江苏省姜堰市溱潼中学2012届高三数学寒假作业（4）

1 姜堰市溱潼中学高三数学寒假作业姜堰市溱潼中学高三数学寒假作业 4 4 班级班级 学号学号 姓名姓名 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分分 1 已知 是虚数单位 复数的共轭复数在复平面i 4 1 1 i zi i z 内对应点落在第 象限 2 已知集合 且 2 3 12 Mx yxNx x MN 都是全集的子集 则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 I 3 设为等差数列的前项和 且 则 n S n an2010 1 a2 20082010 20082010 SS 2 a 4 已知向量的夹角为 且 在ABC 中 m n 6 3m 2n D 为 BC 边的中点 则 3ABmn ACmn AD 5 设椭圆 的离心率为 右焦点为 方程 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 e 0 cF 的两个实根分别为和 则点与圆 的位置 2 0axbxc 1 x 2 x 21 xxPO2 22 yx 关系是 6 函数在处的切线方程为 3 f xxax 1 2 7 若 则实数 33 1 2 1 22 aaaa a 8 从某小学随机抽取 100 名同学 将他们的身高 单位 厘米 数据绘制成频率分布直方 图 如图 由图中数据可知 若要从身高在a 三组内的学生中 用 120 130 130 140 140 150 分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动 则从身高在 内的学生中选取的人数应为 140 150 9 设为互不重合的平面 是互不重合的直线 m n 给出下列四个命题 mn nm 若则 mnmn 若 则 mnmn 若 则 若 其中正确命题的序号为 m nnmn 则 10 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F 点 2 2 0 ypx p 22 22 1 0 0 xy ab ab 是两曲线的一个交点 且轴 若 为双曲线的一条斜率大于 0 的渐近线 则 的AAFx ll 斜率的取值范围是 11 某学生在上学路上要经过 3 个路口 假设在各路口遇到红灯或绿灯是 等可能的 遇到红灯时停留的时间都是 2min 则这名学生在上学路上因 遇到红灯停留的总时间至多是 4min的概率为 12 如图 有一壁画 最高点处离地面m 最低点处离地面m 若从离A4B2 2 地高m 的处观赏它 则当视角最大时 处离开墙壁 6 1C C B 2 2 4 1 6 A C D 2 m 13 定义 关于的两个不等式和的解集分别为和 则称x 0 xf 0 xg ba ab 11 这两个不等式为对偶不等式 如果不等式与不等式022cos34 2 xx 为对偶不等式 且 则 012sin42 2 xx 2 14 已知函数bxaxxxf 23 3 1 Rba 若 xfy 在区间 2 1 上是单调减 函数 则ba 的最小值为 二 解答题 二 解答题 本大题共本大题共 6 6 道题 计道题 计 9090 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演解答应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 15 已知函数的图像 2sin 0 22 f xx 如图所示 直线是其两条对称轴 37 88 xx 求函数的解析式并写出函数的单调增区间 f x 若 且 求的值 6 5 f 3 88 8 f 16 如图 棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形 平面 AA1C1C 平面 ABC 证明 BD AA1 证明 平面 AB1C 平面 DA1C1 在直线 CC1上是否存在点 P 使 BP 平面 DA1C1 若存在 求出点 P 的位置 若不存在 说明理由 3 17 设定义在 R R 上的函数 当时 取得极大值 32 f xaxbxcx 2 2 x f x 2 3 并且函数的图象关于 y 轴对称 yfx 求的表达式 f x 若曲线对应的解析式为 求曲线过点的切线方C 114 223 g xf xx 2 4 P 程 18 为赢得 2010 年上海世博会的制高点 某公司最近进行了世博特许产品的市场分析 调 查显示 该产品每件成本 9 元 售价为 30 元 每天能卖出 432 件 该公司可以根据情况可 变化价格 元出售产品 若降低价格 则销售量增加 且每天多卖出的x3054x 产品件数与商品单价的降低值的平方成正比 已知商品单价降低 2 元时 每天多卖出 x 24 件 若提高价格 则销售减少 减少的件数与提高价格成正比 每提价 1 元则每天少x 卖 8 件 且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收 1 元的管理费 试将每天的销售利润表示为价格变化值的函数 yx 试问如何定价才能使产品销售利润最大 4 19 已知椭圆和圆 过椭圆上一点引圆的 22 22 10 xy ab ab O 222 xyb PO 两条切线 切点分别为 A B 若圆过椭圆的两个焦点 求椭圆的离心率 Oe 若椭圆上存在点 使得 求椭圆离心率的取值范围 P90APB e 设直线与轴 轴分别交于点 求证 为定值 ABxyMN 22 22 ab ONOM 20 设数列的前项和为 对一切 点都在函数 的 n an n S Nn n S n n 2 n a f xx x 图象上 求及数列的通项公式 123 a a a n a n a 将数列依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地分为 n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 分别计算各个括号内各数之和 设由这些和按原来括号的前后 19 a 20 a 21 a 顺序构成的数列为 求的值 n b 5100 bb 令 求证 2 1 n n g n a nN 2 3g n 5 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 4 4 参考答案参考答案 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分分 1 四 2 3 4 1 5 点在圆内 6 7 33 zz 2008 PO42yx 0 8 9 10 11 12 13 14 2 3 0 030 3 2 8 7 2 1 5 6 二 解答题 二 解答题 本大题共本大题共 6 6 道题 计道题 计 9090 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 15 本小题 14 分 已知函数的图像如图所示 2sin 0 22 f xx 直线是其两条对称轴 37 88 xx 求函数的解析式并写出函数的单调增区间 f x 若 且 求的值 6 5 f 3 88 8 f 解 由题意 73 2882 T T 又 故 0 2 2sin 2 f xx 2 分 由 解得 33 2sin 2 84 f 2 4 kkZ 又 5 分 22 4 2sin 2 4 f xx 6 由知 222 242 kxkkZ 3 88 kxkkZ 函数的单调增区间为 7 分 f x 3 88 kkkZ 解 依题意得 即 8 分 6 2sin 2 45 3 sin 2 45 3 88 02 42 10 分 22 34 cos 2 1 sin 2 1 4455 2sin 2 844 f 2 347 2 sin 2 sin 2 coscos 2 sin 44444425510 14 分 7 2 45 f 16 本小题满分 14 分 如图 棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形 平面 AA1C1C 平 面 ABC 证明 BD AA1 证明 平面 AB1C 平面 DA1C1 在直线 CC1上是否存在点 P 使 BP 平面 DA1C1 若存在 求出点 P 的位置 若不存在 说明理 由 证明 连 BD 面 ABCD 为菱形 BD AC 由于平面 AA1C1C 平面 ABCD 则 BD 平面 AA1C1C 故 BD AA1 连 AB1 B1C 由棱柱 ABCD A1B1C1D1的性质知 AB1 DC1 AD B1C AB1 B1C B1 A1D DC1 D 由面面平行的判定定理知 平面 AB1C 平面 DA1C1 存在这样的点 P 因为 A1B1 AB DC 四边形 A1B1CD 为平行四边形 A1D B1C 在 C1C 的延长线上取点 P 使 C1C CP 连接 BP 因 B1B CC1 BB1 CP 四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP B1C BP A1D BP 平面 DA1C1 17 本小题满分 15 分 设定义在 R R 上的函数 当时 32 f xaxbxcx 2 2 x 7 取得极大值 并且函数的图象关于 y 轴对称 f x 2 3 yfx 求的表达式 f x 若曲线对应的解析式为 求曲线过点的切线方C 114 223 g xf xx 2 4 P 程 解 为偶函数 2 32fxaxbxc 对一切恒成立 fxfx xR 2 分 0b 又 当时 取得极大值 3 f xaxcx 2 2 x f x 2 3 解得 2222 2423 23 0 22 fac fac 2 3 1 a b f 6 分 3 2 3 f xxx 2 21fxx 3 11414 22333 g xf xxx 设切点为 则 00 xy 0 32 00 14 33 x x yxkg xx 切线方程为 8 分 32 000 14 33 yxxxx 代入点化简得 解得 10 分 2 4 P 32 00 340 xx 0 1 2x 所以切线方程为 和 12 分 20 xy 440 xy 18 本小题满分 15 分 为赢得 2010 年上海世博会的制高点 某公司最近进行了世博特许 产品的市场分析 调查显示 该产品每件成本 9 元 售价为 30 元 每天能卖出 432 件 该 公司可以根据情况可变化价格 元出售产品 若降低价格 则销售量增x3054x 加 且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值的平方成正比 已知商品单价降低 x 2 元时 每天多卖出 24 件 若提高价格 则销售减少 减少的件数与提高价格成正比 x 每提价 1 元则每天少卖 8 件 且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收 1 元的管理 费 试将每天的销售利润表示为价格变化值的函数 yx 试问如何定价才能使产品销售利润最大 8 解解 1 当降价元时 则多卖产品 由已知得 时 x 2 kx2x 2 24 6kxk 所以 3 分 232 309 4326 6 21721512 f xxxxxx 当提价时 2 分 x 2 3010 4328 82728640f xxxxx A 所以 6 分 32 2 6 21721512 300 054 82728640 xxxx f x x xx 当降价销售时 32 6 21721512 f xxxx 2 18 1424 18 12 2 0fxxxxx 12 12 2xx 所以有 x 30 12 12 12 2 2 2 0 fx 0 0 f x 极大值 极小值 即在处取得唯一极大值 f x12x 12 11664f 9 分 max 11664f x 当提价销售时 2 82728640f xxx 11 分 22 8 34 86408 17 109521095211664xxx 所以当定价 18 元时 销售额最大 12 分 19 本小题满分 16 分 已知椭圆和圆 过椭 22 22 10 xy ab ab O 222 xyb 圆上一点引圆的两条切线 切点分别为 PO A B 若圆过椭圆的两个焦点 求椭圆的离心率 Oe 若椭圆上存在点 使得 求椭圆离心率的取值范围 P90APB e 设直线与轴 轴分别交于点 求证 为定值 ABxyMN 22 22 ab ONOM 解解 圆过椭圆的焦点 圆 OO 222 xyb bc 2222 bacc 22 2ac 3 分 2 2 e 由及圆的性质 90APB 可得 2OPb 2 22 2 OPba 8 分 22 2ac 2 1 2 e 2 1 2 e 设 则 001122 P xyA x yB xy 9 整理得 011 011 yyx xxy 22 0 10111 x xy yxy 方程为 方程为 222 11 xyb PA 2 11 x xy yb PB 2 22 x xy yb 都过点 且PAPB 00 P xy 2 1010 x xy yb 2 2020 x xy yb 直线方程为 AB 2 00 x xy yb 令 得 令 得 0 x 2 0 b ONy y 0y 2 0 b OMx x 222222222 00 22442 a yb xaba ba bbb ONOM 为定值 定值是 13 分 22 22 ab ONOM 2 2 a b 20 本小题满分 16 分 设数列的前项和为 对一切 点都在函 n an n S Nn n S n n 数 的图象上 求及数列的通项公式 2 n a f xx x 123 a a a n a n a 将数列依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地分为 n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 分别计算各个括号内各数之和 设由这些和按原来括号的前后 19 a 20 a 21 a 顺序构成的数列为 求的值 n b 5100 bb 令 求证 2 1 n n g n a nN 2 3g n 解 1 因为点在函数的图象上 n S n n 2 n a f xx x 故 所以 令 得 所以 2 nn Sa n nn 2 1 2 nn Sna 1n 11 1 1 2 aa 1 2a 令 得 令 得 2n 122 1 4 2 aaa 2 4a 3n 1233 1 9 2 aaaa 3 6a 因为点在函数的图象上 n S n n 2 n a f xx x 故 所以 2 nn Sa n nn 2 1 2 nn Sna 令 得 所以 1n 11 1 1 2 aa 1 2a 时 2n 2 11 1 1 2 nn Sna 时 得2n 1 42 nn aan 令 1 1 nn aA nBaAnB 即与比较可得 1 22 nn aaAnAB 1 42 nn aan 解得 24 22AAB 2 2AB 10 因此 1 2 1 2 22 nn anan 又 所以 从而