广东省梅州市培英中学七年级数学下册 《第五章 三角形》知识要点梳理 北师大版

用心 爱心 专心1 北七下知识要点分章梳理北七下知识要点分章梳理 第五章 三角形 三角形三边关系 三角形三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS 三角形SAS 全等三角形全等三角形的判定ASA AAS HL 适用于 Rt 全等三角形的应用利用全等三角形测距离 作三角形 一 三角形概念 1 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 称为三角形 可以用符号 表示 2 顶点是 A B C 的三角形 记作 ABC 读作 三角形 ABC 3 组成三角形的三条线段叫做三角形的边 即边 AB BC AC 有时也用 a b c 来表示 顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示 边 AC AB 分别用 b c 来表示 4 A B C 为 ABC 的三个内角 二 三角形中三边的关系 1 三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 用字母可表示为 a b c a c b b c a a b c a c b b cc a c b b c a 同时成立时 能组成三角形 2 当两条较短线段之和大于最长线段时 则可以组成三角形 3 确定第三边 未知边 的取值范围时 它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和 即 abcab 三 三角形中三角的关系 1 三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于 1800 2 三角形按内角的大小可分为三类 1 锐角三角形 即三角形的三个内角都是锐角的三角形 2 直角三角形 即有一个内角是直角的三角形 我们通常用 Rt 表示 直角三角形 其中直角 C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边 夹直角的两边称为直角三角形的直角 边 注 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 3 钝角三角形 即有一个内角是钝角的三角形 用心 爱心 专心2 3 判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数 4 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 5 任意一个三角形都具备六个元素 即三条边和三个内角 都具有三边关系和三内角之和 为 1800的性质 6 三角形内角和定理包含一个等式 它是我们列出有关角的方程的重要等量关系 四 三角形的三条重要线段 1 三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线 中线和高线 2 三角形的角平分线 1 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的角平分线 2 任意三角形都有三条角平分线 并且它们相交于三角形内一点 3 三角形的中线 1 在三角形中 连接一个顶点与它对边中点的线段 叫做这个三角形的中线 2 三角形有三条中线 它们相交于三角形内一点 4 三角形的高线 1 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线 简称为三角形的高 2 任意三角形 都有三条高线 它们所在的直线相交于一点 区 别相 同 中 线平分对边三条中线交于三角形内部 角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部 锐角三角形 三条高线都在三角形 内部 直角三角形 其中两条恰好是直角 边 高 线 垂直于对 边 或其 延长线 钝角三角形 其中两条在三角表外 部 1 都是线段 2 都从顶点画出 3 所在直线相交于 一点 五 全等图形 1 两个能够重合的图形称为全等图形 2 全等图形的性质 全等图形的形状和大小都相同 3 全等图形的面积 或周长均相等 4 判断两个图形是否全等时 形状相同与大小相等两者缺一不可 5 全等图形在平移 旋转 折叠过程中仍然全等 6 全等图形中的对应角和对应线段都分别相等 六 全等分割 1 把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割 2 对一个图形全等分割 1 首先要观察分析该图形 发现图形的构成特点 2 其次要大胆尝试 敢于动手 必要时可采用计算 交流 讨论等方法完成 七 全等三角形 1 能够重合的两个三角形是全等三角形 用符号 连接 读作 全等于 2 用 连接的两个全等三角形 表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边 对应角相等 这是今后证明边 角相等的重 用心 爱心 专心3 要依据 4 两个全等三角形 准确判定对应边 对应角 即找准对应顶点是关键 八 全等三角形的判定 1 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写为 角边角 或 ASA 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写为 角角边 或 AAS 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写为 边角边 或 SAS 5 注意以下内容 1 三角形全等的判定条件中必须是三个元素 并且一定有一组边对应相等 2 三边对应相等 两边及夹角对应相等 一边及任意两角对应相等 这样的两个三角形 全等 3 两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等 6 熟练运用以下内容 1 熟练运用三角形判定条件 是解决此类题的关键 2 已知 SS 可考虑 A 第三边 即 SSS B 夹角 即 SAS 3 已知 SA 可考虑 A 另一角 即 AAS 或 ASA B 夹角的另一边 即 SAS 4 已知 AA 可考虑 A 任意一边 即 AAS 或 ASA 7 三角形的稳定性 根据三角形全等的判定方法 SSS 可知 只要三角形三边的长度确 定了 这个三角形的形状和大小就完全确定了 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性 九 作三角形 1 作图题的一般步骤 1 已知 即将条件具体化 2 求作 即具体叙述所作图形应满足的条件 3 分析 即寻找作图方法的途径 通常是画出草图 4 作法 即根据分析所得的作图方法 作出正式图形 并依次叙述作图过程 5 证明 即验证所作图形的正确性 通常省略不写 2 熟练以下三种三角形的作法及依据 1 已知三角形的两边及其夹角 作 三角形 2 已知三角形的两角及其夹边 作三角形 3 已知三角形的三边 作三角形 十 利用三角形全等测距离 1 利用三角形全等测距离 实际上是利用已有的全等三角形 或构造出全等三角形 运用 全等三角形的性质 对应边相等 把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易 测量的线段的长度 从而得到被测距离 2 运用全等三角形解决实际问题的步骤 1 先明确实际问题应该用哪些几何知道解决 2 根据实际问题抽象出几何图形 3 结合图形和题意分析已知条件 4 找到解决问题的途径 十一 直角三角形全等的条件 1 在直角三角形中 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 2 HL 是直角三角形特有的判定条件 对非直角三角形是不成立的 用心 爱心 专心4 3 书写时要规范 即在三角形前面必须加上 Rt 字样 十二 分析 综合法 1 我们在平时解几何题时