2010届高三物理高考复习专题：04-曲线运动

课课 题 题 曲线运动曲线运动 类型 复习课类型 复习课 目的要求 理解并熟悉掌握运动的合成与分解的思想方法 理解掌握匀速圆周运动及其重要 公式 能应用有关知误解解决一些实际问题 重点难点 教 具 过程及内容 运动的合成与分解运动的合成与分解 知识简析知识简析 一 运动的合成一 运动的合成 1 由已知的分运动求其合运动叫运动的合成 这既可能是一个实际问题 即确有一个物体 同时参与几个分运动而存在合运动 又可能是一种思维方法 即可以把一个较为复杂的实际 运动看成是几个基本的运动合成的 通过对简单分运动的处理 来得到对于复杂运动所需的 结果 2 描述运动的物理量如位移 速度 加速度都是矢量 运动的合成应遵循矢量运算的法则 1 如果分运动都在同一条直线上 需选取正方向 与正方向相同的量取正 相反的量取 负 矢量运算简化为代数运算 2 如果分运动互成角度 运动合成要遵循平行四边形定则 3 合运动的性质取决于分运动的情况 两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动 一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动 二者共线时 为匀变速直线运动 二者不共线时 为匀变速曲线运动 两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动 当合运动的初速度与合运动的加速度共线时 为匀变速直线运动 当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动 二 运动的分解二 运动的分解 1 已知合运动求分运动叫运动的分解 2 运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则 3 将速度正交分解为 vx vcos 和 vy vsin 是常用的处理方法 4 速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解 常用的思想方法有两种 一种思 想方法是先虚拟合运动的一个位移 看看这个位移产生了什么效果 从中找到运动分解的办 法 另一种思想方法是先确定合运动的速度方向 物体的实际运动方向就是合速度的方向 然后分析由这个合速度所产生的实际效果 以确定两个分速度的方向 三 合运动与分运动的特征 三 合运动与分运动的特征 1 等时性 合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等 2 独立性 一个物体可以同时参与几个不同的分运动 各个分运动独立进行 互不影响 3 等效性 合运动和分运动是等效替代关系 不能并存 4 矢量性 加速度 速度 位移都是矢量 其合成和分解遵循平行四边形定则 例1 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A 小车下装有吊着物体B的吊 钩 在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时 吊钩将物体B向上吊起 第第 1 1 课课 A B之间的距离以 2 2dHt SI SI表示国际单位制 式中H为吊臂离地面的高度 规律 变化 则物体做 A 速度大小不变的曲线运动 B 速度大小增加的曲线运动 C 加速度大小方向均不变的曲线运动 D 加速度大小方向均变化的曲线运动 答案 B C 四 物体做曲线运动的条件四 物体做曲线运动的条件 1 曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线 曲线运动的速度方向是该点的切线 方向 曲线运动速度方向不断变化 故曲线运动一定是变速运动 2 物体做一般曲线运动的条件 运动物体所受的合外力 或加速度 的方向跟它的速度方 向不在同一直线上 即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或 的夹角 说明 当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时 物体做曲线运动速率将增 大 当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时 物体做曲线运动的速率将减小 3 重点掌握的两种情况 一是加速度大小 方向都不变的曲线运动 叫匀变曲线运动 如平 抛运动 另一是加速度大小不变 方向时刻改变的曲线运动 如匀速圆周运动 规律方法规律方法 1 1 运动的合成与分解的应用 运动的合成与分解的应用 合运动与分运动的关系 满足等时性与独立性 即各个分运动是独立进行的 不受其他运动 的影响 合运动和各个分运动经历的时间相等 讨论某一运动过程的时间 往往可直接分析 某一分运动得出 例 2 小船从甲地顺水到乙地用时 t1 返回时逆水行舟用时 t2 若水不流动完成往返用时 t3 设船速率与水流速率均不变 则 A t3 t1 t2 B t3 t1 t2 C t3 t1 t2 D 条件不足 无法判断 解析 设船的速度为 V 水的速度为 v0 则 123 00 2 SSS ttt VvVvV 2 0 2 21 2 vV VS tt 因此 2 0 2S v V V Vs时 船才有可能垂直于河岸 横渡 3 如果水流速度大于船上在静水中的航行速度 则不论船的航向如何 总是被水冲向下 游 怎样才能使漂下的距离最短呢 如图 2 丙所示 设船头 Vc与河岸成 角 合速度 V 与 河岸成 角 可以看出 角越大 船漂下的距离 x 越短 那么 在什么条件下 角最大 呢 以 Vs的矢尖为圆心 以 Vc为半径画圆 当 V 与圆相切时 角最大 根据 cos Vc Vs 船 头与河岸的夹角应为 arccosVc Vs 船漂的最短距离为 sin cos min c cs V L VVx 此时渡河的最短位移为 L V VL s c s cos 思考 思考 小船渡河过程中参与了哪两种运动 这两种运动有何关系 小船渡河过程中参与了哪两种运动 这两种运动有何关系 过河的最短时间和最短位移分别决定于什么 过河的最短时间和最短位移分别决定于什么 3 3 曲线运动条件的应用 曲线运动条件的应用 做曲线运动的物体 其轨迹向合外力所指的一方弯曲 若已知物体的运动轨迹 可判断出合 外力的大致方向 若合外力为变力 则为变加速运动 若合外力为恒力 则为匀变速运动 例 10 质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态 当撤去某个恒力 F1时 物体可能做 A 匀加速直线运动 B 匀减速直线运动 Vs Vc V2 图 2 甲 V1 Vs Vc 图 2 乙 V Vs Vc 图 2 丙 V A BE R O PV 0 V 1 C 匀变速曲线运动 D 变加速曲线运动 分析与解 当撤去 F1时 由平衡条件可知 物体此时所受合外力大小等于 F1 方向与 F1方 向相反 若物体原来静止 物体一定做与 F1相反方向的匀加速直线运动 若物体原来做匀速运动 若 F1与初速度方向在同一条直线上 则物体可能做匀加速直线运动 或匀减速直线运动 故 A B 正确 若 F1与初速度不在同一直线上 则物体做曲线运动 且其加速度为恒定值 故物体做匀变速 曲线运动 故 C 正确 D 错误 正确答案为 A B C 例 11 图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线 虚线是某一带电粒子通过该 电场区域时的运动轨迹 a b 是轨迹上的两点 若带电粒子在运动中只受电场力作用 根据此 图可作出正确判断的是 A 带电粒子所带电荷的符号 B 带电粒子在 a b 两点的受力方向 C 带电粒子在 a b 两点的速度何处较大 D 带电粒子在 a b 两点的电势能何处较 大 解析 由图中的曲线可以看出 不管带电粒子由 a b 还是由 b a 力的方向必 然指向左下方 从而得到正确答案 BCD 思考 若实线为等势线 该题又该如何分析 例12 如图所示 在竖直平面的xoy坐标 系内 oy表示竖直向上方向 该平面内存在 沿x轴正向的匀强电场 一个带电小球从坐标 原点沿oy方向竖直向上抛出 初动能为4J 不计空气阻力 它达到的最高点位置如图中M 点所示 求 小球在M点时的动能E1 在图上标出小球落回x轴时的位置N 小球到达N点时的动能 E2 解 在竖直方向小球只受重力 从O M速度由v0减小到 0 在水平方向小球只受电场力 速度由 0 增大到v1 由图知这两个分运动平均速度大小之比为 2 3 因此v0 v1 2 3 所 以小球在M点时的动能E1 9J 由竖直分运动知 O M和M N经历的时间相同 因此水平位移大小之比为 1 3 故N点 的横坐标为 12 小球到达N点时的竖直分速度为v0 水平分速度为 2v1 由此可得此时动能E2 40J 平抛物体的运动平抛物体的运动 知识简析知识简析 一 平抛物体的运动一 平抛物体的运动 1 1 平抛运动 将物体沿水平方向抛出 其运动为平抛运动 平抛运动 将物体沿水平方向抛出 其运动为平抛运动 1 运动特点 a 只受重力 b 初速度与重力垂直 尽管其速度大小和方向时刻在改变 但其运动的加速度却恒为重力加速度 g 因而平抛运动是一个匀变速曲线运动 2 平抛运动的处理方法 平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由 第第 2 2 课课 a b 3 2 1 N 落体运动 水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性 又具有等时性 3 平抛运动的规律 以物体的出发点为原点 沿水平和竖直方向建成立坐标 ax 0 ay 0 水平方向 vx v0 竖直方向 vy gt x v0t y gt2 平抛物体在时间 t 内的位移 S 可由 两式推得 s 2 22 0 2 1 gttv 224 0 4 2 tgv t 位移的方向与水平方向的夹角 由下式决定 tg y x gt2 v0t gt 2v0 平抛物体经时间 t 时的瞬时速度 vt可由 两式推得 vt 2 2 0 gtv 速度 vt的方向与水平方向的夹角 可由下式决定 tg vy vx gt v0 平抛物体的轨迹方程可由 两式通过消去时间 t 而推得 y 2 0 2v g x2 可见 平抛物体 运动的轨迹是一条抛物线 运动时间由高度决定 与 v0无关 所以 t gh 2 水平距离 x v0t v0gh 2 t 时间内速度改变量相等 即 v g t V 方向是竖直向下的 说明平抛运动是匀变 速曲线运动 2 2 处理平抛物体的运动时应注意 处理平抛物体的运动时应注意 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的 其中每个分运动都不会因另一个分运 动的存在而受到影响 即垂直不相干关系 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性 运动时间由高度决定 与 v0无关 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角 由上证明可知 tg 2tg 例例 1 1 物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下 通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的 Q 点 若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来 使传送带随之运动 如图 1 16 所示 再 把物块放到 P 点自由滑下则 A 物块将仍落在 Q 点 B 物块将会落在 Q 点的左边 C 物块将会落在 Q 点的右边 D 物块有可能落不到地面上 解答 物块从斜面滑下来 当传送带静止时 在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力 物 块将做匀减速运动 离开传送带时做平抛运动 当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是 向前运动 受到滑动摩擦力方向与运动方向相反 物体做匀减速运动 离开传送带时 也 做平抛运动 且与传送带不动时的抛出速度相同 故落在 Q 点 所以 A 选项正确 小结 若此题中传送带顺时针转动 物块相对传送带的运动情况就应讨论了 1 当 v0 vB物块滑到底的速度等于传送带速度 没有摩擦力作用 物块做匀速运动 离开 传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大 水平位移也大 所以落在 Q 点的右边 2 当 v0 vB物块滑到底速度小于传送带的速度 有两种情况 一是物块始终做匀加速运 动 二是物块先做加速运动 当物块速度等于传送带的速度时 物体做匀速运动 这两种情 况落点都在 Q 点右边 3 v0 vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度 有两种情况 一是物块一直减速 二是先减速后匀速 第一种落在 Q 点 第二种落在 Q 点的右边 规律方法规律方法 1 1 平抛运动的分析方法 平抛运动的分析方法 用运动合成和分解方法研究平抛运动 要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动 即水 平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 其运动规律有两部分 一部分是速度规 律 一部分是位移规律 对具体的平抛运动 关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与 速度规律有关 例 2 如图在倾角为 的斜面顶端 A 处以速度 V0水平抛出一小球 落在斜面上的某一点 B 处 设空气阻力不计 求 1 小球从 A 运动到 B 处所需的时间 2 从抛出开始计时 经过多长时间小球离斜面的距离达到最大 解析 1 小球做平抛运动 同时受到斜面体的限制 设从小球从 A 运动 到 B 处所需的时间为 t 则 水平位移为 x V0t 竖直位移为 y 2 2 1 gt 由数学关系得到 g V ttVgt tan2 tan 2 1 0 0 2 2 从抛出开始计时 经过 t1时间小球离斜面的距离达到最大 当小球的速度与斜面平行时 小球离斜面的距离达到最大 因 Vy1 gt1 V0tan 所以 g V t tan 0 1 例 3 已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T 求 v0 g vc 解 水平方向 T a v 2 0 竖直方向 2 2 T a ggTs 先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy 再求合速度vC 41 2 2 5 2 0 T a v T a v T a vv cyx 例 4 如图所示 一高度为 h 0 2m 的水平面在 A 点处与一倾角为 30 的 斜面连接 一小球以V0 5m s 的速度在平面上向右运动 求小球从 A 点运动到地面所需的时 间 平面与斜面均光滑 取 g 10m s2 某同学对此题的解法为 小球沿斜面运动 则 2 0 1 sin sin2 h V tgt 由此可求得落地的时间 t 问 你同意上述解法吗 若同意 求出所需的时间 若不同意 则说明理由并求出你认为正确的结果 解析 不同意 小球应在 A 点离开平面做平抛运动 而不是沿斜面下滑 正确做法为 落地点与 A 点的水平距离 00 22 0 2 51 10 h sV tVm g 斜面底宽 0 230 35 lhctgm 因为ls 所以小球离开 A 点后不会落到斜面 因此落地时间即为平抛运动 时间 22 0 2 0 2 10 h ts g 2 2 平抛运动的速度变化和重要推论 平抛运动的速度变化和重要推论 水平方向分速度保持 vx v0 竖直方向 加速度恒为 g 速度 vy gt 从抛 B A h A 图 8 B A V0 V0 Vy1 出点起 每隔 t 时间的速度的矢量关系如图所示 这一矢量关系有两个特点 1 任意时 刻的速度水平分量均等于初速度 v0 2 任意相等时间间隔 t 内的速度改变量均竖直向下 且 v vy g t 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距 离都等于水平位移的一半 证明 设时间t内物体的水平位移为s 竖直位移为h 则末速度的水平分量 vx v0 s t 而竖直分量vy 2h t s h v v 2 tan x y 所以有 2tan sh s 例 5 作平抛运动的物体 在落地前的最后 1s 内 其速度方向由跟竖直方向 成 600角变为跟竖直方向成 450角 求 物体抛出时的速度和高度分别是多少 解析一 设平抛运动的初速度为 v0 运动时间为 t 则经过 t 一 1 s 时 vy g t 一 1 tan300 0 1g t v 经过 ts 时 vy gt tan450 0 gt v 0 0 1 tan30 tan45 t t 33 2 t V0 gt tan450 23 2 m s H gt2 27 5 m 解析二 此题如果用结论解题更简单 V g t 9 8m s 又有 V0cot450一 v0cot600 V 解得 V0 23 2 m s H vy2 2g 27 5 m 说明 此题如果画出最后 1s 初 末速度的矢量图 做起来更直观 例 6 从倾角为 30 的斜面顶端以初动能E 6J 向下坡方向平抛出一 个小球 则小球落到斜面上时的动能E 为 J 解 以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD 可以证明末速度vt的 反向延长线必然交AB于其中点O 由图中可知AD AO 2 3 由相似形可 知vt v0 7 3 因此很容易可以得出结论 E 14J 3 3 平抛运动的拓展 类平抛运动 平抛运动的拓展 类平抛运动 例 7 如图所示 光滑斜面长为 a 宽为 b 倾角为 一物块沿斜面左上方顶点 P 水平 射入 而从右下方顶点 Q 离开斜面 求入射初速度 解析 物块在垂直于斜面方向没有运动 物块沿斜面方向上的曲线运动 可分解为水平方向上初速度 v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零 的匀加速运动 在沿斜面方向上 mgsin ma加 a加 gsin 水平方 向上的位移 s a v0t 沿斜面向下的位移 y b a加t2 由 得 v0 a sin 2 g b 说明 运用运动分解的方法来解决曲线运动问题 就是分析好两个分运 动 根据分运动的运动性质 选择合适的运动学公式求解 例 8 从高 H 处的 A 点水平抛出一个物体 其水平射程为 2s 若在 A 点正上方高 H 的 B 点抛出另一个物体 其水平射程为 s 已知两物体的 运动轨迹在同一竖直平面内 且都从同一竖屏 M 的顶端擦过 如图所示 v0 vt v0 vy A O B D C v0 v t v x v y h s s 求屏 M 的高度 h 分析 思路分析 思路 1 1 平抛运动水平位移与两个因素有关 初速大小和抛出高度 分别写出水平位 平抛运动水平位移与两个因素有关 初速大小和抛出高度 分别写出水平位 移公式 相比可得初速之比 设出屏移公式 相比可得初速之比 设出屏 M M 的顶端到各抛出点的高度 分别写出与之相应的竖直的顶端到各抛出点的高度 分别写出与之相应的竖直 位移公式 将各自时间用水平位移和初速表示 解方程即可 位移公式 将各自时间用水平位移和初速表示 解方程即可 思路思路 2 2 两点水平抛出 轨迹均为抛物线 将 两点水平抛出 轨迹均为抛物线 将 都从同一竖屏都从同一竖屏 M M 的顶端擦过的顶端擦过 转化为数转化为数 学条件 两条抛物线均过同一点 按解析几何方法求解 学条件 两条抛物线均过同一点 按解析几何方法求解 解析 画出各自轨迹示意图 法一 由平抛运动规律根据题意得 2s VAtA s VBtB H gtA2 2H gtB2 可得 2 2 2 2 ABAB tt vv 又设各自经过时间 t1 t2从屏 M 的顶端擦过 则在竖直方向上有 H h gt12 2H h gt22 在水平方向上有 x vAt1 vBt2 由以上三式解得 h 6H 7 法二 由平抛运动规律可得抛物线方程 2 0 2 g yx v 依题意有 yA H h yB 2H h 时所对应的 x 值相同 将 x yA x yB 分别代入各自的抛物线方程联立求出 h 6H 7 例 9 排球场总长 18m 网高 2 25 m 如图所示 设对方飞来一球 刚好在 3m 线正上方 被我方运动员后排强攻击回 假设排球被击回的初速度方向是水平的 那么可认为排球被击 回时做平抛运动 g 取 10m s2 1 若击球的高度 h 2 5m 球击回的水平速度与底线垂直 球既不能触网又不出底线 则球被击回的水平速度在什么范围内 2 若运动员仍从 3m 线处起跳 起跳高度 h 满足一定条件时 会出现无论球的水平初速多 大都是触网或越界 试求 h 满足的条件 解析 1 球以 vl速度被击回 球正好落在底线上 则 t1 gh 2 vl s t1 将 s 12m h 2 5m 代入得 v1 12 2 m s 球以 v2速度被击回 球正好触网 t2 gh 2 v2 s t2 将 h 2 5 2 25 m 0 25m s 3m 代入得 v2 3 10 m s 故球被击目的速度范围是 3 10 m s v 12 2 m s 2 若 h 较小 如果击球速度大 会出界 如果击球速度小则会融网 临界情况是球 刚好从球网上过去 落地时又刚好压底线 则 gh s 2 gh s 2 s s 的数值同 1 中的 值 h h 2 25 m 由此得 h 2 4m 故若 h 2 4m 无论击球的速度多大 球总是触网或出界 试题展示试题展示 匀速圆周运动匀速圆周运动 知识简析知识简析一 描述圆周运动的物理量一 描述圆周运动的物理量 1 线速度 做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值 1 物理意义 描述质点沿切线方向运动的快慢 2 方向 某点线速度方向沿圆弧该点切线方向 3 大小 V S t 说明 线速度是物体做圆周运动的即时速度 2 角速度 做匀速圆周运动的物体 连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的 比值 l 物理意义 描述质点绕圆心转动的快慢 2 大小 t rad s 3 周期 T 频率 f 做圆周运动物体一周所用的时间叫周期 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数 叫做频率 也叫转速 4 V T f 的关系 T 1 f 2 T 2 f v 2 r T 2 rf r T f 三个量中任一个确定 其余两个也就确定了 但 v 还和半径 r 有关 5 向心加速度 1 物理意义 描述线速度方向改变的快慢 2 大小 a v2 r 2r 4 2fr 4 2r T2 v 3 方向 总是指向圆心 方向时刻在变化 不论 a 的大小是否变化 a 都是个变加速度 4 注意 a 与 r 是成正比还是反比 要看前提条件 若 相同 a 与 r 成正比 若 v 相 同 a 与 r 成反比 若是 r 相同 a 与 2成正比 与 v2也成正比 6 向心力 1 作用 产生向心加速度 只改变线速度的方向 不改变速度的大小 因此 向心力对 做圆周运动的物体不做功 2 大小 F ma mv2 r m 2 r m4 2fr m4 2r T2 m v 3 方向 总是沿半径指向圆心 时刻在变化 即向心力是个变力 说明 向心力是按效果命名的力 不是某种性质的力 因此 向心力可以由某一个力提供 也可以由几个力的合力提供 要根据物体受力的实际情况判定 二 匀速圆周运动二 匀速圆周运动 1 特点 线速度的大小恒定 角速度 周期和频率都是恒定不变的 向心加速度和向心力 的大小也都是恒定不变的 2 性质 是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动 并且是加速度大小不变 方向时刻变化的变加速曲线运动 3 加速度和向心力 由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变 故仅存在向心 加速度 因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力 第第 3 3 课课 4 质点做匀速圆周运动的条件 合外力大小不变 方向始终与速度方向垂直且指向圆心 三 变速圆周运动 非匀速圆周运动 三 变速圆周运动 非匀速圆周运动 变速圆周运动的物体 不仅线速度大小 方向时刻在改变 而且加速度的大小 方向也时 刻在改变 是变加速曲线运动 注 匀速圆周运动也是变加速运动 变速圆周运动的合力一般不指向圆心 变速圆周运动所受的合外力产生两个效果 1 半径方向的分力 产生向心加速度而改变速度方向 2 切线方向的分力 产生切线方向加速度而改变速度大小 故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小 必须用该点的瞬时速度值 四 圆周运动解题思路四 圆周运动解题思路 1 灵活 正确地运用公式 Fn man mv2 r m 2r m4 2r T2 m4 2fr 2 正确地分析物体的受力情况 找出向心力 规律方法规律方法 1 1 线速度 角速度 向心加速度大小的比较线速度 角速度 向心加速度大小的比较 在分析传动装置的各物理量时 要抓住不等量和相等量的关系 同轴的各点角速度 和 n 相等 而线速度 v r 与半径 r 成正比 在不考虑皮带打滑的情况下 传动皮带与皮带连 接的两轮边缘的各点线速度大小相等 而角速度 v r 与半径 r 成反比 例1 对如图所示的皮带传动装置 下列说法中正确的是 A A轮带动B轮沿逆时针方向旋转 B B轮带动A轮沿逆时针方向旋转 C C轮带动D轮沿顺时针方向旋转 D D轮带动C轮沿顺时针方向旋转 答案 BD 例 2 如图所示 皮带传动装置转动后 皮带不打滑 则皮带轮上 A B C 三点的情况是 A vA vB vB vC B A B vB vC C vA vB B c D A B vB vC 解析解析 A B 两点在轮子边缘上 它们的线速度等于皮带上各点的线速度 所以 vA vB B C 两点在同一轮上 所以 B c 由 V r 知 vB vC A B 答案答案 AC 例 3 如图所示 直径为 d 的纸质圆筒 以角速度 绕轴 O 高速运动 有一颗子弹沿直径 穿过圆筒 若子弹穿过圆筒时间小于半个周期 在筒上先 后留下 a b 两个弹孔 已知 ao bo 间夹角为 弧度 则子弹速度为 解析解析 子弹在 a 处进入筒后 沿直径匀速直线运动 经 t d v 时间打在圆筒上 在 t 时间内 圆筒转过的角度 t 则 d v v d 答案 d 2 2 向心力的认识和来源 向心力的认识和来源 1 向心力不是和重力 弹力 摩擦力相并列的一种类型的力 是根据力的效果命名 的 在分析做圆周运动的质点受力情况时 切不可在物体的相互作用力 重力 弹力 摩擦 力 万有引力 以外再添加一个向心力 2 由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动 故只存在向心加速 度 物体受的外力的合力就是向心力 显然物体做匀速圆周运动的条件是 物体的合外力大 小不变 方向始终与速度方向垂直且指向圆心 3 分析向心力来源的步骤是 首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置 然后分 析圆周运动物体所受的力 作出受力图 最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心 力 例如 沿半球形碗的光滑内表面 一小球在水平面上做匀速圆周运动 如图小球做圆 周运动的圆心在与小球同一水平面上的 O 点 不在球心 O 也不在弹力 N 所指的 PO 线上 这 种分析方法和结论同样适用于圆锥摆 火车转弯 飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平 面内的匀速圆周运动的问题 共同点是由重力和弹力的合力提供向心力 向心力方向水平 4 变速圆周运动向心力的分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相 向 但要注意 一般情况下 变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供 分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时 通常有细绳和杆两种模型 5 当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时 即 F向 2 v m r 时 物体做离心运动 当 物体所受的合外力大于所需要的向心力 即 F向 2 v m r 时 物体做向心运动 例 4 飞行员从俯冲状态往上拉时 会发生黑机 第一次是因为血压降低 导致视网膜缺 血 第二次是因为大脑缺血 问 1 血压为什么会降低 2 血液在人体循 环中 作用是什么 3 为了使飞行这种情况 要在如图的仪器飞行员进行 训练 飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内 要使飞行员受的加速 度 a 6g 则转速需为多少 R 20m 解析 1 当飞行员往上加速上升 血液处于超重状态 视重增大 心 脏无法像平常一样运输血液 导致血压降低 2 血液在循环中所起作用为提供氧气 营养 带走代谢所产生的废物 3 由 a向 v2 R 可得 v Ra向 34 29 m s 3 3 圆周运动与其它运动的结合 圆周运动与其它运动的结合 圆周运动和其他运动相结合 要注意寻找这两种运动的结合点 如位移关系 速度关系 时 间关系等 还要注意圆周运动的特点 如具有一定的周期性等 例 5 如图所示 M N 是两个共轴圆筒的横截面 外筒半径为 R 内筒半径比 R 小很多 可 以忽略不计 简的两端是封闭的 两筒之间抽成真空 两筒以相同角速 度 转其中心轴线 图中垂直于纸面 作匀速转动 设从 M 筒内部可以 通过窄缝 S 与 M 筒的轴线平行 不断地向外射出两种不同速率 v1和 v2 的微粒 从 S 处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向 微粒到达 N 筒 后就附着在 N 筒上 如果 R v1和 v2都不变 而 取某一合适的值 则 A 有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 c 处一条与 S 缝平行的窄条上 B 有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某一处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上 C 有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 处和 C 处与 S 缝平行的窄条上 D 只要时间足够长 N 筒上将到处落有微粒 解 微粒从 M 到 N 运动时间 t R v 对应 N 筒转过角度 t R v 即 1 t R v1 2 t R v2 只要 1 2不是相差 2 的整数倍 则落在两处 C 项正确 若相差 2 的整数倍 则落在一处 可能是 a 处 也可能是 b 处 A B 正确 故正确选项为 ABC 例 6 如图所示 穿过光滑水平平面中央小孔 O 的细线与平面上质量为 m 的小球 P 相连 手拉细线的另一端 让小球在水平面内以角速度 1沿半径为 a 的圆周做匀速圆周运动 所 有摩擦均不考虑 求 1 这时细线上的张力多大 2 若突然松开手中的细线 经时间 t 再握紧细线 随后小球沿半径为 b 的圆周做匀速圆 周运动 试问 t 等于多大 这时的角速度 2为多大 分析 手松后 小球不受力 将做匀速直线运动 求时间必须明确位移 正确画出松手后到分析 手松后 小球不受力 将做匀速直线运动 求时间必须明确位移 正确画出松手后到 再拉紧期间小球的运动情况是解题的关键 求再拉紧期间小球的运动情况是解题的关键 求 WzWz 要考虑到速度的分解 小球匀速直线运动要考虑到速度的分解 小球匀速直线运动 速度要在瞬间变到沿圆周切向 实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进速度要在瞬间变到沿圆周切向 实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进 行 画出速度分解图 可求得半径为行 画出速度分解图 可求得半径为 b b 的圆周运动的速度 进而求出的圆周运动的速度 进而求出 2 2 解 1 绳的张力提供向心力 T m 12a 2 松手后小球由半径为 a 圆周运动到半径为 b 的圆周上 做的是匀速直线运 动 如图所示 22 1 Sba t Va 小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向 实际的运动可看做沿绳的切向和垂直 切向的两个运动同时进行 有 v2 vsin va b 即 21 a ba b 2 21 2 a b 例 7 如图所示 位于竖直平面上的 1 4 圆轨道 半径为 R OB 沿竖直方 向 上端 A 距地面高度为 H 质量为 m 的小球从 A 点由静止释放 最后落在 地面上 C 点处 不计空气阻力 求 1 小球则运动到 B 点时 对轨道的压力多大 2 小球落地点 C 与 B 点水平距离 S 为多少 3 比值 R H 为多少时 小球落地点 C 与 B 点水平距离 S 最远 该水平距离最大值是多少 解析解析 1 小球沿圆弧做圆周运动 在 B 点由牛顿第二定律有 NB mg mv2 R 由 A 至 B 机械能守恒 故有 mgR mv2 由此解出 NB 3mg 2 小球离 B 点后做平抛运动 在竖立方向有 H R gt2 水平方向有 S vt 由 解出 s RHR 4 3 由 式得 s 2 2 2HRH 由 式可知当 R H 2 时 s 有最大值 且为 smax H 答案答案 NB 3mg s 2 2 2HRH smax H 点评 点评 对于比较复杂的问题 一定要注意分清物理过程 而分析物理过程的前提是通过分析 物体的受力情况进行 4 4 圆周运动中实例分析 圆周运动中实例分析 例 8 如图所示 是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场 面 若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为 B 女运动员的质量为 m 转动过程中女 运动员的重心做匀速圆周运动的半径为 r 求这时男运动员对女运动员的 拉力大小及两人转动的角速度 解析 依圆锥摆原理 男运动员对女运动员的拉力 F mg cos 女运动员 做圆周运动的向心力 F向 mgtan 则由动力学方程得 mgtan m 2r 得 tang r 例 9 如图所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置的示意图 A 为光源 B 为 a b O v V 2 电接收器 A B 均固定在车身上 C 为小车的车轮 D 为与 C 同轴相连的齿轮 车轮转动时 A 发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号 被 B 接收并转换成电信号 由电子 电路记录和显示 若实验显示单位时间内的脉冲数为 n 累计脉冲数为 N 则要测出小车的 速度和行程还必须测量的物理量或数据是 车速度的表达式为 v 行程的表达式为 s 解析 由题可知 每经过一个间隙 转化成一个脉冲信号被接收到 每个间隙转动的时间 t 1 n 设一周有 P 个齿轮 则有 P 个间隙 周期 T Pt P n 据 v 2 R T 2 nR P 所以必须测量车轮的半径 R 和齿数 P 当肪冲总数为 N 则经过的时间 t0 Nt N n 所以位移 0 2 RN svt P 例 10 若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内 且 均为正圆 又知这两种转动同向 如图所示 月相变化的周期为 29 5 天 图示是相继两次满月时 月 地 日相对位置的示意图 求 月球绕地球 转一周所用的时间 T 因月球总是一面朝向地球 故 T 恰是月球自转周期 提示 可借鉴恒星日 太阳日的解释方法 解析 用物理角速度 线速度原理解答 地球绕太阳公转每天的角速度 2 365 取回归年 365 天 从上次满 月到下次满月地球公转了 角 用了 29 5 天 所以 29 5 2 365 29 5 天 月球在两满月之间转过 2 用了 29 5 天 所以月球每天的角速度 529 2 根据周期公式 T 2 即月球 3600除以每天角速度所花的时间 得 T 2 529 2 因为 2 365 29 5 所以 T 529365 2 2 5292 27 3 天 例 11 如图所示 在圆柱形房屋天花板中心 O 点悬挂一根长为 L 的细绳 绳的下端挂一个 质量为 m 的小球 已知绳能承受的最大拉力为 2mg 小球在水平面内做圆周运动 当 速度逐渐增大到绳断裂后 小球恰好以速度 v2 gL7落到墙脚边 求 1 绳断裂瞬 间的速度 v1 2 圆柱形房屋的高度 H 和半径 解析 绳断裂前小球作圆锥摆运动 绳断裂后小球沿切线方向作平抛运动 直到落地 小 球作平抛运动的过程满足机械能守恒定律 l 小球在绳断前瞬时受力如图所示 由于 Tm 2mg cos m T mg 2 1 600 F合 mgtan600 mv 2 1 r r Lsin 解得 v1 2 3gL 2 小球从抛出到落地 根据机械能守恒定律 mv12 mgh1 mv22 式中 h1为绳断裂时小球距地面的高度 由上式解得 h1 g vv 2 2 1 2 2 4 11 L 设绳断裂时小球距天花板的高度为 h2 则 h2 Lcos600 L 故房屋高度 H h1 h2 13 L 4 R x r 3 绳断裂后小球沿圆周的切线方向作平抛运动 设小球由平抛至落地的水平射程为 x 如 图所示 x v1t h1 gt2 2 R 22 xr 解得 R 3L 例 12 如图 a 所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳 下端拴一小物块 A 上端固定 在 C 点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连 已知有一质量为 m0的子弹 B 沿水平方向以 速度 v0射入 A 内 未穿透 接着两者一起绕 C 点在竖直面内做圆周运动 在各种阻力都可 忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力 F 随时间 t 的变化关系如图 b 所示 已知子弹射入 的时间极短 且图 b 中 t 0 为 A B 开始以相同速度运动的时刻 根据力学规律和题中 包括图 提供的信息 对反映悬挂系统本身性质的物理量 例如 A 的质量 及 A B 一起 运动过程中的守恒量 你能求得哪些定量的结果 解析 由图可直接看出 A B 一起做周期性运动 运动的周期 T 2t0 令 m 表示 A 的质量 L 表示绳长 v1表示 B 陷入 A 内时即 t 0 时 A B 的速度 即圆周运 动最低点的速度 v2表示运动到最高点时的速度 Fl表示运动到最低点时绳的拉力 F2表 示运动到最高点时绳的拉力 根据动量守恒定律 得 m0v0 m0 m v1 在最低点和最高点处运用牛顿定律可用 Fl一 m m0 g m m0 2 1 v l F2 m m0 g m m0 2 2 v l 根据机械能守恒定律可得 2L m m0 g m m0 v12 m m0 v22 由图可知 F2 0 F1 Fm 由以上各式可解得 反映系统性质的物理量是 0 6 m F mm g 22 00 2 36 5 m m v l F g A B 一起运动过程中的守恒量是机械能 E 若以最低点为势能的零点 则 E m m0 v12 由 式解得 22 00 3 m m v Eg F 圆周运动的应用圆周运动的应用 知识简析知识简析 一 圆周运动的临界问题一 圆周运动的临界问题 1 圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程 对研究对象进行正确的受力分析 然后确定向心力 根据向心力公 式列出方程 由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系 从而分析找到临界值 2 特例 1 如图所示 没有物体支撑的小球 在竖直平面 做圆周运动过最高点的情况 第第 4 4 课课 C A a B F Fm t03t 0 5t 0 注意注意 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件 绳子或轨道对小球没有力的作用 mg mv2 R v临界 Rg 可理解为恰好转过 或恰好转不过的速度 注意注意 如果小球带电 且空间存在电 磁场时 临界条件应是小球重力 电场力和洛伦兹力 的合力作为向心力 此时临界速度 V临 Rg 能过最高点的条件 v Rg 当 V Rg时 绳对球产生拉力 轨道对球产生压力 不能过最高点的条件 V V临界 实际上球还没到最高点时就脱离了轨道 2 如图 a 的球过最高点时 轻质杆 管 对球产生的弹力情况 注意 注意 杆与绳不同 杆对球既能产生拉力 也能对球产生支持力 当 v 0 时 N mg N 为支持力 当 0 v Rg时 N 随 v 增大而减小 且 mg N 0 N 为支持力 当 v Rg时 N 0 当 v Rg时 N 为拉力 N 随 v 的增大而增 大 此时 N 为拉力 方向指向圆心 注意 管壁支撑情况与杆子一样 若是图 b 的小球 此时将脱离轨道做平抛运动 因为轨道对小球不能产生拉力 注意 注意 如果小球带电 且空间存在电场或磁场时 临界条件应是小球所受重力 电场力 和洛仑兹力的合力等于向心力 此时临界速度gRV 0 要具体问题具体分析 但分析方 法是相同的 二二 质点做匀速圆周运动质点做匀速圆周运动 与与 物体绕固定轴做匀速转动物体绕固定轴做匀速转动 的区别与联系的区别与联系 1 质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动 所以质点在做变速运动 处于非平衡状态 2 物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态 对于物体上不在转动轴上 的任意微小质量团 可说成质点 则均在做匀速圆周运动 规律方法规律方法 1 1 圃周运动中临界问题分析 应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态 然圃周运动中临界问题分析 应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态 然 后分析该状态下物体的受力特点 结合圆周运动的知识 列出相应的动力学方程后分析该状态下物体的受力特点 结合圆周运动的知识 列出相应的动力学方程 例 1 在图中 一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO 旋转 现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中 心 另一端系住一个质量为 m 的物块 A 设弹簧劲度系数为 k 弹簧原长为 L 将物块 置于离圆心 R 处 R L 圆盘不动 物块保持静止 现使圆盘从静止开始转动 并使 转速 逐渐增大 物块 A 相对圆盘始终未惰动 当 增大到 5 4 k Rl mR 时 物块 A 是否受到圆盘的静摩擦力 如果受到静摩擦力 试确定其方向 解析 对物块 A 设其所受静摩擦力为零时的临界角度为 0 此时向心力仅为弹簧 弹力 若 0 则需要较大的向心力 故需添加指向圆心的静摩擦力 若 0 则需 要较小的向心力 物体受到的静摩擦力必背离圆心 依向心力公式有 m 02R k R L 所以 0 k Rl mR 故 5 4 k Rl mR 时 得 0 O O R 可见物块所受静摩擦力指向圆心 例 2 如图 16 所示 游乐列车由许多节车厢组成 列车全长为 L 圆形轨道半径为 R R 远大于一节车厢的高度 h 和长度 l 但 L 2 R 已知列车的车轮是卡在导轨上的 光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨 试问 列车在水平轨道上应具有多大初 速度 V0 才能使列车通过圆形轨道 分析与解 列车开上圆轨道时速度开始减慢 当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时 列车速度达到最小值 V 此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道 然后列车开 始加速 由于轨道光滑 列车机械能守恒 设单位长 列车的质量为 m 则有 22 0 11 2 22 mLVmLVmR gR 要使列车能通过圆形轨道 则必有 V 0 解得 L g RV 2 0 例 3 如图所示 细绳长为 L 一端固定在 O 点 另一端系一质量为 m 电荷量 为 q 的小球 置于电场强度为 E 的匀强电场中 欲使小球在竖直平面内做圆周运 动 小球至最高点时速度应该是多大 解析 小球至最高点时能以 L 为半径做圆周运动 所需向心力最小时绳子无拉力 则 Mg Eq mv02 L 得 mLEqmgv 0 故小球在竖直平面内能够做圆周运 动时 小球至最高点的速度 mLEqmgv 拓展 该题中物理最高点与几何最高点是重合的 物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的拓展 该题中物理最高点与几何最高点是重合的 物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的 物体在该点势能最大 动能最小 若把该题中的电场变为水平向右 如图 当金属球在环内物体在该点势能最大 动能最小 若把该题中的电场变为水平向右 如图 当金属球在环内 做圆周运动时 则物理最高点为做圆周运动时 则物理最高点为 A A 点 物理最低点为点 物理最低点为 B B 点 而几何最高点为点 而几何最高点为 C C 点 几何最低点 几何最低 点为点为 D D 点 这种情况下 两个最高点已不再重合 两个最低点也不再重合 点 这种情况下 两个最高点已不再重合 两个最低点也不再重合 A 处速度的最小值 临界速度 应满足 22 2 EqmgFRmvA 合 思考 物体恰能到达几何最高点时 绳的拉力为多少 例 4 一内壁光滑的环形细圆管 位于竖直平面内 环的半径为 R 比细管的半径大得 多 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 可视为质点 A 球的质量为 m1 B 球的 质量为 m2 它们沿环形圆管顺时针运动 经过最低点时的速度都为 v0 设 A 球运动到 最低点时 球恰好运动到最高点 若要此时两球作用于圆管的合力为零 那么 m1 m2 R 与 v0应满足怎样的关系式 解析 首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图 如图所示 A 球在圆管最低 点必受向上弹力 N1 此时两球对圆管的合力为零 m2必受圆管向下的弹力 N2 且 N1 N2 据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低点有 R v mgmN 2 0 111 同理 m2在最高点有 R v mNgm 2 1 222 V0 R E m q L O m2球由最高点到最低点机械能守恒 2 02 2 122 2 1 2 1 2vmvmRgm 又 N1 N2 小结 比较复杂的物理过程 如能依照题意画出草图 确定好研究对象 逐一分析就会 变为简单问题 找出其中的联系就能很好地解决问题 例 5 如图所示