知识点一(极限与连续)

1 求极限的常用方法求极限的常用方法 利用极限的定义利用极限的定义 数列极限的定义 lim0 0 n n xaNnN 当时 有 axn 函数极限的定义 0 xx 0 lim 0 0 0 n f xAxx 当 时 有 f xA 类似可定义其它形式下的函数极限 利用单调有界准则和夹逼准则利用单调有界准则和夹逼准则 熟悉数列极限和函数极限的单调有界准则 利用夹逼准则可以证明下面的极限 1 lim1 0 lim1 0 xn nx aaaa 这一结论可以推广为 和 1 1 1 limmax x k k ii xi k i aa 1 1 1 limmin x k k ii xi k i aa 利用两个重要极限利用两个重要极限 或 0 sin lim1 x x x 1 lim 1e n n n 1 lim 1 x x x e 由重要极限及变量替换可以求下列极限 0 1 0 sin lim1 xx x x 0 1 lim 1 x xx xe j j 0 lim 1 g xx A xx xe j j 其中 极限过程 改为其它情形也有类似的结论 00 lim 0 lim xxxx xg xA 0 xx 设 则利用重要极限有 0 2 00 lim 1 lim xxxx f xg x 00 1 1 1 lim lim 1 1 g xf x g xAf x xxxx f xf xe 其中 0 lim f x 1 xx g xA 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限 无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量 0 1 熟悉常见的无穷小量 当时 有 0 20 x xxsinxtanxarcsinxarctan 1ln x1 x e 2 1 1 cos 2 xx 等等 1 ln 0 1 x axaaa 11 0 xx 的常数 2 求极限过程中 可以把积和商中的无穷小量用与之等价的无穷小量替换 加与 0 3 减不能替换 无穷小量与无穷大量之间的关系 如果为无穷大 则为无穷小 反之 0 4 xf xf 1 如果为无穷小 且 则为无穷大 xf 0 xf xf 1 利用极限与左右极限的关系利用极限与左右极限的关系 存在的充要条件是 0 lim xx f x 00 0 0 f xf x 利用极限的和 差 积 商运算法则利用极限的和 差 积 商运算法则 应当注意的是 参与运算的每个函数的极限都要存在 而且函数的个数只能是有限个 在作商的运算时 还要求分母的极限不为零 利用 Stolz 定理 设数列单调增加且 若或存在 n blim n n b 1 1 lim nn n nn aa bb 则有 由此可以证明下面的平均值定理 1 1 limlim nnn nn nnn aaa bbb 12 limlim n n nn aaa a n 12 limlim nn nn a aaa 利用函数的连续性利用函数的连续性 函数 在 处连续 则 yf x 0 xx 0 0 lim xx f xf x 利用导数的定义利用导数的定义 利用定积分的定义求和式的极限利用定积分的定义求和式的极限 利用洛必达法则求未定式的极限或利用带有佩亚诺 利用洛必达法则求未定式的极限或利用带有佩亚诺 型余项的泰勒公式 型余项的泰勒公式Peano 求极限求极限 3 3 无穷大量与无穷小量 无穷大量与无穷小量 无穷大量是绝对值无限增大的一类变量 它不是什么绝对值很大的固定数 无穷小 量以零为极限的一类变量 它也不是什么绝对值很小的固定数 无穷大的倒数是无穷小量 无穷小的倒数是无穷大 xf xf 1 0 f xxf 无穷小是以零为极限的变量 因此 和 差 乘积的极限运算法则自然也适用于无 穷小 但商的极限运算法则不适用于无穷小 因为这时分母的极限为零 另外 无穷小与 有界函数的乘积仍是无穷小 两个无穷小之商的极限 一般说来随着无穷小的不同而不同 从而产生了两个无穷 小之间的 高阶 同阶 等价 等概念 它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度 如果以A为极限 则是无穷小 反之亦然 xf f xAx 3 3 3 连续函数连续函数 1 1 函数 函数在在处连续定义的三种不同表达形式是处连续定义的三种不同表达形式是 xf 0 x 00 00 limlim 0 xx yf xxf x 0 0 lim xx f xf x 使当时 0 0 0 xx 0 xfxf 这最后一种表达形式与的表达形式十分相似 差异在于极限定义中的不等式 0 lim xx f xA 这里变成了变成了 因为在探 0 0 xx 0 Axfxx 0 xfxf 讨连续性时 必须要求在处有定义 且极限值A必须为 xf 0 x 0 xf 2 2 连续函数的和 差 积 商在它们共同有定义的区间仍为连续函数 连续函数的和 差 积 商在它们共同有定义的区间仍为连续函数 3 3 连续函数的复合函数仍为连续函数 连续函数的复合函数仍为连续函数 4 4 单调连续函数有单调连续的反函数 单调连续函数有单调连续的反函数 5 5 一切初等函数在其定义区间内都连续 一切初等函数在其定义区间内都连续 6 6 闭区间 闭区间上的连续函数上的连续函数有下列重要性质 有下列重要性质 ba xf 必在上有界且取得最大值与最小值 有界 最大 最小值定理 xf ba Mm 必在上取得介于与之间的任何值 介值定理 xf ba a f b f 必在上取得最大值与最小值之间的任何值 xf ba Mm 如果 则在开区间内至少有一点使得 0 b a ff xf ba 0 f 两个性质是介值定理 的推论 7 7 间断点的分类 间断点的分类 第一类间断点 存在 0 0 xf 第二类间断点 非第一类间断点 间断点 可去间断点 0 0 00 xfxf 跳跃间断点 0 0 00 xfxf 无穷间断点 左右极限至少一个为 振荡间断点 极限振荡不存在 4 典型例题 例例 1 1 求极限 解解 把换成 可得 又因为 所以 因此 例 2 证明 数列 收敛 并求7 77 777 7777 其极限 证明 设该数列通项为 则 令 n x 2 77 nn xx 则 f 2 2 77f xx 由拉格朗日中值定理得 22 22 nnnn xf xxf xf 存在介于 x 2 之间 使得 22f xffx 1 4 777 fx xx 由题意得 2 222 nnnn xf xffx A 07 n x 11 07 1 4 7774 7 714 nn nn f 5 即 则 n f 2 22 01 nn xx 1 22 22 k k xx 由且 1 22 022 k k xx 1 2 lim20 k k x 由夹逼定理得即 同理可得 2 lim20 k k x 2 lim2 n n x 21 lim2 n n x 练习 练习 1 利用极限四则运算法则利用极限四则运算法则 1 2 0 sin lim 1sincos x x xxx 4 3 2 讨论它的连续性 不连续 sin 2 0 1 sincos 0 0 0 x t dt x f xx x 2 利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限 1 1 2 0 lim limcoscos cos 222n xn xxx 2 当常数 0a lim n n na na 2a 3 21 lim sincos x x xx 2 e 3 利用洛必达法则求未定式极限 利用洛必达法则求未定式极限 1 2 2 3 0 1 lim sin 2 x x xe xx 1 16 2 20 11 lim ln 1 ln 1 x x xx 1 2 3 2 1 0 arctan lim x x x x 1 3 e 4 21 lim sin n n n n 1 6 e 4 利用等价无穷小 利用等价无穷小 1 1 2 222 0 ln sin lim ln x x x xex xex 2 4 4 0 1 lim 1 cos 1 cos x x e xx 6 5 利用左右极限的关系求极限 利用左右极限的关系求极限 1 1 1 0 11 limarctan 1 x x x e ex 2 2 00 数一数一 5 1 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex ex 3 1 2 11 0 0 0 0 x e x x x x f xx x 1 2 6 利用函数的极限求极限 利用函数的极限求极限 1 0 ln lim n n n 2 0lim n n n a 1 a 7 利用夹逼法则求极限 利用夹逼法则求极限 1 求极限 1 111 11 21 n x nnnn 2 设 求和 答案 0 i a 1 1 lim k nn i n i a 1 1 lim k mm i m i a 1 max i i k a 1 min i i k a 3 其中 在 上连续 0 1 0 lim n n x f x dx f x 0 1 8 利用导数的定义求极限 利用导数的定义求极限 1 求 求 lim xa f xb A xa sin sin lim xa f xb xa cosAb 2 在处可导 求 f xxa 0f a 1 lim n n f an f a e 3 0 1 lim x xx f tf t xaa 2 f t a 9 利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限 1 2 1 lim 1 cos1 cos 1 cos n nnn n n 2 2 2 2 sinsinsin lim 11 21 n nnn n nnnn 2 3 111 lim 12 n nnnn ln2 10 利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限 7 1 求极限 0 1 2 n xaaa an 114 2 a 11 利用泰勒公式求极限 利用泰勒公式求极限 1 2 22 2 0 2 11 lim cos sin x x xx xex 1 12 2 22224 3 6 0 1 lim cossin 1 x xxxx x 22 45 练习提高 练习提高 1 08 数学一 9 提示 用等价无穷小代换或洛必达法则 4 0 sinsin sin sin lim x xxx x 1 6 2 06 数一数一 提示 用等价无穷小代换 2 0 ln 1 lim 1 cos x xx x 3 06 数一数二 12 数列满足 1 证明极限存在 并求之 n x 11 0 sin nn xxx n x 2 求 提示 1 利用单调有界公理 2 利用重要极限 1 0 2 2 1 1 lim n x n n n x x 1 6 e 4 03 数一 4 提示 先写成指数形式 2 1 ln 1 0 lim cos x x x 1 e 5 00 数一 12 提示 讨论左右极限 1 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex ex 6 07 数三 4 0 32 3 1 lim sincos 2x x xx xx x 7 06 数三 4 1 1 1 lim n n n n 8 05 数三 12 提示 用洛必达法则 0 11 lim 1 x x x ex 3 2 9 05 数三 4 则 a b 0 sin lim cos 5 x x x xb ea 1 4 10 04 数三 9 2 22 0 1cos lim sin x x xx 4 3 11 设 证明数列的极限存在 并求极限 11 03 3 1 2 nnn xxxxn n x 提示 用单调有界公理 3aa 3 2 a 8 12 求极限 求极限 并指出其间断点的类型 sinsin sin lim sin x tx tx t x f x 可去间断点 为第二间断点 sin x x f xe 0 x xkkZ 13 1 1 1 lim ln x x x xx 14 3 0 12cos lim 1 3 x x x x 1 6 15 08 数三 4 设函数在内连续 则 1 2 1 2 xxc f x xc x c 16 08 数三 10 求极限 2 0 1sin limln x x xx 解 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx 3 00 sinsin1 limlim 66 xx xxx xx 17 05 数三 4 极限 2 1 2 sinlim 2 x x x x 18 05 数三 9 求 1 1 1 lim 0 xe x x x 3 2 题型一题型一 无穷小及其阶无穷小及其阶 1 09 数 1 2 3 1 当时 与等价无穷小 0 x sinf xxax 2 ln 1 g xxbx A B C D A 1 1 6 ab 1 1 6 ab 1 1 6 ab 1 1 6 ab 2 当时 函数与比较是 的无穷小0 x sin 2 0 sin x f xt dt 34 g xxx A 等价 B 同阶非等价 C 高阶 D 低阶 B 3 设为任意正数 当时 将按从低阶到高阶的顺0 0 x 1 1 ln x xx e 序排列 答案 1 ln 1 x xxe 4 当时 与是等价无穷小 则 0 x 2 1 3 1 ax cos1x a 3 2 5 07 数一数一 4 当时 与等价的无穷小量是 应选 B 0 x x A B C D 1