2底面 30 1 若为垂足 求证 2 在 1 EPDAE PDBE 的条件下 求异面直线与所成角的余弦值 3 求平面AECD 与平面所成的锐二面角的正切值 PABPCD 1919 本小题满分本小题满分1414分分 已知直线10 xy 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 相交于A B两点 M是线段AB上的一点 AMBM 且点M在直线 1 2 l yx 上 1 求椭圆 的离心率 2 若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆 22 1xy 上 求椭圆的方程 2020 本小题满分本小题满分1414分分 已知函数 2 1 2lnf xa xx I 当的单调区间 1 af x 时求 II 若函数的最小值 1 0 2 f xa在上无零点求 III 若求证 0mn m nm nm 2 lnln 2121 本小题满分本小题满分 1414 分分 设单调递增函数的定义域为 且对任意的正实数 x y f x 0 有 且 f xyf xf y 1 1 2 f 一个各项均为正数的数列满足 其中为数列 n a 1 1 nnn f sf af a n S 的前 n 项和 求数列的通项公式 n a n a 用心 爱心 专心 4 在 的条件下 是否存在正数 M 使下列不等式 1212 221 21 21 21 n nn a aaMnaaa 对一切成立 若存在 求出 M 的取值范围 若不存在 请说明理由 nN 参考答案参考答案 一 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分分 题号 12345678 答案 BCBDDBDA 1 选 提示 因为 所以对应的点在复平面的第二象限 1 1 ziii 1 1 ziii 2 选 提示 582 15aaa 得 所以 5 a 2855 215aaaa 3 选 提示 cos 2sin tan tan 4 ab 由 得 即 所以 4 选 提示 注意直线可以过原点和同截正负半轴 截距有正负之分 两种情形 5 选 提示 画出可行域 在数形结合中的斜率解决 6 选 提示 注意 a b 的正负号 7 选 提示 把六棱柱镶嵌到球体里面中 注意半径 棱柱的高 及棱柱底面边长的关系 8 选 提示 此题为信息题 认真反复阅读理解题意 依样画葫芦 二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 其中分 其中 14 1514 15 题是选做题 考生只能选做一题 题是选做题 考生只能选做一题 9 9 12 10 10 11 11 255016 12 12 1313 1414 1515 1 3 1052 3 9 12 提示 23223 22 3 22 xCx xx 2 1 的展开式中的常数项即 10 2550 提示 依照框图运行 11 16 提示 始终平分圆就是圆心在直线上 然后用基本不等式 12 1 3 提示 此题为几何概型 用定积分求出面积的比值 13 10 提示 有正态分布的性质知 90 110 有 30 人 90 分以下和 110 以上 分别 10 人 14 提示 先用切割线定理求出 的长度 然后5 2 1 2 drBC 距离 15 提示 全部转化到直角坐标系中去解决 2 3 用心 爱心 专心 5 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 16 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 本小题主要考查平面向量的数量积计算 三角函数的基本公式 三角恒等变换 一元二次 本小题主要考查平面向量的数量积计算 三角函数的基本公式 三角恒等变换 一元二次 函数的最值等基本知识 考查运算能力 函数的最值等基本知识 考查运算能力 解 由题意得 2 分3sincos1 m nAA A 2sin 1 6 A 4 分 1 sin 62 A 由为锐角A 得 66 3 A 6 分 663 AA 由 可得 7 分 1 cos 2 A 所以 cos22sinf xxx 2 12sin2sinxx 9 分 2 13 2 sin 22 x 因为 xR 则 sin1 1x 当时 1 sin 2 x 有最大值 f x 3 2 当时 sin1x 有最小值 11 分 f x3 故所求函数的值域是 12 分 f x 3 3 2 17 17 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 本小题主要考查几何概型 二项分布 数学期望等知识 考查或然与必然的数学思想方法 本小题主要考查几何概型 二项分布 数学期望等知识 考查或然与必然的数学思想方法 以及数据处理能力 运算求解能力和应用意识以及数据处理能力 运算求解能力和应用意识 用心 爱心 专心 6 解 1 记 蜜蜂落入第一实验区 为事件 A 蜜蜂落入第二实验区 为事件 1 分 B 依题意 V P A V 小椎体 圆椎体 3 分 1 11 1 3 42 1 8 3 Sh Sh 圆锥底面圆锥 圆锥底面圆锥 7 1 8 P BP A 蜜蜂落入第二实验区的概率为 4 分 7 8 2 记 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区 为事件 C 则 5 分 3010 9 1 10 2 70 8 70 8 1 8 7 CCP 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率 8 分 30 70 2 3 因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的 所以变量满足二项分布 即 10 分XX 1 40 8 随机变量 X 的数学期望 40 5 12 分EX 1 8 18 18 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 本小题主要考查空间线线关系 面面关系 空间向量及坐标运算等知识 考查数形结合 本小题主要考查空间线线关系 面面关系 空间向量及坐标运算等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 解法一 1 90 BAD BAAD PAABCDBAPA 底面 PAADA 又 BAPAD 平面 用心 爱心 专心 7 PDPAD 平面 PDBA PDAE 又 BAAEA 且 PDBAE 平面 4 分 PDBEBEPD 即 2 过点作交于 连结 E EMCDPCMAM 则与所成角即为与所成角 AEMEAECD 30 PAABCDPDABCD 底面且与底面成角 30 PDA 90 30 2 Rt PADPADPDAADa 在中 2 2 2 3 3 3 2 34 3 3 a PA PEa CDa PD a 3 2 2 3 44 3 3 aa CD PE MEa PD a 2 34 3 33 PAa PDa 2 3 2 3 4 3 3 aa PA AD AEa PD a AC连结 2 2 2 ACDADa ACa CDa 在中 用心 爱心 专心 8 222 ADACCD 90 ACD CDAC MEAC PAABCD 又底面 PACD MEPA MEPAC 平面 MAPAC 平面 2 cos 4 MEAM ME Rt AMEMEA AE 在中 异面直线与所成角的余弦值为 9 分AECD 4 2 3 延长与相交于点 连 ABDCGPG 则面与面的交线为 易知 平面 PABPCDPGCBPAB 过作 B BFPGFCFCFPG 于点连则 CFBCPGA 为二面角的平面角 1 2 CBAD 2 3 30 2 3 GBABaPDAPAa AGa 30 1 tan2 22 2 PGA aa BFGBBFC a 平面与平面所成的二面角的正切值为 2 14 分PABPCD 解法二 1 如图建立空间直角坐标系 13 0 0 0 0 0 0 22 AB aEaa则 2 3 0 0 2 0 0 0 3 C a aDaPa 用心 爱心 专心 9 13 22 2 3 0 2 2 132 3 02 0 222 BEaaa PDaa BE PDaaaa 4 分PDBE 2 由 1 知 0 2 3 2 1 0 aaCDaaAE AECD 设与所成角为 异面直线 222222 13 0 0 2 22 cos 4 13 0 0 22 aa aa AE CD AECD aaaa 则 与所成角的余统值为 9 分AECD 4 2 3 易知 PACBABCB 则 CBPAB 平面 的法向量 BCPAB 是平面 0 0 BCa 用心 爱心 专心 10 2 3 0 3 0 0 2 3 0 3 3 0 1 1 1 3 cos PCDmx y z mPC mCDPCa aa CDa a m PCm CD xy axayaz zy axay ymBCm BC m 又设平面的一个法向量为 则而 由 得 令设向量与所成角为 则 222222 0 11 035 5 5 0011 3 tan2 aa BCma a 平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为 2 14 分 19 19 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系 对称问题等知识 考查数形结合 化归与转化 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系 对称问题等知识 考查数形结合 化归与转化 函数与方程的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力函数与方程的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力 解 设A B两点的坐标分别为 1122 A x yB xy I 由AMBM 知M是AB的中点 1 分 由 22 22 10 1 xy xy ab 得 2222222 20abxa xaa b 4 分 22 121212 2222 22 2 ab xxyyxx abab 5 分 M 点的坐标为 22 2222 ab abab 又M点在直线上 22 2222 2 0 ab abab 6 分 222222 22 2abacac 2 2 c e a 7 分 用心 爱心 专心 11 II 由 1 知bc 不妨设椭圆的一个焦点坐标为 0 F b 设 0 F b 关于直线 1 2 l yx 的对称点为 00 xy 8 分 则有 0 0 00 0 1 1 2 20 22 y xb xby 解得 0 0 3 5 4 5 xb yb 11 分 由已知 22 00 1xy 22 34 1 55 bb 2 1b 13 分 所求的椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 14 分 20 20 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 本小题主要考查函数与导数等知识 考查恒成立问题 化归与转化的数学思想方法 以及 本小题主要考查函数与导数等知识 考查恒成立问题 化归与转化的数学思想方法 以及 推理论证能力和运算求解能力推理论证能力和运算求解能力 I 解 当1 12ln af xxx 时 1 分 2 1 fx x 则 由 0 2 fxx 得 由 3 分 0 02 fxx 得 故 0 2 f x 的单调减区间为 4 分 2 单调增区间为 II 解 因为上恒成立不可能 1 0 0 2 f x 在区间 用心 爱心 专心 12 故要使函数上无零点 1 0 2 f x 在 只要对任意的恒成立 1 0 0 2 xf x 即对恒成立 6 分 12ln 0 2 21 x xa x 令 2ln1 2 0 12 x l xx x 则 7 分 22 22 1 2ln2ln2 1 1 xxx xx l x xx 22 21 2ln2 0 2 222 1 0 m xxx x x m x xxx 再令 则 1 0 2 m x故在上为减函数 1 22ln20 2 1 0 0 2 m xm l xl x 于是 从而 于是在上为增函数 1 24ln2 2 2ln 2 24ln2 1 l xl x aa x 所以 故要使恒成立只要 综上 若函数 1 0 2 f x 在上无零点 9 分2