2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二级）新人教A版

20122012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 高二年级 高二年级 说明 说明 评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设 8 分和 0 分两档 解答题的评阅 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分 一 填空题 本题满分一 填空题 本题满分 6464 分 每小题分 每小题 8 8 分 直接将答案写在横线上 分 直接将答案写在横线上 1 函数的值域为 74 1 2 xx x xf 6 0 6 2 已知 则1sin2sin3 22 1 cos sin2 cos sin3 22 2cos 1 3 3 已知数列满足 为正整数 n a 1 a 13 21 为奇数 为偶数 nn n n n aa a a a 如果 则 5 29 321 aaa 1 a 4 设集合 是的子集 且满足 12 3 2 1 S 321 aaaA S 321 aaa 那么满足条件的子集的个数为 185 5 23 aaA 5 过原点的直线 与椭圆 交于两点 是椭圆上OlC 0 1 2 2 2 2 ba b y a x NM PC 异于的任一点 若直线的斜率之积为 则椭圆的离心率为 NM PNPM 3 1 C 6 3 6 在 中 设是 的内心 若 ABC2 BCAB3 ACOABCACqABpAO 则的值为 q p3 2 7 在长方体中 已知 则长方体的体积最 1111 DCBAABCD pABCBAC 11 2 1 大时 为 p 2 3 1 3 8 设表示不超过的最大整数 则 2012 xx 2012 1 0 20122 2 k k k 二 解答题 本大题满分二 解答题 本大题满分 5656 分 第分 第 9 9 题题 1616 分 第分 第 1010 题题 2020 分 第分 第 1111 题题 2020 分 分 9 已知正项数列满足且 n a 2 12111 43 nnnnnnnnn a aa aa aaa a 1 1a 求的通项公式 2 8a n a 解 在已知等式两边同时除以 得 1 nna a3141 1 1 2 n n n n a a a a 所以 21 1 114 11 nn nn aa aa 4 分 令 则 即数列是以 4 为首项 4 为公比的等比11 1 n n n a a b nn bbb4 4 11 n b 1 b 数列 所以 nn n bb44 1 1 8 分 所以 即 n n n a a 411 1 n n n aa 1 14 2 1 12 分 于是 当时 1 n 2 2221 1 21 1 14 1 14 1 14 n nn n n n aaa 1 1 21 1 1 1 21 1 14 1 14 n k k n k k a 因此 2 1 14 1 1 1 1 21 n n a n k k n 16 分 10 已知正实数满足 且 求的取值范围 ba 1 22 ba 333 1 1 bambam 解 令 则cos sinab 0 2 3 22 3 33 1sin cos 1 sinsincos cossin cos 1sin cos 1sincos m 5 分 令 则 且 sincos x 2 1 4 sin 2 x 2 1 sincos 2 x 10 分 于是 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 32 1 1 2 1 1 2 2 3 3 3 2 xx x x xx x xx x x x m 15 分 因为函数在上单调递减 所以 2 1 1 2 3 x xf 2 1 1 2 fmf 又 所以 2 423 2 4 1 1 ff 4 1 2 423 m 20 分 11 已知点为抛物线内一定点 过作斜率分别为的两条 nmE 0 2 2 ppxyE 21 k k 直线交抛物线于 且分别是线段的中点 DCBA NM CDAB 1 当且时 求 的面积的最小值 0 n1 21 kkEMN 2 若 为常数 证明 直线过定点 21 kk 0 MN 解 所在直线的方程为 其中 代入中 得ABmnytx 1 1 1 1 k t pxy2 2 2 11 2220ypt ypt npm 设 则有 从而 1122 A x yB xy 121 2ptyy 1211211 2 2 22 2xxt yynmtptnm 则 2 111 M ptntm pt 所在直线的方程为 其中 同理可得CDmnytx 2 2 2 1 k t 2 222 N ptntm pt 5 分 1 当时 0 n 0 E m 2 11 M ptm pt 2 22 N ptm pt 2 11 1 tptEM 2 22 1 tptEN 又 故 于是 的面积1 21 kk1 21 ttEMN 2 22222 1 21212 11 1 1 2 222 p SEMENp t ttttt 2 2 4 2 p p 当且仅当时等号成立 1 21 tt 所以 的面积的最小值为 EMN 2 p 10 分 2 p n tt ttnttp ttp kMN 1 21 21 2 2 2 1 21 所在直线的方程为 MN 1 1 2 1 21 1 mntptx p n tt pty 即 mxtpt p n tty 2121 15 分 又 即 代入上式 得 21 21 11 t