广东省广州市七区2012-2013学年高二数学下学期期末教学质量监测试题 理 新人教A版

1 绝密 启用前 广州市七区广州市七区 20122012 学年第二学期期末教学质量监测试卷学年第二学期期末教学质量监测试卷 高二数学高二数学 理科理科 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟 分钟 注意事项注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔 和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 本次考试不允许使用计算器 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式与数据 在次独立重复试验中 用表示事件发生的次数 若每次试验中事件发生nXAA 的概率为 则p C 1 0 1 2 kkn k np pkP Xkn 91011 0 349 0 90 387 0 90 90 314 第一部分选择题第一部分选择题 共 40 分 一 选一 选择择题题 本本大题共大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 中 只有一项是符合题目要求的 1 若 为虚数单位 则复数在复平面内对应的点所在象限为 i i i 2 2 z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 选 D 所以对应的点在第四象限 2 2 34 55 i 5 iz z 2 命题 所有能被 2 整除的数都是偶数 的否定是 A 所有不能被 2 整除的数都是偶数 B 所有能被 2 整除的数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D 存在一个能被 2 整除的数不是偶数 2 解析 选 把全称量词改为存在量词 并把结果否定 3 已知随机变量服从正态分布 且 则 2 2 N 0 02P 4P A 0 6B 0 4C 0 3D 0 2 解析 选 D 由正态分布的规律可知 40 0 2PP 4 由曲线所围成图形的面积为 2 0 1yxyx A B C D 1 2 1 3 1 2 1 6 解析 选 由定积分的定义可知 面积为 1 1 0 2 0 3 11 33 Sx d xx 5 双曲线的实轴长是 xy A 2B C 4D 解析 选 C 可变形为 则 xy 22 1 48 xy 2 4a 2a 24a 6 若 则的解集为 lnf xxxx fx A B C D U 解析 选 C 因为 原函数的定义域为 xx fxx xx 0 所以由可得 解得 fx 2 20 xx 2x 7 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目 且在同一个城市投资的项目不超 过 2 个 则该外商不同的投资方案有 A 16 种B 36 种C 42 种 D 60 种 解析 选 D 有两种情况 一是在两个城市分别投资 1 个项目 2 个项目 此时有 种方案 二是在三个城市各投资 1 个项目 有种方案 共计有 60 种 12 34 CA36 3 4 A24 方案 8 设是定义在正整数集上的函数 且满足 当成立时 总可推 f x f x 2 f kk 3 出成立 那么 下列命题总成立的是 2 1 1 f kk 若成立 则成立 1 1f 10 100f 若成立 则成立 2 4f 1 1 f 若成立 则当时 均有成立9 3 f 1k 2 f kk 若成立 则当时 均有成立2 4 5f 4k 2 f kk 解析 选 D 对于 A 选项 原命题的否命题不一定成立 对 B 选项 由原命题与其逆否 命题等价可知 应有 对 C 选项 只能得出 对于任意的 均有 1 1f 3k 2 f kk 成立 不能得出 对任意的 均有 2 f kk 成立 对 D 选项 因为1k 所以对于任意的4k 均有 2 f kk 成立 214 6 5f 第二部分非选择题第二部分非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 已知 则 1 1 1 2 3 11 ab ba 解析 填 13 222 2 1 3 1 11 1691 13ba 10 在的二项展开式中 第 4 项的系数为 25 1 2 x x 解析 填 因为 所以第 4 项40 32 5 31 323 43 155 2 C240C TTxxxx 的系数为 40 11 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了 1 枚劣币 国王怀疑大臣作 弊 他用在 10 箱子中各任意抽查的方法来检测 国王能发现至少一枚劣币的概率为 解析 填 每箱的选中劣币的概率为 10 箱子中一枚劣币也不能检测出的0 651 1 10 概率为 所以国王能发现至少一枚劣币的概率为 0010 10 0 1 0 9 C 0010 10 1 0 1 0 9 0 651C 4 12 已知某生产厂家的年利润 单位 万元 与年产量 单位 万件 的函数关yx 系式为 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万 3 1 81234 3 yxx 件 解析 填 令导数 解得 令导数 2 810yx 09x 2 810yx 解得 所以函数在区间上是增函数 在区间上9x 3 1 81234 3 yxx 0 9 9 是减函数 所以在处取极大值 也是最大值 9x 13 设函数 已知 0 2 x f xx x 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推理可得 当 且时 n N2n 1 nn fxf fx 解析 填 观察知四个等式等号右边的分母为 21 2 nn x x 即 所2 34 78 1516xxxx 2 1 2 4 1 4 8 1 8 16 1 16xxxx 以归纳出分母为的分母为 故当且时 1 nn fxf fx 21 2 nn x n N 2n 1 nn fxf fx 21 2 nn x x 14 抛物线的焦点为 点 若线段的中点在抛物线 2 2 0 ypx p F 0 2 AFAB 上 则到该抛物线焦点的距离为 B 解析 填 点坐标为 点坐标为 由抛物线的定义可知 3 2 4 F 0 2 p FB 1 4 p B 解得 点坐标为 所以点到抛物线准线的距离 2 1 442 ppp 2p B 2 1 4 B 为 33 2 4244 pp p 5 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤 骤 15 本小题满分 12 分 求函数的极值 3 1 3 91 f xxxx R 解析 因为 所以 3 1 3 91 f xxxx R 2 分 2 9 3 3xxfxx 令 解得 或 0fx 3x 3x 由 得 或 由 得 4 分 0fx 3x 3x 0fx 33x 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 3 3 3 3 3 3 3 fx 0 0 0 0 f x 单调递增 19单调递减 17 单调递增 8 分 因此当时 有极大值 极大值为 10 分3x f x 3 19f 当时 有极小值 极小值为 12 分3x f x 3 17f 16 本小题满分 12 分 已知动点在直线的下方 点到直线 的距离与M 2l y Ml 定点的距离之和为 4 求动点的轨迹方程 0 1 N M 解析 设动点的坐标为 1 分M M x y 因为点在直线的下方 所以 依题意有M 2l y 2y 4 分 22 1 2 4xyy 因为 所以 6 分2y 22 1 2xyy 平方化简得 8 分 2 3 1 2 yx 6 因为 所以 解得 10 分2y 2 1 2 2 3x 77x 所以所求的轨迹方程为 12 分 2 1 77 3 2 yxx 17 本小题满分14分 设图像的一条对称轴 0 2sin xfxxf 是 8 x 1 求的值 2 证明 对任意实数 直线与函数的图象不相切 c025 cyx xfy 解析 1 由对称轴是 8 x 得 2 分sin 1 4 即 分 42 k 所以 分 4 kk Z 而 所以 6 分0 3 4 2 因为 3 sin 2 4 f xx 所以 8 分 3 2cos 2 2 4 fxx 即曲线的切线的斜率不大于 2 而直线的斜率 10 分025 cyx 5 2 2 k 所以直线不是函数的切线 12 分025 cyx xfy 18 本小题满分 14 分 如图 在梯形中 四边形ABCD ABCD1ADDCCB o 60ABC 为矩形 平面平面 ACFEACFE ABCD1CF 7 A B C DE M F 1 求证 平面 BC ACFE 2 若点在线段上移动 试问是否存在点 使得平面与平面所MEFMMABFCB 成的二面角为 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 o 45M 解析 1 证明 在梯形中 ABCD ABCD1ADDCCB o 60ABC 所以 2 分2AB 222 2cos603ACABBCAC BC 所以 222 ABACBC 所以 3 分ACBC 又平面平面 是交线 平面 ACFE ABCDACBC ABCD 所以平面 5 分BC ACFE 2 由 1 知两两互相垂直 以为坐标原点 分别为 AC BC CFC AC BC CF 轴建立空间直角坐标系 如图 x y z 8 A B C DE M F 则的坐标分别为 设的坐标为 则 A B 3 0 0 0 1 0 ABM 0 1 M a 7 分 3 1 0 1 1 ABBMa 设是平面的法向量 则 mx y z AMB 9 分 30 0 m ABxy m BMaxyz 取 得 10 分1x 1 3 3 ma 显然是平面的法向量 于是 11 分 1 0 0 n FCB 12 分 2 12 cos 2 4 3 m n a 化简得 2 2 3 0a 此方程无实数解 13 分 所以线段上不存在点使得平面与平面所成二面角为 14 分EFMMABFCB45 19 本小题满分14分 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物 也称为PM2 52 5 可入肺颗粒物 我国标准采用世卫组织设定的最宽限值 即日均值在微PM2 5PM2 535 克 立方米以下空气质量为一级 在微克 立方米微克 立方米之间空气质量为二级 35 75 9 在微克 立方米以上空气质量为超标 75 某城市环保局从该市市区年全年每天的监测2012PM2 5 数据中随机的抽取天的数据作为样本 监测值如茎叶图所15 示 十位为茎 个位为叶 1 从这天的日均监测数据中 随机抽出三天15PM2 5 数据 求恰有一天空气质量达到一级的概率 2 从这天的数据中任取三天数据 记表示抽到15 监测数据超标的天数 求的分布列和数学期望 PM2 5 3 根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况 则一年 按天计15PM2 5365 算 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级 解析 1 从茎叶图可知 空气质量为一级的有 4 天 为二级的有 6 天 超标的有 5 天 记 天的日均监测数据中 随机抽出三天数据 求恰有一天空气质量达到15PM2 5 一级 为事件 则A 4 分 12 411 3 15 CC C 44 91 P A 2 的可能值为 0 1 2 3 03 510 3 15 24 C 0 C91 C P 12 510 3 15 45 C 1 C91 C P 8 分 21 510 3 15 20 2 91 C C P C 30 510 3 15 2 3 91 C C P C 所以的分布列为 023 P 24 91 45 91 20 91 2 91 10 分 12 分 2445203 01231 91919191 E 3 15 天的空气质量达到一级或二级的频率为 102 153 日均值 微克 立方PM2 5 米 2 28 8 3 37 71 14 43 3 4 44 45 55 5 6 63 38 8 7 79 9 8 86 63 3 9 92 25 5 10 21 243 3 3 3 65 所以估计一年中有 243 天空气质量达到一级或二级 14 分 说明 答 243 天 244 天不扣分 20 本题满分 14 分 如图 已知椭圆方程为 圆方程 1 E 22 22 1 0 xy ab ab 2 E 为 过椭圆的左顶点作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于 222 xya A 1 k 1 l 1 E 2 EB C x y O 1 E 2 E A B C 1 l 2 l D 若时 恰好为线段的中点 试求椭圆的离心率 1 1k BAC 1 Ee 若椭圆的离心率 为椭圆的右焦点 当时 求 1 Ee 1 2 2 F 2 2BABFa 的值 1 k 设为圆上不同于的一点 直线的斜率为 当时 试问D 2 EAAD 2 k 2 1 2 2 kb ka 直线是否过定点 若过定点 求出定点坐标 若不过定点 请说明理由 BD 解析 1 当时 点在轴上 且点的坐标为 则点的坐标 1 1k CyC 0 CaB 为 由点在椭圆上得 2 2 a a B B 11 2 分 22 22 22 1 aa ab 所以 3 分 2 2 1 3 b a 2 2 22 2 2 1 3 e cb aa 所以 4 分e 6 3 2 设椭圆的左焦点为 由椭圆的定义知 1 F 12 2BFBFa 所以 即在线段的中垂线上 所以 6 分 1 BFBA B 1 AF 2 B ac x 又因为 所以 1 e 2 c a 13 22 ca ba 所以 代入椭圆方程得 7 分 3 4 B xa 721 48 B bya 所以 8 分 1 21 2 B B y k xa 3 法一 由 1 22 22 1 yk xa xy ab 得 2222 1 22 0