江苏省2011年高中数学 21《指数函数》学案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 1 第第 2121 课时课时 指数函数 一 指数函数 一 学习目标 1 理解指数函数的概念 并能正确作出其图象 掌握指数函数的性质 2 能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小 3 培养学生发现问题和提出问题的能力 善于独立思考的习惯 体会事物之间普遍联系的 辩证观点 课前导学 引例引例1 1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂 x 次 后 得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么 分裂次数 1 2 3 4 x 细胞个数 2 4 8 16 y 由上面的对应关系可知 函数关系是 y 2x 引例引例 2 2 某种商品的价格从今年起每年降低 15 设原来的价格为 1 x年后的价格为y 则y 与x的函数关系式为 y 0 85x 在y 2x y 0 85x中指数x是自变量 底数是一个大于0且不等于1的常量 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函指数函 数 数 引入课题 课堂活动 一 建构数学 一 建构数学 1 1 指数函数的定义 指数函数的定义 函数y a x a 0 且a 1 叫做指数函数指数函数 其中x是自变量 函数定义域是 R 探究探究1 1 为什么要规定a 0 且a 1呢 若a 0 则当x 0时 ax 0 当x 0时 ax无意义 若a 0 则对于x的某些数值 可使ax无意义 如y 2 x 这时对于x x 1 4 1 2 等等 在实数范围内函数值不存在 若a 1 则对于任何x R ax 1 是一个常量 没有研究的必要性 为了避免上述各种情况 所以规定a 0且a 1 在规定以后 对于任何x R ax都有意 义 且ax 0 因此指数函数的定义域是R 值域是 0 探究探究2 2 函数 y 2 3x是指数函数吗 答案 不是 指数函数的解析式 y ax中 ax的系数是1 有些函数貌似指数函数 实际上却不是 如 y ax k a 0且a 1 k Z 有些函数看 起来不像指数函数 实际上却是 如y a x a 0 且a 1 因为它可以化为 y a 1 x 其 中 a 1 0 且a 1 1 思考 下列函数是为指数函数有 用心 爱心 专心 2 且 2 yx 8xy 21 xya 1 2 a 1a 4 xy x y 12 2 5 x y x yx 10 xy 活动设计活动设计 教师提出问题 学生思考 分析 讨论 教师引导 整理 2 2 指数函数的图象 指数函数的图象 1 1 描点法作函数草图 描点法作函数草图 在同一坐标系中分别作出函数 y 2x y x y 10 x的图象 1 2 先分别列出 y 2x y x y 10 x中x y的对应值表 1 2 x 3 2 1 5 1 0 5 00 511 523 y 2 x 0 130 250 350 50 7111 422 848 y x 1 2 842 821 410 710 50 350 250 13 x 1 0 5 0 25 00 250 51 y 10 x 0 10 320 5611 783 1610 注意注意 用图形计算器函数值表填写列表 列表时注意x的广泛代表性 即对于负数 零 正数都要取到 要画出渐近的 味道 2 2 指数函数的性质 观察 总结 指数函数的性质 观察 总结 a a 10 a 1 图 像 定义域 R R R 值 域y 0 100 10 yx yx 时 时 y 0 10 100 yx yx 时 时 定 点过点 0 1 过点 0 1 单调性单调递增单调递减 用心 爱心 专心 3 二 应用数学二 应用数学 例 1 课本第 课本第 5050 页 页 比较下列各题中两个值的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 教法 学生练习 1 2 并对照课本解答 尝试总结比较同底数幂大小的方法以及 一般步骤 解 1 考查指数函数y 1 7x 又由于底数 1 7 1 所以指数函数y 1 7x在 R R 上是增函数 2 5 3 1 72 5 1 73 2 考查指数函数y 0 8x 由于 0 0 8 1 所以指数函数y 0 8x在 R R 上是减函数 0 1 0 2 0 8 0 1 0 8 0 2 解后反思 对上述解题过程 可总结出比较同底数幂大小的方法 即利用指数函数的 单调性 其基本步骤如下 1 确定所要考查的指数函数 2 根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性 3 比较指数大小 然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系 解 3 由指数函数的性质知 1 70 3 1 70 1 0 93 1 0 90 1 即 1 70 3 1 0 93 1 1 1 70 3 0 93 1 说明 此题难点在于解题思路的确定 即如何找到中间值进行比较 3 题与中间值 1 进行比较 这一点可由指数函数性质 也可由指数函数的图象得出 与 1 比较时 还是采用 同底数幂比较大小的方法 注意强调学生掌握此题中 1 的灵活变形技巧 小结小结 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性 必须要明确所给的两个值是哪 个指数函数的两个函数值 对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较 例 2 1 指数函数 a 0 且 a 1 的图象过点 3 则 x axf 1 3 f 思路分析 先求出解析式 再代入即可 x ay 2 如图 是指数函数 图象 x ay x by x cy x dy 则 a b c d 与 1 的大小关系是 b a 1 d 0 7 0 3 2 5 2 5 3 2 5 4 2 已知下列不等式 试比较m n的大小 1 若 m n 则m n 2 若 1 1m 1 1n 则m n 2 3 2 3 3 比较下列各组中数的大小 10 0 4 2 5 2 0 2 2 51 6 解 2 0 2 10 2 51 6 0 4 2 5 课后提升 1 比较大小 1 2 3 2 53 2 1 5 1 5 1 21 5 0 5 0 5 0 31 2 1 5 0 8 解解 1 考虑指数函数 1 5xf x 1 51 又在上是增函数 1 5xf x R 2 53 2 1 51 5 2 考虑指数函数 0 5xf x 0 51 又在上是减函数 0 5xf x R 1 21 5 0 50 5 3 在上是增函数 在上是减函数 1 5xf x R 0 8xf x R 0 30 1 51 51 1 20 0 80 81 0 31 2 1 50 8 2 1 已知 求实数的取值范围 2 已知 求实数的取值范围 0 5 33 x x0 225 x x 解解 1 在上是增函数 3xf x R 由得 即实数的取值范围是 0 5 33 x 0 5x x 0 5 2 在上是减函数 0 225 x f x R 又 22 1 25 0 2 5 由得 即实数的取值范围是 2 0 20 2 x 2x x 2 3 函数图象必过点 2 2 10 1 2 aaay x 且 用心 爱心 专心 5 4 当 x 0 指数函数值总大于 1 则 a 的范围 x axf 1 2 2 a 5 已知函数在区间上的最大值与最小值的差是 1 求实数的 x ya 0 1 aa 1 1 a 值 解 当时 函数在区间上是增函数 1a x ya 1 1 11 1aa 1a 15 2 a 当时 函数在区间上是减函数 01a x ya 1 1 11 1aa 01a 15 2 a 综上 或 15 2 a 15 2 a 6 解不等式 1 2 2 93 xx 3 42 60 xx 分析 本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围 解 1 2 93 xx 22 33 xx 又 在定义域上是增函数 3xy 原不等式等价于 解之得 22xx 2x 原不等式的解集为 2 x x 2 可以整理为3 42 60 xx 3 42 6 xx 即 40 60 xx 42 63 x x 1 22 33 x 又 在定义