广西钦州市大寺中学2013届高三数学5月押题试题 理（教师版）新人教A版

1 大寺中学大寺中学 20132013 届高三届高三 5 5 月押题数学理试题月押题数学理试题 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设 是虚数单位 且是实数 则 B Ra i 2 1 1 i i a a A B 1 C D 2 2 1 2 3 解析 解析 依题意 有 故 选 2 1 1 i i a 2 1 2 1 iia i aa 2 1 2 1 0 2 1 a 1 a B 2 对于非零向量 是 的 A ba 02 baba A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 由得 故 反之不然 选 A 02 baba2 ba 3 函数的单调递减区间为 C xxyln 2 1 2 A B 和 C D 1 1 1 1 0 1 0 0 解析 解析 由 解得或 又 xxyln 2 1 2 x xy 1 0 y 1 x10 x0 x 选 B 10 x 4 化简 B 20sin 2 1 35sin 2 A B C D 1 2 1 2 1 1 解析 解析 选 B 20sin 2 1 35sin 2 20sin 35sin21 2 1 2 20sin 70cos 2 1 2 1 20sin 20sin 2 1 5 已知 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 mn 若 则 若 且则 若 m m mn mn m 则 若 且 则 其中正确命题的序号是 m m n mn B A B C D 2 解析 解析 当 时 不一定成立所以错误 成立 成立 当 m mm 时 可以相交 所以错误 选 m B 6 若函数的图象向右平移 个单位长度后 所得的图象xxycossin3 m0 m 关于轴对称 则 的最小值是 C ym A B C D 6 4 3 3 2 解析 解析 函数的图象向右平移 个单位长xxycossin3 6 sin2 xm0 m 度后 所得的函数解析式为 要使所得的图象关于轴对称 则有 6 sin2 mxyy 即 所以当时 取得最小值 km 26 Zk km 3 Zk 0 km 选 C 3 7 高三年级有 6 个班级参加学校运动会 100 米跑决赛 若在安排比赛赛道时不将甲班安排 在第一及第二赛道上 且甲班和乙班不相邻 则不同的安排方法有 D A 96 种 B 192 种 C 216 种 D 312 种 解析 解析 甲班不排在第一及第二赛道 且不与乙相邻 可先排甲 当甲排在第六赛道时 共有种 当甲排在第三 四或五赛道时共有种 总的安排方96 4 4 1 4 AC216 4 4 1 3 1 3 AAC 法有 96 216 312 种 选 D 8 设二次函数的值域为的值域为 则的 4 2 Rxcxaxxf 0 9 9 1 1 ac 最大值为 A A B C D 5 6 4 5 3 4 2 解析 解析 因为二次函数的值域为 所以有 4 2 Rxcxaxxf 0 即 所以 所以0 4 44 0 2 a ac a4 ac a c 4 9 9 1 1 ac 3613 53613 3613 3618 9 9 1 4 1 2 2 2 2 aa aaa aa aa a a 3 1 当时 等号成立 所以最大值为 5 6 36 213 5 1 3613 5 2 a a aa a 6 a 5 6 选 A 9 已知 且 则下列结论正确的是 2 2 21 xx0sinsin 2211 xxxx D A B C D 3 2 3 1 xx 0 21 xx 21 xx 21 xx 解析 解析 构造偶函数 则 当xxxfsin 2 2 xxxxxfcossin 时 在上单调递增 在上单调递 2 0 x0 x f xxxfsin 2 0 0 2 减 由已知 得 21 xfxf 选 D 21 xx 10 已知直线 与抛物线 交于两点 为抛l 2 xky0 kCxy8 2 BA F 物线 的焦点 若 则的值是 CBFAF2 k C A B C D 3 1 3 22 22 4 2 解析 解析 依题意 直线 恒过定点 2 0 即为 2 xky0 k 抛物线的焦点 F 过两点分别作准线的垂线 垂足分别为xy8 2 BA 再过作AC的垂线 垂足为 设 DC BEm BF BFAF2 mBFAF22 mAFAC2 mBFBD 如图 在直角三角形中 ABEmmmBDACAE 2 直线 AB 的斜率 选 C mAB3 3 1 cos AB AE BAE22tan BAEk 4 11 如图所示 在等腰梯形中 为的中ABCD22 DCAB 60 DABEAB 点 将与分别沿向上翻折 使重合 则形成ADE BEC ECED BA 的三棱锥的外接球的体积为 A A B C D 8 6 2 3 2 6 解析 解析 由已知 在平面图形中 依题意1 ECDEDACDBCEBAE 折叠后得到一个正四面体 如图 构造一个面对角线长为 1 的正方体 棱长为 2 2 则这个正方体与所得正四面体有同一外接球 易得正方体的外接球直径 等于 半径等于 球的体积为 选 A 2 2 3 4 6 3 4 6 3 4 12 设是定义在上的偶函数 对 都有 且当 xfRRx 2 2 xfxf 时 若在区间 2 6 内关于的方程 0 2 x1 2 1 x xfx 恰有个不同的实数根 则的取值范围是 1 0 2 log axxf a 3a D A 1 2 B 2 C 1 D 2 3 4 3 4 解析 解析 对于任意的 都有 函数是一个周期函数 Rx 2 2 xfxf xf 且 T 4 又 时 且函数是定义在上的偶函数 0 2 x1 2 1 x xf xfR 若在区间 2 6 内关于x的方程恰有个不同的实数根 1 0 2 log axxf a 3 则函数与在区间 2 6 上有三个不同的交点 如下图所示 xfy 2 log xy a 又 则有 且 3 2 2 ff34log a 38log a 解得 选 D 24 3 a 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把 答案填在题中的横线上 13 若的展开式中第三项的二项式系数是 15 则展开式中所有项的系数和为 n x x 2 1 AB CD E A B CD E 5 解析 解析 展开式的通项公式为 知 解得 n x x 2 1 rnr n r r xCT 2 1 2 1 15 2 n C6 n 展开式中所有项的系数和为 6 2 1 1 64 1 14 已知关于的方程的两根分别为 且x 01 1 2 Rbabaxax 1 x 2 x 则的取值范围是 12 01xx a b 解析 解析 设 依题意有且 xf 1 1 2 Rbabaxax 01 0 baf 作出点所满足的区域 易得 023 1 baf ba 2 1 2 a b 15 已知数列满足 且 其前项之和为 则满足 n a43 1 nn aa Nn9 1 an n S 不等式的最小整数是 125 1 6 nSnn 解析 解析 由已知递推式变形得 则 即 1 1 3 1 nn aa 1 3 1 81 n n a 1 3 1 8 1 n n a 于是 因此 n Sn n 3 1 1 3 1 1 8 n n 3 1 1 6n n 3 1 66 n n nS 3 1 66 满足条件的最小整数 125 1 3 1 6 n 2503 1 n 7 n 16 已知是双曲线的左 右焦点 过的直线与左支交于 21 F F 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 F 两点 若 则双曲线的离心率是 AB0 2 AFAB 2 34AFAB 解析 解析 由 4 3 可设 由 所AB 2 AFABt 3 2 AFt 4 2 AFAB 以 于是由双曲线定义 得 4 5 两式相加得 2 BFt 5t 1 AFa2t 1 BFa2 所以 所以 又 所以t 9ABa2 3 2a t 1 AF 3 2a 2 1 AF 2 2 AF 2 12F F 6 2 9 4 a 22 9 9 4 16ca 3 17 e 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设是锐角三角形 分别是内角 所对边长 并且ABC abcABC 3 sin 3 sin sin sinsin sinBBBABA 求角的值 A 若的面积等于 求 其中 ABC 3672 abccb 解 3 sin 3 sin sin sinsin sinBBBABA sin 2 1 cos 2 3 sin 2 1 cos 2 3 sinsin 22 BBBBBA 即 BBBA 2222 sin 4 1 cos 4 3 sinsin 4 3 sin 2 A 又是锐角三角形 从而 ABC 2 3 sin A 3 A 5 分 由 及已知 得的面积 ABC bcAbc 4 3 sin 2 1 36 24 bc 由余弦定理知 将及代入 得5cos2 222 Abccba72 a24 bc 52 22 cb 由 可得 因此是一元二次方程的两个根 解此方程10 cbcb 02410 2 tt 并由知 cb 6 4 cb 10 分 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 底面是的菱形 侧面是边长为ABCDP ABCD 60 ADCPDC 2 的正三角形 且与底面垂直 为的中点 ABCDMPB 求证 平面 PACDM 求二面角的余弦值 BMCD P C AB D M 7 证明 取的中点 的中点 连接 在菱形中 CDOPANMNONPOABCD 由于 为正三角形 则 又 故平面 60 ADC ACD CDAO CDPO CD 从而 APOPACD 又 则四边形为平行四边形 所以 MNAB 2 1 ABCO 2 1 COMN OCMN ONMC 在中 故 所以平面 APO POAO APON MCAP PACDM 6 分 由 知 由题意知 又为的中点 PAMC BCPC MPB MBMC 面 则为二面角的平面角 MCPAB MNMC NMB BMCD 在中 易得 又 从而PAORt 6 PA2 AB 10 PB 5 10 cos PBA 故所求二面角的余弦值为 5 10 cos NMB 5 10 12 分 19 本小题满分 12 分 某中学开设有 A B C 等三门选修课程 设每位申请的学生只申请其中一门课程 且申 请其中任一门课程是等可能的 求该校的任 4 位申请的学生中 恰有 2 位学生申请 A 课程的概率 学生申请的课程门类数的数学期望 解 所有可能的申请方式有种 恰有 2 位学生申请 A 课程的申请方式有 4 3 种 22 4 2 C 8 从而恰有 2 位学生申请 A 课程的概率为 4 分 27 8 3 2 4 22 4 C 依题意知所有可能值为 1 2 3 得 27 1 3 3 1 4 P 27 14 3 2 4 2 2 2 4 3 4 1 2 2 3 CCCCC P 9 4 3 3 4 1 2 2 4 1 3 CCC P 综上知 有分布列 123 P 27 1 27 14 9 4 从而有 9 4 3 27 14 2 27 1 1 E 27 65 12 分 20 本小题满分 12 分 已知等差数列的各项均为正数 前项和为 数列为等比数列 n a3 1 an n S n b 且 1 1 b4 22 Sb 4 15 33 Sb 1 求与 n a n b 2 记数列的前项和为 且 求使成立的所有正整数 n S 1 n n Tlim n n TT n b 3 T n 解 1 设等差数列的公差为 等比数列的公比为 则由题意可列方程组 n ad n bq 2 分 4 15 33 4 2 1 2 1 11 daqb daqb 把 代入上式解得或3 1 a1 1 b 2 1 2 q d 6 5 5 6 q d 等差数列的各项均为正数 n a 舍去 5 6 d 5 分 122 1 3 nnan 11 2 1 2 1 1 nn n b 9 2 由 1 可得 2 2 123 nn nn Sn 则 n T 31 1 42 1 53 1 2 1 nn 2 1 2 1 1 4 1 2 1 5 1 3 1 2 11 nn 2 1 1 1 1 2 1 n 2 1 n 9 分 1 2 1 4 3 n 2 2 1 n 即 lim n n Tlim n 1 2 1 4 3 n 2 2 1 n4 3 T 4 3 解得 4 1 2 1 1 n 3 n 12 分 3 2 1 n 21 本小题满分 12 分 已知是椭圆 的右焦点 过点且斜率为 的直线FD1 2 2 2 y x 0 2 Ek0 k 与椭圆交于 两点 是关于轴的对称点 lDABCAx 证明 点在直线上 FBC 设 求外接圆的方程 1 ECEBABC 解 设直线 l 2 xky 11 yxA 22 yxB 11 yxC 0 1 F 由 得 1 2 2 2 2 y x xky 0288 12 2222 kxkxk 又 则 所以 0 14 12 864 222 kkk 2 1 2 k 12 8 2 2 21 k k xx 12 28 2 2 21 k k xx 而 所 1 22 yxFB 2 1 22 kkxx 1 11 yxFC 2 1 11 kkxx 以 10 2 1 21 kkxx 2 1 12 kkxx 4 32 2121 xxxxk 0 4 12 24 12 416 2 2 2 2 k k k k k 与共线且有公共点 三点共线 即点在直线上 FBFCF BFCFBC 6 分 因为 所以 2 22 yxEB 2 11 yxEC ECEB 2112 2 2 yyxx 2 2 1 12 2 xxk 4 2 1 2121 2 xxxxk 4 12 16 12 28 1 2 2 2 2 2 k k k k k 1 12 22 2 2 k k 又 解得 满足 0 k 2 1 k 2 1 2 k 代入 知是方程的两根 根据对称0288 12 2222 kxkxk 21 x x043 2 xx 性不妨设 即 0 1