安徽省铜陵一中2012-2013学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年高一数学下学期开学考试试题 含解析 学年高一数学下学期开学考试试题 含解析 一 选择题 每小题只有一个正确的答案 每小题 5 分 共 50 分 1 5 分 若 0 则点 P tan cos 位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 三角函数值的符号 专题 计算题 分析 由于 0 可得 tan 0 cos 0 从而可得答案 解答 解 0 tan 0 cos 0 即点 P tan cos 位于第二象限 故选 B 点评 本题考查三角函数值的符号 关键在于熟练掌握诱导公式 属于基础题 2 5 分 已知 则 cos 60 的值为 A B C D 考点 诱导公式的作用 专题 三角函数的求值 分析 利用诱导公式把要求的式子化为 sin 30 利用条件求得结果 解答 解 cos 60 sin 90 60 sin 30 故选 C 点评 本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值 属于基础题 3 5 分 下列四个函数中 与 y x 表示同一函数的是 A y 2 B y C y D y 2 考点 判断两个函数是否为同一函数 专题 证明题 分析 逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域 值域 对应关系 只有这三者完全相同时 两个函数才是同一个函数 解答 解 选项 A 中的函数的定义域与已知函数不同 故排除选项 A 选项 B 中的函数与已知函数具有相同的定义域 值域和对应关系 故是同一个函数 故选项 B 满足条件 选项 C 中的函数与已知函数的值域不同 故不是同一个函数 故排除选项 C 选项 D 中的函数与与已知函数的定义域不同 故不是同一个函数 故排除选项 D 故选 B 点评 本题考查函数的三要素 定义域 值域 对应关系 两个函数只有当定义域 值域 对应关系完全相同时 才是同一个函数 4 5 分 2012 陕西 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 A y x 1B y x2C D y x x 考点 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 专题 探究型 分析 对于 A 非奇非偶 对于 B 是偶函数 对于 C 是奇函数 但不是增函数 对于 D 令 f x x x 可判断函数既是奇函数又是增函数 故 可得结论 解答 解 对于 A 非奇非偶 是 R 上的增函数 不符合题意 对于 B 是偶函数 不符合题意 对于 C 是奇函数 但不是增函数 对于 D 令 f x x x f x x x f x f x x x 函数是增函数 故选 D 点评 本题考查函数的性质 考查函数的奇偶性与单调性的判断 属于基础题 5 5 分 设函数 A B C D 3 考点 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 利用辅助角公式可将 f x asinx bcosx 转化为 f x sinx 依题意可知 2 2k k Z 从而可求得 a b 的值 解答 解 f x asinx bcosx 转化为 f x sin x 其中 tan 由题意知 2 2m 2k k Z f x 2sin x 2sinxcos 2cosxsin sinx cosx a b 1 故选 D 点评 本题考查两角和与差的正弦函数 着重考查辅助角公式 求得 2 2k k Z 是关键 也是难点 属于中档题 6 5 分 式子的值等于 A 4aB 4a2C D 考点 有理数指数幂的化简求值 专题 计算题 分析 利用有理指数幂的运算性质将所求关系式化简即可 解答 解 原式 2 6 3 4a 2 6 3 的值等于 4a 故选 A 点评 本题考查有理数指数幂的化简求值 考查运算化简能力 属于中档题 4 7 5 分 三个数 0 76 60 7 log0 76 的大小关系为 A B CG 平面 PBC C D 考点 不等式比较大小 有理数指数幂的化简求值 对数值大小的比较 专题 计算题 分析 利用指数函数与对数函数的性质即可求得答案 解答 解 60 7 60 1 0 0 76 0 70 1 log0 76 log0 71 0 log0 76 0 76 60 7 故选 D 点评 本题考查不等式比较大小 着重考查指数函数与对数函数的性质 属于中档题 8 5 分 2011 惠州一模 当 0 a 1 时 在同一坐标系中 函数 y a x与 y logax 的图 象是 A B C D 考点 对数函数的图像与性质 指数函数的图像与性质 专题 压轴题 数形结合 分析 先将函数 y a x化成指数函数的形式 再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的 单调性即可判断出结果 解答 解 函数 y a x与可化为 函数 y 其底数大于 1 是增函数 又 y logax 当 0 a 1 时是减函数 两个函数是一增一减 前增后减 故选 C 点评 本题考查函数的图象 考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及 数形结合的思维能力 9 5 分 函数 y 的定义域是 5 A x x 0 B x x 1 C x x 1 D x 0 x 1 考点 函数的定义域及其求法 专题 函数的性质及应用 分析 令 解出即可 解答 解 由 解得 0 x 1 即函数的定义域为 x 0 x 1 故选 D 点评 本题考查函数定义域的求解 属基础题 开偶次方根要使被开方数大于等于 0 10 5 分 把函数的图象向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后 所得函数的 解析式应为 A B C D 考点 函数的图象与图象变化 专题 函数的性质及应用 分析 函数的图象向左平移 1 个单位 对应图象的解析式就是把原函数的解析式中 的自变量 x 变为 x 1 再向上平移 2 个单位 只要把向左平移后的解析式加 2 即可 解答 解 把函数的图象向左平移 1 个单位 得到的函数解析式为 然后 再向上平移 2 个单位 得到的函数解析式为 所以 把函数的图象向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后 所得函数 的解析式应为 故选 C 点评 本题考查的是函数图象的变换问题 在解答的过程当中充分体现了函数图象变换的 规律以及数形结合的思想 值得同学们体会反思 此题是基础题 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 5 分 已知函数 f x x 的图象过点 2 则 f 9 3 6 考点 幂函数的性质 专题 计算题 分析 根据题意可求得 从而得到函数 f x x 的解析式 可求得 f 9 的值 解答 解 f x x 的图象过点 2 2 f x f 9 3 故答案为 3 点评 本题考查幂函数的概念 求得 的值是关键 属于基础题 12 5 分 已知方程 log3x 6 x 的解所在区间为 k k 1 k N 则 k 4 考点 函数零点的判定定理 专题 函数的性质及应用 分析 令 f x log3x 6 x 由 f 4 0 0 f 4 f 5 0 可得函数 f x 的零点所在的区间为 4 5 由此可得 k 的值 解答 解 令 f x log3x 6 x f 4 log34 6 4 log34 2 0 f 5 log35 6 5 log35 1 0 f 4 f 5 0 故函数 f x 的零点所在的区间为 4 5 即方程 log3x 6 x 的解所在区间为 4 5 故 k 4 故答案为 4 点评 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用 函数的零点与方程的根的关系 体现 了转化的数学思想 属于基础题 13 5 分 2013 浙江模拟 函数 f x sin2x 2cos2x 函数 g x mcos 2x 2m 3 m 0 若存在 x1 x2 使得 f x1 g x2 成立 则实数 m 的取值范围是 2 考点 两角和与差的正弦函数 二倍角的余弦 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 三角函数的图像与性质 7 分析 由 x 0 可求得 f x 1 2 g x 3 3 m 依题意 存 在 x1 x2 使得 f x1 g x2 成立 可得到关于 m 的不等式组 解 之可求得实数 m 的取值范围 解答 解 f x sin2x 2cos2x sin2x cos2x 2sin 2x 当 x 0 2x sin 2x 1 2 f x 1 2 对于 g x mcos 2x 2m 3 m 0 2x mcos 2x m g x 3 3 m 若存在 x1 x2 使得 f x1 g x2 成立 则 3 m 1 3 2 解得实数 m 的取值范围是 2 故答案为 2 点评 本题考查两角和与差的正弦函数 着重考查三角函数的性质的运用 考查二倍角的 余弦 解决问题的关键是理解 存在 x1 x2 使得 f x1 g x2 成 立 的含义 属于难题 14 5 分 已知函数 若 f 2013 2 则 f 2013 12 考点 函数的值 专题 计算题 分析 由 f 2013 asin2013 8 2 可求 asin2013 然后代入即可求解 解答 解 f x asinx 8 f 2013 asin2013 8 2 8 asin2013 6 f 2013 asin2013 8 8 14 12 故答案为 12 点评 本题主要考查了函数值的求解 解题的关键是利用整体思想求出 asin2013 15 5 分 如图 在正方形 ABCD 中 M 是边 BC 的中点 N 是边 CD 的中点 设 MAN 那么 sin 的值等于 考点 两角和与差的正弦函数 诱导公式的作用 专题 三角函数的求值 分析 由题意可得 tan MAB tan DAN 利用两角和的正切公式可得 tan MAB DAN 的值 再利用诱导公式可得 cot 的值 由 1 cot2 csc2 求得 sin 的值 解答 解 设正方形的边长为 1 由题意可得 tan MAB tan DAN tan MAB DAN cot tan MAB DAN 1 cot2 csc2 9 sin 故答案为 点评 本题考查两角和的正切公式 同角三角函数的基本关系 诱导公式的应用 求出 cot 是解题的关键 三 解答题 12 12 12 13 13 13 75 分 16 12 分 已知 1 化简 f 2 已知 tan 3 求 f 的值 考点 诱导公式的作用 同角三角函数间的基本关系 专题 三角函数的求值 分析 1 利用诱导公式可得 cos sin sin sin cos 5 cos 进而化简化简 f 2 由 tan 3 将 1 中化简所得式子 分子分母同除以 cos 弦化切 后 代入可得答案 解答 解 1 2 tan 3 f 2 点评 本题考查的知识点是诱导公式 同角三角函数间的基本关系 1 的关键是理解 奇变偶不变 符号看象限 的原则 2 的关键是掌握 弦化切 的技巧 17 12 分 已知函数 f x Asin x A 0 0 0 在同一周期内 当时 f x 取得最大值 3 当时 f x 取得最小值 3 求函数 f x 的解析式 求函数 f x 的单调递减区间 若时 函数 h x 2f x 1 m 有两个零点 求实数 m 的取值 范围 10 考点 正弦函数的单调性 根的存在性及根的个数判断 由 y Asin x 的部分图象 确定其解析式 专题 三角函数的图像与性质 分析 由题意可得 A 3 根据周期 T 2 求得 2 由 2 2k k z 以及 可得 的值 从而求得函数的解 析式 由 2k 2x 2k k z 求得 x 的范围 即可求得函数的减 区间 函数 y sin 2x 的图象和直线 y 在上有 2 个交点 再由 2x y sin 2x 的图象可得 1 由此 求得实数 m 的取值范围 解答 解 由题意可得 A 3 周期 T 2 2 由 2 2k k z 以及 可得 故函数 f x 3sin 2x 由 2k 2x 2k k z 求得 k x k 故函数的减区间为 k k k z 时 函数 h x 2f x 1 m 有两个零点 故 sin 2x 有 2 个实数根 即函数 y sin 2x 的图象和直线 y 有 2 个交点 再由 2x 结合函数 y sin 2x 的图象可得 1 解得 m 3 1 7 即 实数 m 的取值范围是 3 1 7 点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断 由函数 y Asin x 的部分图象 求解析式 正弦函数的定义域和值域 体现了转化的数学思想 属于中档题 18 12 分 已知函数 11 1 若定义域为 R 求 a 范围 2 若值域为 R 求 a 范围 考点 函数的定义域及其求法 函数的值域 专题 函数的性质及应用 分析 1 根据函数的定义域为 R 说明对任意实数 x 对 数式的真数恒大于 0 而真数是二次三项式 由其对应的二次方程的判别式小于 0 即 可求得 a 的取值范围 同时兼顾对数式的底数有意义 2 根据函数的值域为 R 说明对数式的真数能取到 大于 0 的所有实数 则真数上的二次三项式对应的抛物线顶点应在 x 轴上或其下方 故其对应的二次方程的判别式应大于等于 0 由此求解 a 的取值范围 解答 解 1 由函数的定义域为 R 说明 x2 ax 2 0 对任意实数恒成立 则不等式 x2 ax 2 0 对应二次方程的 a2 8 0 即 又 a 0 且 a 1 所以 0 a 且 a 1 故使函数的定义域为 R 的 a 的取值范围是 0 1 1 2 函数的值域为 R 说明 x2 ax 2 能取到大于 0 的所有实数 则不等式 x2 ax 2 0 对应二次方程的 a2 8 0 解得 或 又 a 0 且 a 1 所以 使函数的值域为 R 的 a 的取 值范围是 2 点评 本题考查了函数的定义域 函数的值域 考查了数学转化思想 解答此题的关键是 由函数值域是 R 得到真数的二次三项式的判别式大于等于 0 是基础题 解答时易 忽略底数的限制条件 也是易错题 19 13 分 已知 f x 为定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 为二次函数 且满足 f 2 1 f x 在 0 上的两个零点为 1 和 3 1 求函数 f x 在 R 上的解析式 2 作出 f x 的图象 并根据图象讨论关于 x 的方程 f x c 0 c R 根的个数 考点 函数图象的作法 函数解析式的求解及常用方法 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 1 先利用待定系数法求出当 x 0 时 f x 表达式 再利用奇函数的性质求出 12 x 0 时 f x 表达式 2 数形结合 方程 f x c 0 c R 根的个数即为 y f x 与 y c 图象的交 点个数 结合图象可得答案 解答 解 1 由题意 当 x 0 时 设 f x a x 1 x 3 a 0 f 2 1 a 1 f x x2 4x 3 当 x 0 时 x 0 f x 为 R 上的奇函数 f x f x f x f x x 2 4 x 3 x2 4x 3 即 x 0 时 f x x2 4x 3 当 x 0 时 由 f x f x 得 f 0 0 所以 2 作出 f x 的图象 如图所 示 由 f x c 0 得 c f x 在图中作 y c 根据交点讨论方程的根 当 c 3 或 c 3 时 方程有 1 个根 当 1 c 3 或 3 c 1 时 方程有 2 个根 当 c 1 或 c 1 时 方程有 3 个根 当 0 c 1 或 1 c 0 时 方程有 4 个根 当 c 0 时 方程有 5 个根 点评 本题考查函数解析式的求解及函数图象的作法 同时考查数形结合思想的应用 属 中档题 20 13 分 已知函数 f x loga 1 x loga x 3 其中 0 a 1 记函数 f x 的定义域为 D 1 求函数 f x 的定义域 D 2 若函数 f x 的最小值为 4 求 a 的值 3 若对于 D 内的任意实数 x 不等式 x2 2mx m2 2m 1 恒成立 求实数 m 的取值范 围 考点 函数恒成立问题 函数的定义域及其求法 函数的值域 专题 函数的性质及应用 13 分析 1 根据使函数的解析式有意义的原则 构造关于自变量 x 的不等式组 解得函数 f x 的定义域 D 2 利用对数的运算性质 化简函数的解析式 并根据二次函数的图象和性质 可 分析出函数 f x 的最小值为 4 时 a 的值 3 若不等式 x2 2mx m2 2m 1 恒成立 即 x2 2mx m2 2m 的最大值小于 1 结 合二次函数的图象和性质 分类讨论后 可得实数 m 的取值范围 解答 解 1 要使函数有意义 则有 解得 3 x 1 函数的定义域 D 为 3 1 2 分 2 f x loga 1 x loga x 3 loga 1 x x 3 loga x 1 2 4 x 3 1 0 x 1 2 4 4 0 a 1 loga x 1 2 4 loga4 f x 的最小值为 loga4 loga4 4 即 a 3 由题知 x2 2mx m2 2m 1 在 x 3 1 上恒成立 x2 2mx m2 2m 1 0 在 x 3 1 上恒成立 8 分 令 g x x2 2mx m2 2m 1 x 3 1 配方得 g x x m 2 2m 1 其对称轴为 x m 当 m 3 时 g x 在 3 1 为增函数 g 3 3 m 2 2m 1 m2 4m 10 0 而 m2 4m 10 0 对任意实数 m 恒成立 m 3 10 分 当 3 m 1 时 函数 g x 在 3 1 为减函数 在 1 1 为增函数 g m 2m 1 0 解得 m 3 m 12 分 当 m 1 时 函数 g x 在 3 1 为减函数 g 1 1 m 2 2m 1 m2 4m