江苏省赣马高级中学10-11学年高一数学 分段函数导学案 苏教版

用心 爱心 专心 1 赣马高级中学赣马高级中学 20102010 级高一数学级高一数学 1313 分段函数导学案分段函数导学案 学习导航学习导航 知识网络知识网络 分段函数 分段函数图象 分段函数定义域值域 分段函数定义 学习要求学习要求 1 了解分数函数的定义 2 学会求分段函数定义域 值域 3 学会运用函数图象来研究分段函数 新课导学新课导学 1 分段函数的定义 在函数定义域内 对于自变量 x 的不同取值范围 有着不同的对应法则 这样的 函数叫做分段函数 2 分段函数定义域 值域 分段函数定义域各段定义域的并集 其值域是各段值域的并集 填 并 或 交 3 分段函数图象 画分段函数的图象 应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象 互动探究互动探究 一 含有绝对值的解析式一 含有绝对值的解析式 例 1 已知函数 y x 1 x 2 1 作出函数的图象 2 写出函数的定义域和值域 用心 爱心 专心 2 二 生活中函数解析式问题二 生活中函数解析式问题 例例 2 2 某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地 在乙地耽搁 1 小时后 又以每小时 4 千米的速度步行返回甲地 写出该同学在上述过程中 离 甲地的距离 S 千米 和时间 t 小时 的函数关系式 并作出函数图象 三 二次函数在区间上的最值三 二次函数在区间上的最值 例例 3 3 已知函数 f x 2x2 2ax 3 在区间 1 1 上有最小值 记作 g a 1 求 g a 的函数表达式 2 求 g a 的最大值 迁移应用迁移应用 1 设函数 f x 2 2 2 2 2 xx xx 则 f 4 若 f x0 8 则 x0 用心 爱心 专心 3 2 已知函数 f x 0 0 0 1 0 2 x x xx 求 f 1 f f 3 f f f 3 的值 3 作出下列函数图象 y x 2 x 5 4 已知函数 y 1 1 3 1 1 0 nnfnfnf f f 则 f 4 用心 爱心 专心 4 5 已知函数 f x 1 1 12 2 x x xx 1 求函数定义域 2 化简解析式用分段函数表示 3 作出函数图象 答案 1 分段函数的定义 在函数定义域内 对于自变量 x 的不同取值范围 有着不同的对应法则 这样的 函数叫做分段函数 2 分段函数定义域 值域 分段函数定义域各段定义域的并集 其值域是各段值域的并集 填 并 或 交 3 分段函数图象 画分段函数的图象 应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象 例 1 已知函数 y x 1 x 2 1 作出函数的图象 2 写出函数的定义域和值域 解解 1 首先考虑去掉解析式中的绝对值符号 第一个绝对值的分段点 x 1 第二个绝 对值的分段点 x 2 这样数轴被分为三部分 2 2 1 1 所以已知函数可写为分段函数形式 y x 1 x 2 1 12 12 3 2 12 xx x xx 在相应的 x 取值范围内 分别作出相应函数的图象 即为所求函数的图象 图 象略 2 根据函数的图象可知 函数的定义域为 R 值域为 3 例例 2 2 某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地 在乙地耽搁 1 用心 爱心 专心 5 小时后 又以每小时 4 千米的速度步行返回甲地 写出该同学在上述过程中 离 甲地的距离 S 千米 和时间 t 小时 的函数关系式 并作出函数图象 解解 先考虑由甲地到乙地的过程 0 t 2 时 y 6t 再考虑在乙地耽搁的情况 2 t 3 时 y 12 最后考虑由乙地返回甲地的过程 3 t 6 时 y 12 4 t 3 所以 S t 63 244 32 12 20 6 tt t tt 函数图象 略 点评点评 某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示 须针对自变量的分段变化 情况 列出各段不同的解析式 再依据自变量的不同取值范围 分段画出函数的 图象 例例 3 3 已知函数 f x 2x2 2ax 3 在区间 1 1 上有最小值 记作 g a 1 求 g a 的函数表达式 2 求 g a 的最大值 解解 对称轴 x 讨论分1 2 1 1 2 1 22 aa aa 得 g a 2 52 22 2 3 2 52 2 aa a a aa 利用分段函数图象易得 g a max 3 点评点评 二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论 1 设函数 f x 2 2 2 2 2 xx xx 则 f 4 若 f x0 8 则 用心 爱心 专心 6 x0 答案 18 6 或 4 2 已知函数 f x 0 0 0 1 0 2 x x xx 求 f 1 f f 3 f f f 3 的值 答案 1 1 1 4 出下列函数图象 y x 2 x 5 解 原函数变为 y 5 7 5 2 32 2 7 x xx x 下面根据分段函数来画出图象 图象 略 4 已知函数 y 1 1 3 1 1 0 nnfnfnf f f 则 f 4 答案 22 5 已知函数 f x 1 1 12 2 x x