平行四边形辅助线

平行四平行四边边形中常用形中常用辅辅助助线线的添法的添法 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两组对边 对角和对角线都具有某些 相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的都是造就线段的平行 垂直 构成三角形的全等 相似 把平行四边形问题转化成常见的三角形 正方形等问题 处理 其常用方法有下列几种 举例简解如下 1 连对角线或平移对角线 2 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 3 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造线段平行 或中位线 4 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段 构造三角形相似或等积三角形 5 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 第一类 连结对角线 把平行四边形转化成两个全等三角形 第一类 连结对角线 把平行四边形转化成两个全等三角形 例 1 如左下图 1 在平行四边形中 点在对角线上 且 请你以ABCDFE ACCFAE 为一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 猜想并证明它和图中已有的某F 一条线段相等 只需证明一条线段即可 连结 BFDEBF 证明 连结 设交于点 ODFDB ACDB 四边形为平行四边形 ABCDOBDOOCAO 即FCAE FCOCAEAO OFOE 四边形为平行四边形 EBFDDEBF 图 2图 1 O O E C C A B D AB D E F 第二类 平移对角线 把平行四边形转化为梯形 第二类 平移对角线 把平行四边形转化为梯形 例 2 如右图 2 在平行四边形中 对角线和相交于点 O 如果 ABCDACBD12 AC 那么的取值范围是 10 BDmAB m A B C D111 m222 m1210 m65 m 解 将线段沿方向平移 使得 则有四边形为平行四边DBDCCEDB BEDC CDBE 形 在中 ACE 12 AC10 BDCEmABAE22 即 解得 故选 A101221012 m2222 m111 m 第三类 过一边两端点作对边的垂线 把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题 第三类 过一边两端点作对边的垂线 把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题 例 3 已知 如左下图 3 四边形为平行四边形ABCD 求证 222222 DACDBCABBDAC 证明 过分别作于点 的延长线于点 FDA BCAE EBCDF BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC 2 22222222 CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD 2 22222222 则BEBCCFBCDACDBCABBDAC 22 222222 四边形为平行四边形 且 ABCDABCDCDAB BCAD DCFABC 0 90 DFCAEB DCFABE CFBE 222222 DACDBCABBDAC 3 2 1 图 4 图 3 K P F E D C F E D A B CB A 第四类 延长一边中点与顶点连线 把平行四边形转化为三角形 第四类 延长一边中点与顶点连线 把平行四边形转化为三角形 例 4 已知 如右上图 4 在正方形中 分别是 的中点 与ABCDFE CDDABE 交于点 求证 CFPABAP 证明 延长交的延长线于点CFBAK 四边形为正方形 ABCD 且 ABCDCDAB ADCD 0 90 DBCDBAD 又 K 1 0 90 DAKDAFDF CDF KAF ABCDAK ADDFCDCE 2 1 2 1 DFCE 0 90 DBCDBCE CDF 21 则 0 9031 0 9032 0 90 CPB 0 90 KPB ABAP 第五类 延长一边上一点与一顶点连线 把平行四边形转化为平行线型相似三角形 第五类 延长一边上一点与一顶点连线 把平行四边形转化为平行线型相似三角形 例 5 如左下图 5 在平行四边形中 点为边上任一点 请你在该图基础上 适ABCDECD 当添加辅助线找出两对相似三角形 解 延长与的延长线相交于 则有 AEBCFAED FEC FAB FEC AED FAB 图 6 图 5 F O N D D B A CB A C E FE 第六类 把对角线交点与一边中点连结 构造三角形中位线第六类 把对角线交点与一边中点连结 构造三角形中位线 例 6 已知 如右上图 6 在平行四边形中 ABCDBNAN BCBE 3 1 NE 交于 求BDFBDBF 解 连结交于点 连结ACBDOON 四边形为平行四边形 ABCD 2 BD ODOBOCOA 且 BNAN ONBC 2 1 BCON 2 1 FO BF ON BE BCBE 3 1 3 2 ONBE 3 2 FO BF 5 2 BO BF 5 1 BDBF 综上所述 平行四边形中常添加辅助线是 连对角线 平移对角线 延长一边中点与顶点连综上所述 平行四边形中常添加辅助线是 连对角线 平移对角线 延长一边中点与顶点连 线等 这样可将平行四边形转化为三角形 或特殊三角形 线等 这样可将平行四边形转化为三角形 或特殊三角形 矩形 梯形 等图形 为证明解决问 矩形 梯形 等图形 为证明解决问 题创造条件 题创造条件 课堂练习课堂练习 1 如图 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在 BC AC 上 且 CD CE 连结 DE 并延长至 点 F 使 EF AE 连结 AF BE 和 CF 1 请在图中找出一对全等三角形 用符号 表示 并加以证明 2 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形 并说明理由 3 若 AB 6 BD 2DC 求四边形 ABEF 的面积 2 如图 在矩形 ABCD 中 E F 分别是 AD BC 的中点 点 G H 在 DC 边上 且 GH DC 若 AB 10 BC 12 则图中阴影部分的面积为 2 1 3 如图 E F 分别是平行四边形 ABCD 对角线 BD 所在直线上两点 DE BF 请你以 F 为 一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段 猜想并证明它和图中已有的某一条 线段相等 只需研究一组