二次函数创新试题

1 二次函数创新试题二次函数创新试题 对于二次函数 数学课程标准 规定的 内容标准 是 通过对实际问 题情境的分析 确定二次函数的表达式 并体会二次函数的意义 会用描点 法画出二次函数的图象 能从图象上认识二次函数的性质 会根据公式确定 图象的顶点 开口方向和对称轴 公式不要求记忆和推导 并能解决简单的实 际问题 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 各地中考命题都紧紧围绕课程标准 但题目形式多有创新 下面以 2010 年 中考题为例来分析 以让同学们认识二次函数命题的新趋向 例 1 遵义市 如图 1 两条抛物线 与分别1 2 1 2 1 xy1 2 1 2 2 xy 经过点 且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 0 2 0 2y 8 6 10 4 解析 此阴影部分表面上是个不规则图形 但可利用 割补法 变为一个 矩形 因为这两条抛物线的二次项系数都是 所以它们的形状是全等的 a 2 1 只要将阴影部分中直线 y 1 即比 x 轴低 1 格的直线 以上的部分割补到这条直 线以下 就得到一个长 4 个单位长度宽 2 个单位长度的矩形 故所求阴影部分 的面积是 8 选 A 评点 二次函数图象的形状仅由二次项系数决定 与一次项系数 b 和常数 项 c 无关 如果几条抛物线的二次项系数相同 则它们是平行移动的变换关系 例 2 玉溪市 如图 2 是二次函数在平面直角坐标系中 0 2 acbxaxy 的图象 根据图形判断 0 0 2 0 cabcab 2 8 4中 正确的是 填写序号 baac 解析 的值由抛物线与 y 轴的交点 0 的位置决定 因该点在 x 轴cc 下方 故 0 的值是 x 1 时函数 y 的值 即点 1 的纵坐cabcabc 标 由图可知此点在 x 轴下方 则 0 abca 图 1 x y 图 2 2 由顶点的横坐标为正 有 0 b0 由图知抛物线顶点纵 a b 2 ab 坐标小于 2 即0 可化为 2 8 4 正确的是 a bac 4 4 2 abaac 评点 应注意此题的要求是 根据图形判断 说明只要读懂图象就无需经 过太复杂的计算和推理 例 3 天津市 已知二次函数 中自变量 和函数值 2 yaxbxc 0a x 的部分对应值如下表 y x 3 2 1 1 2 0 1 2 1 3 2 y 5 4 2 9 4 2 5 4 0 7 4 则该二次函数的解析式为 解析 根据抛物线的轴对称性 可从表中找到顶点坐标是 设 2 1 4 9 解析式为 y x 又 是一组对应值 代入得 1 所以函a 2 1 2 4 9 2 1 4 5 a 数解析式为 y x 即 2 1 2 4 9 2 2yxx 评点 此题容易误将 0 2 作顶点 应注意 抛物线上对称点的横坐标不 一定相反 因为对称轴不一定是 y 轴 但其纵坐标必相等 例 4 杭州市 定义 a b c 为函数 2 yaxbxc 的特征数 下面给出特 征数为 2m 1 m 1 m 的函数的一些结论 当 m 3 时 函数图象的顶点坐标是 3 1 3 8 当 m 0 时 函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 2 3 当 m 4 1 时 y 随 x 的增大而减小 当 m 0 时 函数图象经过同一个点 其中正确的结论有 A B C D 解析 由所给特征数得出函数为 y 2mx 1 m x 1 m 当 m 3 时 2 y 6x 4x 2 其顶点坐标是 3 1 3 8 2 3 y 2mx 1 m x 1 m x 1 2mx 1 m 令 y 0 得 x 1 或 则抛 2 m m 2 1 物线与 x 轴交点为 1 0 与 0 当 m 0 时 函数图象截 x 轴所得 m m 2 1 的线段长度为 2 3 mmm m m m 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 当 m 4 1 时 y 先随 x 的增大而增大至顶点 后又随 x 的增大而减小 当 m 0 时 函数 y 2mx 1 m x 1 m 是二次函数 又当 x 1 时 2 y 0 所以无论 m 取任何非 0 实数 图象都经过同一个点 1 0 综上可知答案 选 B 评点 此题难度较大 主要考查对抛物线特征的理解 如顶点 与 x 轴的 交点 开口方向 函数值的增减性和图象上的特殊点等等 例 5 金华市 若二次函数的部分图象如图所示 则关于 xkxxy 2 2 的一元二次方程的一个解 另一个解 02 2 kxx3 1 x 2 x 图 4 y 图 3 Ox 13 解析 根据抛物线的轴对称性可知图象与 x 轴的另一交点为 1 0 故另 一个解 1 2 x 评点 这里考查的是抛物线的轴对称性 应明确 如果抛物线与 x 轴有两 个交点 则必是一对对称点 例 6 株洲市 已知二次函数 为常数 当取不 2 21yxaa aa 同的值时 其图象构成一个 抛物线系 下图分别是当 1a 时二次函数的图象 它们的顶点在一条直线上 这条直线的0a 1a 2a 解析式是 y 解析 抛物线的顶点为 2 1 由 x 2与 y 1 消去得这些顶点aaaaa 所在的直线为 y x 1 2 1 4 评点 由点的横纵坐标的表达式消去其中的参数 如 可求得点的运动a 轨迹的函数关系式 这种 消参法 将会在高一级学校进一步学习 当然此题 也可利用的任意两个值求出两个顶点坐标 再确定直线的解析式 a 例 7 桂林市 将抛物线绕它的顶点旋转 180 所得抛 2 21216yxx 物线的解析式是 A B 2 21216yxx 2 21216yxx C D 2 21219yxx 2 21220yxx 解析 2 x 3 2 则有 y 2 2 x 3 因所求函数与这 2 21216yxx 22 个函数实际上关于直线 y 2 经过顶点 3 2 的一条水平直线 成轴对称 所 以所求函数式为 y 2 2 x 3 即 选 D 22 21220yxx 评点 应培养对图象变换的作图经验和想象能力 也可先设所求抛物线为 y x 3 2 再把点 0 16 关于直线 y 2 的对称点 0 20 代入得 2 a 2 a 例 8 烟台市 如图 5 AB 为半圆的直径 点 P 为 AB 上一动点 动点 P 从 点 A 出发 沿 AB 匀速运动到点 B 运动时间为 t 分别以 AP 与 PB 为直径做半 圆 则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图像大致为 图 5 BPA DC B A O OO SS S ttt t S O 解析 不妨设 AB 2 点 P 速度为 v 则 AP vt PB 1 vt 则以 AB 为直径 的半圆面积为 以 AP 为直径的半圆面积为 vt 以 PB 为直径的半圆 2 1 2 1 2 面积为 1 vt 则面积 S vt 1 vt 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 v t vt 是关于 t 的二次函数 且开口向下 答案 D 22 5 评点 此题是确定实际问题中的二次函数 然后通过图象来表达 有一定 难度 设出有关的常量 AB 的长与点 P 的速度 是关键 例 9 宁德市 如图 6 抛物线与 x 轴交于 A C 两点 3 4 1 4 1 2 xxy 与 y 轴交于 B 点 与直线交于 A D 两点 bkxy 直接写出 A C 两点坐标和直线 AD 的解析式 如图 7 质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字 1 1 3 4 随机抛掷这枚骰子两次 把第一次着地一面的数字 m 记做 P 点的 横坐标 第二次着地一面的数字 n 记做 P 点的纵坐标 则点落在图 1 中 nmP 抛物线与直线围成区域内 图中阴影部分 含边界 的概率是多少 解 A 点坐标 3 0 C 点坐标 C 4 0 直线 AD 解析式 4 3 4 1 xy 所有可能出现的结果如下 第一次 第二次 1134 1 1 1 1 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 3 1 4 3 3 1 3 1 3 3 3 4 4 4 1 4 1 4 3 4 4 总共有 16 种结果 每种结果出现的可能性相同 而落在图 1 中抛物线与直 线围成区域内的结果有 7 种 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 4 1 y x 0 D 5 2 C B A 图 6 图 7 13 6 P 落在抛物线与直