2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（山东卷解析版）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 山东卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 山东卷 解析版 第第 卷卷 共共 6060 分分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若复数z满足为虚数单位 则为 2 117i izi z A 3 5i B 3 5i C 3 5i D 3 5i 解析 故选 A i i ii ii i i z53 5 2515 2 2 2 711 2 711 答案 A 2 已知全集 集合 则为 0 1 2 3 4 U 1 2 3 A 2 4 B BACU A 1 2 4 B 2 3 4 C 0 2 4 D 0 2 3 4 解析 所以 选 C 4 0 ACU 42 0 BACU 答案 C 3 函数的定义域为 2 1 4 ln 1 f xx x A B C D 2 0 0 2 1 0 0 2 2 2 1 2 解析 要使函数有意义则有 即 即或 04 0 1ln 01 2 x x x 22 0 1 x x x 01 x20 x 选 B 答案 B 4 在某次测量中得到的A样本数据如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若 B样本数据恰好是A样本数据都加 2 后所得数据 则A B两样本的下列数字特征对应相 同的是 A 众数 B 平均数 C 中位数 D 标准差 解析 设 A 样本的数据为变量为 B 样本的数据为变量为 则满足 根据XY2 XY 方差公式可得 所以方差相同 标准差也相同 选 D DXXDDY 2 答案 D 5 设命题p 函数的最小正周期为 命题q 函数的图象关于直线sin2yx 2 cosyx 2 对称 则下列判断正确的是 2 x A p为真 B 为假 C 为假 D 为真q pq pq 解析 函数的周期为 所以命题为假 函数的对称轴为xy2sin 2 2 pxycos 所以命题为假 所以为假 选 C Zkkx qqp 答案 C 6 设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 x y 22 24 41 xy xy xy 3zxy A B C D 3 6 2 3 1 2 1 6 3 6 2 解析 做出不等式所表示的区域如图 由得yxz 3 平移直线 由图象可知当直线经过点时 直线的截zxy 3xy3 0 2 Ezxy 3 距最小 此时最大为 当直线经过点时 直线截距最大 此时最小 z63 yxzCz 由 解得 此时 所以的取值范 42 14 yx yx 3 2 1 y x 2 3 3 2 3 3 yxzyxz 3 围是 选 A 6 2 3 答案 A 7 执行右面的程序框图 如果输入 4 那么输出的n的值为a A 2 B 3 C 4 D 5 解析 当时 第一次 第二次4 a1 3 140 nQP 第三次 此时2 7 441 nQP3 15 1642 nQP 3 不满足 输出 选 B QP 3 n 答案 B 8 函数的最大值与最小值之和为2sin 09 63 x yx A B 0 C 1 D 23 13 解析 因为 所以 即90 x 6 9 6 0 x 36 9 363 x 所以当时 最小值为 当 6 7 363 x 336 x3 3 sin 2 时 最大值为 所以最大值与最小值之和为 选 A 236 x2 2 sin2 32 答案 A 9 圆与圆的位置关系为 22 2 4xy 22 2 1 9xy A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 解析 两圆的圆心分别为 半径分别为 两圆的圆心距离为 0 2 1 2 2 r3 R 则 所以两圆相交 选 B 17 10 22 22 rRrR 17 答案 B 10 函数的图象大致为 cos6 22 xx x y 解析 函数为奇函数 所以图象关于原点对称 排除 A 令得 所以0 y06cos x 函数零点有无穷多个 排除 C 且轴右侧第一个零点为 kx 2 6 612 k x y 又函数为增函数 当时 0 12 xx y 22 12 0 x 所以函数 排除 B 选 D 022 xx y06cos x0 22 6cos xx x y 答案 D 11 已知双曲线 的离心率为 2 若抛物线的焦 1 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 2 0 Cxpy p 点到双曲线的渐近线的距离为 2 则抛物线的方程为 1 C 2 C 4 A B 2 16 3 3 xy C D 2 8 3 3 xy 2 8xy 2 16xy 解析 抛物线的焦点 双曲线的渐近线为 不妨取 即 2 0 p x a b y x a b y 焦点到渐近线的距离为 即 所以0 aybx2 2 22 ba p a cbaap44 22 双曲线的离心率为 所以 所以 所以抛物线方程为 4 p a c 2 a c 2 4 p a c 8 p 选 D yx16 2 答案 D 12 设函数 若的图象与的图象有且仅有两个不 1 f x x 2 g xxbx yf x yg x 同的公共点 则下列判断正确的是 1122 A x yB xy A B 1212 0 0 xxyy 1212 0 0 xxyy C D 1212 0 0 xxyy 1212 0 0 xxyy 解析 方法一 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象 要想满足条件 则有如图 做出点 A 关于原点的对称点 C 则 C 点坐标为 由图象 11 yx 知即 故答案选 B 2121 yyxx 0 0 2121 yyxx 方法二 设 则方程与同解 故其有且仅有两个不同 32 1F xxbx 0F x f xg x 零点 由得或 这样 必须且只须或 因为 12 x x 0F x 0 x 2 3 xb 0 0F 2 0 3 Fb 故必有由此得 不妨设 则 所以 0 1F 2 0 3 Fb 3 3 2 2 b 12 xx 3 2 2 2 3 xb 比较系数得 故 由此 23 1 2 F xxxx 3 1 41x 3 1 1 2 2 x 3 12 1 20 2 xx 知 故答案为 B 12 12 1212 11 0 xx yy xxx x 答案 B 5 第第 卷卷 共共 9090 分分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 如图 正方体的棱长为 1 E 为线段上的一点 则三棱锥 1111 ABCDABC D 1 BC 的体积为 1 ADED 解析 以 为底面 则易知三棱锥的高为 1 故 1 ADD 1 11 1 1 1 3 26 V 答案 6 1 14 右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组为 20 5 21 5 21 5 22 5 已知样本中平均气温低于 22 5 的城 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 市个数为 11 则样本中平均气温不低于 25 5 的城市个数为 解析 最左边两个矩形面积之和为 0 10 1 0 12 1 0 22 总城市数为 11 0 22 50 最右面矩形面积为 0 18 1 0 18 50 0 18 9 答案 9 15 若函数在 1 2 上的最大值为 4 最小值为m 且函数 0 1 x f xaaa 在上是增函数 则a 14 g xmx 0 解析 当时 有 此时 此时为减函数 不合1a 21 4 aam 1 2 2 am g xx 题意 若 则 故 检验知符合题意 01a 12 4 aam 11 416 am 6 答案 1 4 16 如图 在平面直角坐标系中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一xOy 点P的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐OP 标为 解析 因为圆心移动的距离为 2 所以劣弧 即圆心角 2 PA2 PCA 则 所以 2 2 PCA2cos 2 2sin PB 所以 所以2sin 2 2cos CB2sin22 CBxp2cos11 PByp 2cos1 2sin2 OP 另解 根据题意可知滚动制圆心为 2 1 时的圆的参数方程为 且 sin1 cos2 y x 则点 P 的坐标为 即2 2 3 2 PCD 2cos1 2 2 3 sin 1 2sin2 2 2 3 cos 2 y x 2cos1 2sin2 OP 答案 2cos1 2sin2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 内角所对的边分别为 已知 A B C a b csin tantan tantanBACAC 求证 成等比数列 a b c 若 求 的面积S 1 2ac ABC 答案答案 17 17 I 由已知得 7 sin sincoscossin sinsinBACACAC sinsin sinsinBACAC 2 sinsinsinBAC 再由正弦定理可得 2 bac 所以成等比数列 a b c II 若 则 1 2ac 2 2bac 222 3 cos 24 acb B ac 2 7 sin1cos 4 CC 的面积 ABC 1177 sin1 2 2244 SacB 18 本小题满分 12 分 袋中有五张卡片 其中红色卡片三张 标号分别为 1 2 3 蓝色卡片两张 标号分别 为 1 2 从以上五张卡片中任取两张 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片 从这六张卡片中任取两张 求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率 答案 18 18 I 从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种 红1红2 红1红3 红1蓝1 红1蓝2 红2红3 红2蓝1 红2蓝2 红3蓝1 红3蓝2 蓝1蓝2 其中两张 卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况 故所求的概率为 3 10 P II 加入一张标号为 0 的绿色卡片后 从六张卡片中任取两张 除上面的 10 种情况外 多出 5 种情况 红1绿0 红2绿0 红3绿0 蓝1绿0 蓝2绿0 即共有 15 种情况 其 中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况 所以概率为 8 15 P 19 本小题满分 12 分 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD 8 CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M为线段AE的中点 120BCD 求证 平面 DMBEC 答案 19 19 I 设中点为O 连接OC OE 则由知 BDBCCD COBD 又已知 所以平面OCE CEBD BD 所以 即OE是BD的垂直平分线 BDOE 所以 BEDE II 取AB中点N 连接 MN DN M是AE的中点 MNBE 是等边三角形 ABDDNAB 由 BCD 120 知 CBD 30 所以 ABC 60 30 90 即 BCAB 所以ND BC 所以平面MND 平面BEC 故DM 平面BEC 20 本小题满分 12 分 已知等差数列的前 5 项和为 105 且 n a 205 2aa 求数列的通项公式 n a 对任意 将数列中不大于的项的个数记为 求数列的前m项和 m N n a 2 7 m m b m b m S 答案 I 由已知得 1 11 510105 92 4 ad adad 解得 1 7 7ad 所以通项公式为 7 1 77 n ann II 由 得 2 77 m n an 21 7 m n 即 21 7 m m b 21 1 21 7 49 7 m k m k b b 9 是公比为 49 的等比数列 m b 7 149 7 491 14948 m m m S 21 本小题满分 13 分 如图 椭圆的离心率为 直线和所围成的矩 22 22 1 0 xy Mab ab 3 2 xa yb 形ABCD的面积为 8 求椭圆M的标准方程 设直线与椭圆M有两个不同的交点 l yxm m R 与矩形ABCD有两个不同的交点 求的最 P Q l S T PQ ST 大值及取得最大值时m的值 答案 21 21 I 22 2 33 24 cab e aa 矩形ABCD面积为 8 即 228ab 由 解得 2 1ab 椭圆M的标准方程是 2 2 1 4 x y II 22 22 44 58440 xy xmxm yxm 设 则 1122 P x yQ xy 2 1212 844 55 m xxm x x 由得 22 6420 44 0mm 55m 2 2 2 8444 2 245 555 m PQmm 当 过点时 当 过点时 lA1m lC1m 当时 有 51m 1 1 2 2 2 3 SmTmSTm 2 22 45446 1 5 3 5 PQm STmtt 其中 由此知当 即时 取得最大值 3tm 13 4t 45 5 1 33 tm PQ ST 2 5 5 由对称性 可知若 则当时 取得最大值 15m 5 3 m PQ ST 2 5 5 10 当时 11m 2 2ST 2 2 5 5 PQ m ST 由此知 当