2012届高中数学 专题10解析几何直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线

用心 爱心 专心 1 20122012 届专题十数学届专题十数学 考试范围 解析几何 直线与圆 椭圆 双曲线和抛物线 考试范围 解析几何 直线与圆 椭圆 双曲线和抛物线 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 直线的倾斜角是 0 7 tan yx A B C D 7 7 7 5 7 6 2 直线关于直线对称的直线方程为 01 1 yxl2 xl 2 l A B C D 012 yx072 yx042 yx05 yx 3 是直线与直线互相垂直的 2 a 021 1 yxal 0122 2 yaaxl A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不 充分也不必要条件 4 直线与圆的位置关系为 0 babyax2 22 yx A 相交B 相切C 相离D 相交或相切 5 已知点在圆上 点在直线上上 若的最小值为P0744 22 yxyxQkxy PQ 则 122 k A 1B C 0 D 21 6 若椭圆的离心率 则的取值范围是 1 22 myx 2 2 3 3 em A B C D 3 2 2 1 2 1 2 1 3 2 2 1 2 2 1 7 已知中心在原点 焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 则该双曲线03 yx 的离心率为 A B C 2 或D 或 3 32 3 3 32 3 32 3 8 M是抛物线上一点 且在轴上方 F是抛物线的焦点 以轴的正半轴为始边 xy4 2 xx FM为终边构成的最小的角为 60 则 FM A 2 B 3 C 4 D 6 用心 爱心 专心 2 9 设抛物线的准线经过中心在原点 焦点在坐标轴上且离心率为的椭圆的一个顶xy8 2 2 1 点 则此椭圆的方程为 A 或B 或1 1612 22 yx 1 1216 22 yx 1 6448 22 yx 1 4864 22 yx C 或D 或1 1216 22 yx 1 4 3 16 22 xy 1 34 22 yx 1 4 3 16 22 xy 10 已知定点 动点N满足 O为坐标原点 0 2 1 F 0 2 2 F1 ONNMMF2 1 则点P的轨迹是 RMFMP 2 0 1 PNMF A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 将答案填在题中的横线上 将答案填在题中的横线上 11 以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程是 2 1 1 xy 12 圆上到直线的距离等于的点有 0644 22 yxyx05 yx 2 2 个 13 若点P在直线上 过点P的直线与曲线只有一个公03 1 myxl 2 l 165 22 yxC 共点M 且的最小值为 4 则 PM m 14 在平面直角坐标系中 椭圆 0 的离心率为 以O为圆心 xOy1 2 2 2 2 b y a x ab 2 2 为半径作圆M 再过作圆M的两条切线PA PB 则 a 0 2 c a PAPB 15 已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中 有一个内角的范围是 则双曲线的离心率的范围是 2 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 12 分 已知圆O的方程为 16 22 yx 1 求过点的圆O的切线方程 8 4 M 2 过点作直线与圆O交于A B两点 求的最大面积以及此时直线AB的斜 0 3NOAB 率 用心 爱心 专心 3 17 本题满分 12 分 将抛物线向上平移个单位长度后 抛物线过椭圆yx22 2 2 0 的上顶点和左右焦点 1 2 2 2 2 b y a x ab 1 求椭圆方程 2 若点满足如下条件 过点P且倾斜角为的直线 与椭圆相交于C D两点 0 mP 6 5 l 使右焦点F在以CD线段为直径的圆外 试求的取值范围 m 18 本题满分 12 分 已知双曲线 0 0 左右两焦点为 P是1 2 2 2 2 b y a x ab 1 F 2 F 右支上一点 于H 212 FFPF 1 PFOH 1 OFOH 2 1 9 1 1 当时 求双曲线的渐近线方程 3 1 2 求双曲线的离心率 的取值范围 e 3 当 取最大值时 过 的轴的线段长为 8 求该圆的方程 e 1 F 2 FP y 用心 爱心 专心 4 19 本题满分 13 分 在平面直角坐标系中 过定点作直线与抛物线xOy 0 pCm 0 相交于 两点 pxy2 2 pAB 1 设 求的最小值 0 pN NBNA 2 是否存在垂直于轴的直线 使得 被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存xll 在 求出 的方程 若不存在 请说明理由 l 用心 爱心 专心 5 20 本题满分 13 分 已知椭圆C的中心在原点 焦点在轴上 离心率等于 它的一个x 2 1 顶点恰好是抛物线的焦点 yx38 2 1 求椭圆C的方程 2 是椭圆上两点 A B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点 若直线 3 2P 3 2 Q AB的斜率为 求四边形APBQ面积的最大值 当A B运动时 满足 2 1 BPQAPQ 试问直线AB的斜率是否为定值 请说明理由 21 本题满分 13 分 在平面直角坐标系中 已知向量 2 yxa Rkykxb 2 若 baba 1 求动点的轨迹T的方程 并说明该方程表示的曲线的形状 yxM 2 当时 已知 点P是轨迹T在第一象限的一点 且满足 3 4 k 1 0 1 F 1 0 2 F 若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点 问是否存在以PQ为直径的圆G1 21 PFPF 用心 爱心 专心 6 过点 若存在 求出圆G的方程 若不存在 请说明理由 2 F 20122012 届同心圆梦专题卷数学专题十答案与解析届同心圆梦专题卷数学专题十答案与解析 1 命题立意 本题考查直线的一般方程形式 斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公 式 思路点拨 抓住直线方程y kx b中斜率为k 为倾斜角 其中 当时 0 2 tan k 答案 D 解析 斜率 7 tan xy 7 6 tan 7 tan 7 tan k 2 命题立意 本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定 思路点拨 求出直线 与 轴 与 的交点坐标 再确定对称点的坐标 最后由两点式得 1 lxl 到的直线方程 2 l 答案 D 解析 画出图形 容易求得直线 与 轴的交点 它关于直线 的对称点 1 lx 0 1 Al 为 又 与 的交点 从而对称直线经过B P两点 于是由两点式求得的方 0 5B 1 ll 3 2P 2 l 2 l 程为 05 yx 3 命题立意 本题考查两条直线的位置关系和充要条件 0 212121 BBAAll 思路点拨 判断直线 的位置关系时 抓住两点 一是0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 时 为了避免讨论系数为零的情况 转化为积式且 1 l 2 l 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 1221 BABA 1221 CACA 二是 即斜率的乘积为 如果一条直线的斜率为零 则另一条直线的斜率不存在 21 ll 1 也就是 充分必要条件的判定 关键是看哪个推出哪个 0 2121 BBAA 答案 A 解析 或 故选答案 A 1023 2 21 aaall2 a 4 命题立意 本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式 用心 爱心 专心 7 思路点拨 直线与圆的位置关系有三种 由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系决 定 当d r时 相离 当d r时相切 当d r时相交 答案 D 解析 圆心到直线的距离 半径 由于 0 00 babyax 22 ba ba d 2 r 所以 从而直线与圆相交或相切 2 2 1 2222 2 2 ba ab ba ba drd 5 命题立意 本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离 思路点拨 圆上的点到直线上的点 这两个动点之间的距离的最小值 可以转化为直线 上的点到圆心的距离的最小值来解决 圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的 距离加上半径 最小值等于圆心到直线的距离减去半径 当直线与圆相交时 圆上的点到 直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径 最小值等于 0 答案 B 解析 由题意可知 直线与圆相离 即 圆0744 22 yxyx 122 22 yx 心到直线的距离 解得 2 2kxy 1 22 2 k k d1221 1 22 2 k k rd1 k 6 命题立意 考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想 思路点拨 可建立m关于e的函数 从而可根据e的范围求得m的范围 答案 C 解析 化椭圆的方程为标准方程 当 1 即 1 时 椭圆焦点 1 1 2 2 m y x m 1 m 在 轴上 此时 又 x1 2 a m b 1 2 m c 1 1 2 m e 1 1 2 2 1 1 e m 2 2 3 3 e 2 又 1 1 2 当 1 即 1 时 椭圆焦点在轴上 此时 2 3 mm m m 1 my 即 又 综上 m a 1 2 1 2 b1 1 2 m cm a c e 1 2 2 22 1 em 2 2 3 3 e 2 1 m 3 2 的范围范围是 选择 C m 2 1 3 2 2 1 7 命题立意 考查双曲线的标准方程 离心率的概念 思路点拨 根据渐近线方程可以得到双曲线系方程 再分两种情况讨论焦点位置 从而 求得离心率 答案 C 解析 由于一条渐近线方程为 所以可设双曲线方程为 当焦03 yx 22 3yx 点在轴上时 方程为 0 此时 于是 所以离心率x 1 3 22 yx 3 2 a 2 b 3 4 222 bac 当焦点在轴上时 方程为 0 此时 于是2 a c ey 1 3 22 xy 2 a 3 2 b 所以离心率 故选择 C 3 4 222 bac3 3 2 a c e 8 命题立意 考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质 思路点拨 画出图形 利用抛物线的定义找出点M的横坐标与 FM 的关系即可求得 答案 C 解析 画出图形 知 设 由点向轴作垂线 垂足为N 则 0 1FFMa2Mx 于是点的横坐标 利用抛物线的定义 则向准线作垂线 有 FNaMax 1 0 MFM 即 所以 从而 4 1 0 x112 aa2 aFM 9 命题立意 考查椭圆与抛物线的标准方程 基本量的关系以及分类讨论问题 思路点拨 由抛物线的标准方程求得准线方程 从而求得椭圆一个顶点的坐标 这个值 是a还是b 就必须分两种情况讨论 用心 爱心 专心 8 答案 D 解析 由抛物线 得到准线方程为 又 即 当椭圆的焦点xy8 2 2 x 2 1 a c ca2 在 轴上时 此时椭圆的标准方程为 当椭圆的焦点在x2 a1 c3 222 cab1 34 22 yx 轴上时 此时椭圆的标准方程为 故选择 D y2 b3 3 2 c3 3 4 a 1 4 3 16 22 xy 10 命题立意 考查对向量含义的理解 线段垂直平分线的性质 三角形中位线性质和双 曲线定义 思路点拨 画出图形 将向量问题转化为实数中线段关系问题 利用线段垂直平分线的 性质和三角形中位线的性质 得到线段的差是常数 符合双曲线的定义 答案 B 解析 画出图形 说明点N在圆上 说明N是线段1 ON1 22 yxNMMF2 1 的中点 x R R 说明在上 说明PN是线段的垂直平MF1 2 MFMP P 2 MF0 1 PNMFMF1 分线 于是有 从而有 2 4 所以PMPF 12 2 1 MFON ONMFPFPMPFPF2 2221 21F F 点P的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支 从而选择 B 1 F 2 F 11 命题立意 考查圆的方程 直线与圆相切问题 思路点拨 圆心已知 故只需求得其半径即可 而半径为圆心 1 2 到直线的距离 根据点到直线的距离可求其半径 从而可求得圆的标准方程 答案 解析 圆的半径 所以圆的方程为 821 22 yx 22 11 121 22 r 2 22 2221 yx 即 821 22 yx 12 命题立意 考查圆的标准方程 点到直线的距离 思路点拨 先化圆的方程为标准方程 求出圆心到直线的距离 再来与半径比较 答案 3 解析 圆的方程为 圆心到直线 222 22 yx 2 2 的距离 圆的半径 所以圆上到直线的距离05 yx 2 2 2 522 d 2 r 等于的点有 3 个 2 2 13 命题立意 考查圆心到直线的距离 圆的切线长定理和直线与圆相切问题 思路点拨 画出图形 PM是切线 切线长最小 即 PC 最小 也就是C到 的距离 1 l 答案 解析 画出图形 由题意l2与圆C只一个交点 说明l2是圆C的切线 由于1 所以要 PM 最小 只需 PC 最小 即点C到l1的距离 16 2222 PCCMPCPM 22 1 8 1 305 mm 所以 PM 的最小值为 解得 416 1 8 2 2 m 1 m 14 命题立意 考查椭圆的标准方程 椭圆离心率的概念和圆的切线问题 思路点拨 画出图形 由椭圆的离心率为得到 再利用圆的切线的性质得到 2 2 a c 2 2 直角三角形 在直角三角形中求解角度 用心 爱心 专心 9 答案 解析 如图 连结OA 则OA PA 所以 从 2 2 2 sin 2 a c c a a APO 4 APO 而 2 APB 15 命题立意 考查双曲线中由a b c构成的直角三角形的几何意义及离心率与 a b c的关系 思路点拨 可根据四边形的特征 以 有一个内角小于 60 为桥梁确定离心率的范 围 答案 解析 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 如图所示 由于在 2 2 6 1 2 2 2 2 b y a x 双曲线c b 所以只能是 90 故由题意可知 60 90 211 BFB 211 BFB 在中 30 45 11B OFRt 11B OF 3 3 c b 2 2 3 1 2 22 c ac 2 1 即 1 e2 2 e 3 1 2 1 e 2 1 2 3 2 6 2 16 命题立意 考查圆的标准方程 直线与圆的位置关系 以及弦长问题 思路点拨 1 过圆外一点的圆的切线方程 一般设斜率 利用圆心到直线的距离等于 半径来求出斜率 但一定要注意斜率存在与否 2 将弦长看成底边 则三角形的高AB 就是圆心到直线的距离 解析 1 圆心为 半径 当切线的斜率存在时 设过点的切线方程为 0 0O4 r 8 4 M 即 1 分 则 解得 3 分 于是切线方程 48 xky084 kykx 4 1 84 2 k k 4 3 k 为 5 分 当斜率不存在时 也符合题意 故过点的圆的切线02043 yx4 x 11 5 MO 方程为或 6 分 02043 yx4 x 2 当直线AB的斜率不存在时 7 分 当直线AB的斜率存在时 设直线73 ABC S AB的方程为 即 圆心到直线AB的距离 9 分 线段 3 xky03 kykx 0 0O 1 3 2 k k d AB的长度 所以 11 分 当 2 162dAB 8 2 16 1616 2 1 22 222 dd dddddABS ABC 且仅当时取等号 此时 解得 所以的最大面积为 8 此时直8 2 d8 1 9 2 2 k k 22 kOAB 线AB的斜率为 12 分 22 17 命题立意 本题考查椭圆方程的求法 直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题 思路点拨 1 可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得 的值 从而可得的值 bca 故可求椭圆方程 2 可利用向量法解决 解析 1 抛物线的图象向上平移个单位长度后其解析yx22 2 2 式为 其与 轴的交点坐标分别为 222 2 yxxy 0 2 2 0 2 分 故椭圆的方程为 4 分 2 b2 c6 2 a1 26 22 yx 2 由题意可得直线 的方程为 代入椭圆方程消去得 l mxy 3 3 y 6 分 0622 22 mmxx 用心 爱心 专心 10 又 0 7 分 设C D分别为 则 684 22 mm 32 m32 11 y x 22 y x mxx 21 2 6 2 21 m xx 333 1 3 3 3 3 2 21212121 m xx m xxmxmxyy 11 2 yxFC 22 2 yxFD 10 分 点在圆的外部 3 32 4 33 6 3 4 22 2 21212121 mmm xx m xxyyxxFDFCF 0 即 0 解得 0 或 3 又 0FDFC 3 32 mm mm32 m3232 m 或 3 12 分 m32 18 命题立意 考查双曲线的定义和标准方程 渐近线和离心率计算公式 思路点拨 1 求渐近线方程的目标就是求 可根据条件建立a b的数量关系来求得 a b 2 可建立e关于的函数 从而可根据的范围求得e的范围 3 可根据离心率确定 a b的数量关系 再结合图形确定圆的圆心与半径 解析 由于 所以 于是 1 分 由相似三 0 2c F a b cP 2 a b PF 2 2 a a b aPFPF22 2 21 角形知 即 即 2 分 1 1 2 PF OF PF OH 1 2 1 PF PF OF OH a b a a b 2 2 2 222 2bba 12 22 ba 1 2 2 2 a b 1 当时 3 分 所以双曲线的渐近线方程为 4 分 3 1 1 2 2 a b ba xy 2 在上为单调递增函数 5 分 1 2 11 1 2 1 112 1 1 2 11 2 2 2 2 2 a b a c e 2 1 9 1 当时 取得最大值 3 6 分 当时 取得最小值 7 分 2 1 2 e 9 1 2 e 4 5 8 分 3 4 5 2 e3 2 5 e 3 当时 9 分 是圆的直径 3 e3 a c ac3 22 2ab 212 FFPF 1 PF 圆心是的中点 1 PF 在轴上截得的弦长就是直径 10 分 又 y8 1 PF a a a a a b aPF4 2 22 22 1 11 分 圆心 半径为 4 故圆的84 a2 a32 c22 b42 2 2 a a b PF 2 0C 方程为 12 分 162 22 yx 19 命题立意 考查抛物线的标准方程 直线与抛物线的位置关系 思路点拨 设直线方程 与抛物线方程联立 利用韦达定理来解决 存在性问题一般是 假设存在 利用垂径定理推导求解来解决 解析 1 依题意 可设 直线AB的方程为 11 y xA 22 y xB pmyx 用心 爱心 专心 11 由 2 分 得 3 分 022 2 22 2 ppmyy pxy pmyx 2 21 21 2 2 pyy pmyy NBNA 2211 ypxypx 2121 yypxpx 6 分 当时 取得最小 2121 22yypmypmy 2 2121 2 421pyypmyym 222 22pmp 0 mNBNA 值 7 分 2 2p 2 假设满足条件的直线 存在 其方程为 AC的中点为 与以AC为直径的圆lax O l 相交于P Q PQ的中点为H 则 的坐标为 PQHO O 2 2 11 ypx 9 分 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 pxypxACPO apaxpapxapxHOPOPH 1 2 1 22 1 222 2 1 2 4 1 4 12 PQ 2 2 PH apaxpa 1 2 1 4 11 分 令得 此时为定值 故满足条件的直线 存在 其方程为0 2 1 papa 2 1 pPQ l 13 分 px 2 1 20 命题立意 考查椭圆与抛物线的标准方程 直线与椭圆的位置关系 思路点拨 1 利用抛物线的标准方程 求出焦点坐标 从而得到椭圆中的b 再由离心率 建立方程 可求得椭圆的标准方程 2 抓住直线PQ x轴 即直线PA PB的BPQAPQ 斜率互为相反数 联系方程利用韦达定理来解决 解析 1 设C方程为 a b 0 则 由 得a 4 1 2 2 2 2 b y a x 32 b 2 1 a c 222 bca 椭圆C的方程为 4 分 2 设 直线AB的方程为 1 1216 22 yx 11 y xA 22 y xBtxy 2 1 代入 得 由 0 解得 4 6 分 由韦达定理得1 1216 22 yx 012 22 ttxx 4 t txx 21 12 2 21 txx 四边形APBQ的面积 当时 8 分 2 21 34836 2 1 txxS 0 t312 max S 当 则PA PB的斜率之和为 0 设直线PA的斜率为 则PB的斜率为 BPQAPQ kk PA的直线方程为 由