12《函数的概念及表示》教学设计（人教A版必修1）

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 1 2 函数的概念及表示函数的概念及表示 教学教学设计设计 教学目标教学目标 1 通过丰富实例 学习用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中 的作用 了解构成函数的三要素 能够正确使用 区间 的符号表示某些集合 2 理解函数的概念 并且会灵活运用函数的概念解题 3 明确函数的三种表示方法 4 会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数 5 通过具体实例 了解简单的分段函数及应用 导入新课导入新课 回顾问题导入 回顾问题导入 1 讨论 放学后骑自行车回家 在此实例中存在哪些变量 变量之间有什么关系 2 回顾初中函数的定义 在一个变化过程中 有两个变量 x 和 y 对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一的值与 之对应 此时 y 是 x 的函数 x 是自变量 y 是因变量 表示方法有 解析法 列表法 表示方法有 解析法 列表法 图图象象 法 法 新授课阶段新授课阶段 一 函数的概念 一 函数的概念 思考思考 1 课本 P15 给出三个实例 A 一枚炮弹发射 经 26 秒后落地击中目标 射高为 845 米 且炮弹距地面高度 h 米 与时间 t 秒 的变化规律是 2 1305htt B 近几十年 大气层中臭氧迅速减少 因而出现臭氧层空洞问题 图中曲线是南极上 空臭氧层空洞面积的变化情况 见课本 P15图 C 国际上常用恩格尔系数 食物支出金额 总支出金额 反映一个国家人民生活质量 的高低 八五 计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表 见课本 P16表 讨论讨论 以上三个实例存在哪些变量 变量的变化范围分别是什么 两个变量之间存在着 怎样的对应关系 三个实例有什么共同点 归纳 归纳 三个实例变量之间的关系都可以描述为 对于数集 A 中的每一个 x 按照某种对 应关系 f 在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应 记作 fAB 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 1 函数的定义 函数的定义 设 A B 是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意 一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应 那么称为从集合 A 到集 f x f AB 合 B 的一个函数 function 记作 yf xxA 其中 x 叫自变量 x 的取值范围 A 叫作定义域 domain 与 x 的值对应的 y 值叫函 数值 函数值的集合叫值域 range 显然 值域是集合 B 的子集 f xxA 1 一次函数 y ax b a 0 的定义域是 R 值域也是 R 2 二次函数 a 0 的定义域是 R 值域是 B 当 a 0 时 值域 2 yaxbxc 当 a 0 时 值域 2 4 4 acb By y a 2 4 4 acb By y a 3 反比例函数的定义域是 值域是 0 k yk x 0 x x 0y y 2 2 区间及写法 区间及写法 设 a b 是两个实数 且 a b 则 1 满足不等式的实数 x 的集合叫做闭区间 表示为 a b axb 2 满足不等式的实数 x 的集合叫做开区间 表示为 a b axb 3 满足不等式的实数 x 的集合叫做半开半闭区间 表示为axbaxb 或 a ba b 这这里的里的实实数数 a 和和 b 都叫做相都叫做相应应区区间间的端点的端点 数 数轴轴表示表示见课见课本本 P17表格 符号表格 符号 读读 无无穷穷 大大 读读 负负无无穷穷大大 读读 正无正无穷穷大大 我我们们把把满满足足的的实实 xa xa xb xb 数数 x 的集合分的集合分别别表示表示为为 aa bb 例例 1 对范围用区间表示正确的为 1xa A B C D 1 a 1 a 1 a 1 a 解析解析 根据区根据区间间的表示法可以知道 如果取到等号的表示法可以知道 如果取到等号时时 用 用闭闭区区间间 否 否则则用开区用开区间间 因此 因此选选 B 答案答案 B 3 函数定义域的求法 函数定义域的求法 函数的定函数的定义义域通常由域通常由问题问题的的实际实际背景确定 如果只背景确定 如果只给给出解析式出解析式 y f x 而没有指明它的定而没有指明它的定义义域 那么函数的定域 那么函数的定义义域就是指能使域就是指能使这这个式子有意个式子有意义义的的实实数的集合数的集合 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 例例 2 函数的定义域为 那么其值域为 xxy2 2 3 2 1 0 A B C D 3 0 1 3 2 1 0 31 yy 30 yy 解析解析 只需把只需把 x 0 1 2 3 代入代入计计算算 y 即可即可 答案答案 A 例例 3 3 如图 用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 若半圆半径为 x 求此框架围成的面积与的函数式 并写出它的定义域 y x yf x 分析分析 首先首先审题审题 得到框架 得到框架围围成的面成的面积积与半与半圆圆半径之半径之间间的关系 然后根据的关系 然后根据实际实际意意义义找到半找到半圆圆 半径的取半径的取值值范范围围 解 根据解 根据题题意得 意得 于是于是 AD AD 2ABx CDx 2 21xx 因此 因此 即 即 2 12 2 22 xxx yx 2 4 2 yxlx 由由 得 得 0 2 21 02 xx x 1 0 2 x 函数的定函数的定义义域域为为 02 1 例例 4 记集合 M 函数的定义域为集合 N 求 230 xx 1 3 xxxg 集合 M N 集合 NM NM 分析 对于偶次根式 只要使得被开方式非负即可 同时要熟练运用集合的有关运算解决 解 2 3 032 xxxxM 13 0 1 3 xxxxxxN或 3 xxNM 2 3 1 xxxNM或 4 函数相同的判别方法 函数相同的判别方法 函数是否相同 看定函数是否相同 看定义义域和域和对应对应法法则则 例例 5 下列函数中哪个与函数是同一个函数 yx 0 x 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 A y B y C y D y x 2 x x2 33 x 2 x 解析解析 当两个函数的解析式和定当两个函数的解析式和定义义域完全相同域完全相同时时 这这两个函数两个函数为为同一函数 同同一函数 同时满时满足足这这两个两个 条件的只有条件的只有 B 中的函数中的函数 答案答案 A 2 33 2 2 12 34 yx yxyx x yxy x 思考 下例函数中哪个与函数相等 答案答案 只有 只有 2 合适 合适 二 函数的三种表示方法 二 函数的三种表示方法 1 结合课本结合课本 P15 给出的三个实例 说明三种表示方法的适用范围及其优点 给出的三个实例 说明三种表示方法的适用范围及其优点 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点 简明扼要 给自变量求函数值 图象法 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 优点 直观形象 反映两个变量的变化趋势 列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点 不需计算就可看出函数值 如股市走势图 列车时刻表 银行利率表等 例例 6 1 已知 是一次函数 且满足 求 f x 3 1 2 1 217f xf xx f x 2 已知 0 求 2 2 1 21 x x xgfxxg x 2 1 f 分析分析 紧紧扣函数的表示法 利用解析式求解扣函数的表示法 利用解析式求解时时 要注意待定系数法在解 要注意待定系数法在解题题中的灵活运用 即中的灵活运用 即 首先首先设设出函数的解析式 然后构造等式解决出函数的解析式 然后构造等式解决 解解 1 设设 由 由得 得 0 f xaxb a 3 1 2 1 217f xf xx 3 1 2 1 217a xba xbx 5217axabx 解得 解得 2 517 a ab 2 7 a b 27f xx 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2 令 令 得 得 1 12 2 g xx 1 4 x 2 2 1 1 1 4 15 1 2 4 f 例例 7 函数的图象是 x x xf 解析解析 所所给给函数可化函数可化为为 故答案 故答案为为 C 也可以根据函数的的定 也可以根据函数的的定义义域域为为 1 0 1 0 x f x x 而作出判断而作出判断 0 x x 答案答案 C 例例 8 已知的图象恒过 1 1 点 则的图象恒过 xf 4 xf A 3 1 B 5 1 C 1 3 D 1 5 解析解析 法一 由法一 由的的图图象恒象恒过过 1 1 知 知 即 即 故函数 故函数的的图图像像过过 xf 1 1f 54 1f 4 xf 点 点 5 1 法二 法二 的的图图象可由象可由的的图图象向右平移象向右平移 4 个个单单位而得到 位而得到 1 1 向右平 向右平 4 xf xf 移移 4 个个单单位后位后变为变为 5 1 答案答案 B 2 分段函数的定义 分段函数的定义 在函数的定义域内 对于自变量 x 的不同取值范围 有着不同的对应法则 这样的函 数通常叫做分段函数 如以下的例 3 的函数就是分段函数 说明 说明 1 分段函数是一个函数而不是几个函数 分段函数是一个函数而不是几个函数 处处理分段函数理分段函数问题时问题时 首先要确定自 首先要确定自变变量的数量的数值值 属于哪个区属于哪个区间间段 从而段 从而选选取相取相应应的的对应对应法法则则 画分段函数 画分段函数图图象象时时 应应根据不同定根据不同定义义域上的不域上的不 同解析式分同解析式分别别作出 作出 2 分段函数只是一个函数 只不 分段函数只是一个函数 只不过过 x 的取的取值值范范围围不同不同时时 对应对应法法则则不相同不相同 例例 9 画出下列函数的图象 1 y x 2 x Z 且 2 y 2 3 0 2 2 x2 2 xxx 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 6 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3 y x 2 x 4 32 322 32 x yxx x 解 四个函数的图象如下 例例 10 如图 动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始 顺次经 C D 绕边界一周 当 x 表示点 P 的行程 y 表示 PA 之长时 求 y 关于 x 的解析式 并求 f 的值 2 5 解 当 P 在 AB 上运动时 01 yxx 当 P 在 BC 上运动时 y 2 1 1 x 12 x 当 P 在 CD 上运动时 y 2 3 1x 23 x 当 P 在 DA 上运动时 y 4 x 34 x y 2 2 01 1 1 12 1 3 23 4 34 xx xx xx xx 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 f 2 5 2 5 例例 11 已知 则 的值为 04 04 xx xx xf 3 ff 解析 3 341 3 1 143ff ff 答案 3 课堂小结课堂小结 1 掌握函数的定义域与值域的求解方法 2 理解函数的概念 3 掌握函数的表示方法 尤其要注意解析法在解决应用题中的灵活运用 作业作业 见同步练习部分 拓展提升拓展提升 一 选择题一 选择题 1 若集合 则是 32 Sy yxxR 2 1 Ty yxxR ST A B C D 有限集ST 2 已知函数的图象关于直线对称 且当时 有则当 xfy 1 x 0 x 1 x xf 时 的解析式为 2 x xf A B C D x 1 2 1 x2 1 x2 1 x 3 函数的图象是 x x x y 4 若函数的定义域为 值域为 则的取值范围是 2 34yxx 0 m 25 4 4 m 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 A B C D 4 0 3 2 4 3 3 2 3 2 5 若函数 则对任意实数 下列不等式总成立的是 2 f xx 12 x x A B 12 2 xx f 12 2 f xf x 12 2 xx f 12 2 f xf x C D 12 2 xx f 12 2 f xf x 12 2 xx f 12 2 f xf x 6 函数的值域是 2 2 2 03 6 20 xxx f x xxx A B C D R 9 8 1 9 1 二 填空题二 填空题 7 函数的定义域为 值域为 则满足条件的实数 2 2 2 2 4f xaxax R 0 组成的集合是 a 8 设函数的定义域为 则函数的定义域为 f x 01 fx 2 9 当时 函数取得最小值 x 222 12 n f xxaxaxa 10 二次函数的图象经过三点 则这个二次函数的解析式为 1 3 1 3 2 3 2 4 ABC 11 已知函数 若 则 0 2 0 1 2 xx xx xf 10f x x 三 解答题三 解答题 12 求函数的值域 xxy21 13 利用判别式方法求函数的值域 1 322 2 2 xx xx y 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 9 页 共 10 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 14 已知为常数 若则求的值 a b 22 43 1024 f xxxf axbxx ba 5 15 对于任意实数 函数恒为正值 求的取值范围 x 2 5 65f xa xxa a 参考答案参考答案 1 B 解析 1 SR TTS 2 D 解析 设 则 而图象关于对称 得2x 20 x 1x 所以 1 2 2 f xfx x 1 2 f x x 3 D 解析 1 0 1 0 xx y xx 4 C 解析 作出图象 的移动必须使图象到达最低点 m 5 A 解析 作出图象 图象分三种 直线型 例如一次函数的图象 向上弯曲型 例如 二次函数的图象 向下弯曲型 例如 二次函数的图象 2 f xx 2 f xx 6