【素材】111平方根与立方根

11 111 1 平方根与立方根平方根与立方根 重 难点研习重 难点研习 研习点研习点 1 1 平方根概念 平方根概念 如果一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做 a 的平方根 二次方根 用数学语言表达即为 若 x2 a 则 x 叫做 a 的平方根 求一个数 a 的平方根的运算 叫做开平方的运算 归纳整理 1 平方根的表示方法 一个正数 a 的正的平方根 用符号 表示 a 叫做被开方数 2 叫做根指数 正 数 a 的负的平方根用符号 表示 a 的平方根合起来记作 其中 读 作 二次根号 读作 二次根号下 a 根指数为 2 时 通常将这个 2 省略不写 所 以正数 a 的平方根也可记作 读作 正 负根号 a 2 平方运算与开平方运算互为逆运算 根据这种关系 我们可以通过平方运算来求一 个数的平方根 与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算 典例典例 1 1 下列各数的平方根 1 81 2 3 4 0 49 研析研析 1 9 2 81 81 的平方根为 9 即 2 的平方根是 即 3 的平方根是 即 4 0 7 2 0 49 0 49 的平方根为 0 7 研习点研习点 2 2 平方根的性质 平方根的性质 1 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 2 0 有一个平方根 它是 0 本身 3 负数没有平方根 探索发现探索发现 数 a 是否有平方根 应根据 a 的取值而定 一般地 当 a 是正数时 a 有两个平方根 它们是互为相反数 当 a 是 0 时 只有一个平方根是它本身 而当 a 为负数时 则没有平方根 所以判断一个数 a 是否有平方根一定要注意 a 的隐含条件 即 a 一定是非负数 典例典例 2 2 求下列各式中 x 的值 1 2 研析研析 这里要求灵活运用开平方的知识来解方程 如果把方程左边展开 则走入误 区 必须运用开平方的知识求解 解 1 则 2 则 本题不要将原方程利用乘法公式变形展开 把括号里的看作整体处理 因此问题就转 化为求平方根问题 但要注意一个正数的平方根有两个 研习点研习点 3 3 算术平方根 算术平方根 0 的平方根也叫做 0 的算术平方根 因此 0 的算术平方根是 0 即 辨析比较辨析比较 算术平方根的符号 不仅是一个运算符号 如 a 0 时 表示 a 对非负数 a 进行开平方运算 另一方面也是一个性质符号 即表示非负数 a 的正的平方 根 典例典例 3 3 求下列各数的算术平方根 研析研析 1 因为 102 100 所以 100 的算术平方根是 10 即 4 因为 0 7 2 0 49 所以 0 49 的算术平方根是 0 7 即 研习点研习点 4 4 平方根与算术平方根的区别及联系 平方根与算术平方根的区别及联系 区别 1 定义不同 如果一个数的平方等于 a 这个数就叫做 a 的平方根 非负数 a 的非负平方根叫做 a 的算术平方根 2 个数不同 一个正数有两个平方根 而一个正数的算术平方根只有一个 3 表示方法不同 正数 a 的平方根表示为 正数 a 的算术平方根表示为 4 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根则一正一负 两数 互为相反数 联系 1 具有包含关系 平方根包含算术平方根 算术平方根是平方根中的一种 2 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有 3 0 的平方根 算术平方根均为 0 辨析比较辨析比较 平方根的符号有三种形式 它们的意义分别是 非负数 a 的平方根 非负数 a 的算术平方根 非负数 a 的负平方根 要特别注意 典例典例 4 4 填空 填空 1 1 的平方根是 立方根为 算术平方根为 2 平方根是它本身的数是 3 立方根是其本身的数是 4 算术平方根是其本身的数是 5 的立方根为 6 的平方根为 7 的立方根为 解 1 1 1 1 2 0 此题学生容易把 1 也算进去 注意纠正他们的错误 3 1 和 0 由此题 再复习一道立方根的性质 4 0 1 此题有学生可能会忘掉 0 5 2 此题学生易得出 4 的答案 应引导学生将 翻译为 8 在求立方根 也 有学生将 看成 得到 讲解时注意 6 此题首先让学生把 计算出来 再求平方根 而且平方根有两个 7 2 研习点研习点 5 5 立方根 立方根 1 立方根的概念 如果一个数的立方等于 a 这个数就叫做 a 的立方根立方根 也称数 a 的三次方根三次方根 用数学式表示为 若 x3 a 则 x 叫做 a 的立方根 或称 x 叫做 a 的三次方根 2 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方运算与立方运算互为逆运算 3 立方根的表示方法 类似于平方根德表示方法 数 a 的立方根我们用符号来表示 读作 三次根号下 a 其中 a 叫做被开方数 3 叫做根指数 4 立方根的性质 正数的两方法供是一个正数 负数的立方根是一个负数 0 的立方 根是 0 类比扩展类比扩展 方根概念的拓展 概念 若x a n 则 x 叫 a 的 n 次方根 表示为 x a n n 2的整数 n 为偶数时 可对比平方根 a 0时 a 有 n 次方根 a 0时 a 的 n 次方根不存在 n 为奇数时 对任意的 a 都有