广东省肇庆市高要二中2013届高三数学上学期10月月考试题 理 新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年广东省肇庆市高要二中高三 上 学年广东省肇庆市高要二中高三 上 1010 月月考数学试月月考数学试 卷 理科 卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 5 分 2011 北京 已知集合 P x x2 1 M a 若 P M P 则 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 考点 集合关系中的参数取值问题 专题 计算题 分析 通过解不等式化简集合 P 利用 P M P M P 求出 a 的范围 解答 解 P x x2 1 P x 1 x 1 P M P M P a P 1 a 1 故选 C 点评 本题考查不等式的解法 考查集合的包含关系 考查 P M P M P 2 5 分 下列选项叙述错误的是 A 命题 若 x 1 则 x2 3x 2 0 的逆否命题是 若 x2 3x 2 0 则 x 1 B 若命题 p x R x2 x 1 0 则 p x R x2 x 1 0 C 若 p q 为真命题 则 p q 至少有一个为真命题 D 设 x y R 则 x 2 且 y 2 是 x2 y2 4 的必要而不充分条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 四种命题 专题 计算题 分析 利用命题与逆否命题的关系 判断 A 的正误 利用全称命题与特称命题否定关系 判断 B 的正误 通过 p q 命题是真命题的条件 判断 C 的正误 利用充要条件判断方法判断 D 的正误 解答 解 对于 A 命题 若 x 1 则 x2 3x 2 0 的逆否命题是 若 x2 3x 2 0 则 x 1 满足逆否命题 正确 对于 B 命题 p x R x2 x 1 0 则 p x R x2 x 1 0 满足题意正确的判 断 对于 C 若 p q 为真命题 则 p q 至少有一个为真命题 正确 对于 D 设 x y R 则 x 2 且 y 2 是 x2 y2 4 的必要而不充分条件 不 正确 应该是充分不必要条件 2 故选 D 点评 本题考查必要条件 充分条件与充要条件的判断 四种命题等知识 考查基本知识 的应用 3 5 分 下列函数中 既是偶函数 又是在区间 0 上单调递减的函数是 A y x3B y C y 2 x D y cosx 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 对于 A 函数是奇函数 对于 B 函数是偶函数 在区间 0 上函数单调递减 对于 C 函数是偶函数 在区间 0 上函数单调递增 对于 D 函数是偶函数 在区间 0 上 不是单调函数 解答 解 对于 A 函数是奇函数 不满足题意 对于 B 函数是偶函数 在区间 0 上 y lnx y 0 函数单调递减 故满足题意 对于 C 2 x 2x 函数是偶函数 在区间 0 上 y 2x y 2xln2 0 函数单调递增 故不满足题意 对于 D 函数是偶函数 在区间 0 上 不是单调函数 故不满足题意 故选 B 点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合 考查学生分析解决问题的能力 属于中档 题 4 5 分 函数的值域为 A B C 0 D 0 2 考点 指数型复合函数的性质及应用 二次函数的性质 专题 计算题 分析 令 t x 2x x2 x 1 2 1 1 结合指数函数 y 的单调性可求函数 的值域 解答 解 令 t x 2x x2 x 1 2 1 1 3 单调递减 即 y 故选 A 点评 本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性 属于基础试题 5 5 分 函数的图象大致是 A B C D 考点 函数的图象 专题 计算题 分析 已知函数的解析式 可以令 x 代入验证 然后根据 x 1 求出其解析 式 做出判断 解答 解 函数 令 x 得 3 1 排除选项 B D 当 x 1 时 log3x 0 x 故选 A 点评 此题主要考查对数函数的运算 即函数的图象 利用了特殊值法进行判断 比较简 便 6 5 分 设 a log32 b ln2 c 则 A a b c B b c a C c a b D c b a 考点 对数值大小的比较 换底公式的应用 专题 计算题 转化思想 4 分析 根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数 使底化相同 找中间量 1 与之比较大小 便值 a b c 的大小关系 解答 解 a log32 b ln2 而 log23 log2e 1 所以 a b c 而 所以 c a 综上 c a b 故选 C 点评 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大小的比 较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 7 5 分 2011 山东 已知 f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数 且当 0 x 2 时 f x x3 x 则函数 y f x 的图象在区间 0 6 上与 x 轴的交点的个数为 A 6B 7C 8D 9 考点 根的存在性及根的个数判断 函数的周期性 专题 计算题 分析 当 0 x 2 时 f x x3 x 0 解得 x 0 或 x 1 由周期性可求得区间 0 6 上解 的个数 再考虑 x 6 时的函数值即可 解答 解 当 0 x 2 时 f x x3 x 0 解得 x 0 或 x 1 因为 f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数 故 f x 0 在区间 0 6 上解的个数为 6 又因为 f 6 f 0 0 故 f x 0 在区间 0 6 上解的个数为 7 即函数 y f x 的图象在区间 0 6 上与 x 轴的交点的个数为 7 故选 B 点评 本题考查函数的零点个数问题 函数的周期性的应用 考查利用所学知识解决问题 的能力 8 5 分 2011 福建 对于函数 f x asinx bx c 其中 a b R c Z 选取 a b c 的一组值计算 f 1 和 f 1 所得出的正确结果一定不可能是 A 4 和 6 B 3 和 1 C 2 和 4 D 1 和 2 考点 函数的值 专题 计算题 压轴题 分析 求出 f 1 和 f 1 求出它们的和 由于 c Z 判断出 f 1 f 1 为偶 5 数 解答 解 f 1 asin1 b c f 1 asin1 b c 得 f 1 f 1 2c c Z f 1 f 1 是偶数 故选 D 点评 本题考查知函数的解析式求函数值 考查偶数的特点 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 9 5 分 函数 f x 与 g x 互为反函数 则 f 4x 1 的定义域为 考点 反函数 专题 计算题 分析 利用原函数的定义域与反函数的值域相同的关系 推出 f x 的定义域 然后求出 f 4x 1 的定义域 解答 解 因为原函数的定义域与反函数的值域相同 g x 的值域为 0 所以 f x 的定义域为 0 所以 4x 1 0 解得 x 所以函数 f 4x 1 的定义域 故答案为 点评 本题考查函数的反函数的值域与原函数的定义域的对应关系 考查计算能力 10 5 分 2011 温州一模 根据表格中的数据 可以判定函数 f x lnx x 2 有一个 零点所在的区间为 k k 1 k N 则 k 的值为 3 12345 lnx00 691 101 391 61 考点 函数零点的判定定理 专题 常规题型 6 分析 计算每个区间端点处的函数值 当区间端点处的函数值异号时 即可判定这个区间 内有零点 解答 解 由题意知 f 1 0 1 2 1 0 f 2 ln2 2 2 0 69 0 f 3 ln3 3 2 1 10 1 0 10 0 f 4 ln4 4 2 1 39 2 0 f 3 f 4 0 由勘根定理知 在 3 4 内有零点 故答案为 3 点评 本题考察用勘根定理判断零点的位置 当在区间左右端点处点的函数值异号时 在 这个区间内有零点 须掌握勘根定理 属简单题 11 5 分 函数则 f x 1 的解集为 x 0 x e 或 x 1 考点 其他不等式的解法 对数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 压轴题 分析 由 f x 1 可得 分别求出 和 的解集 再取 并集 即得所求 解答 解 由 f x 1 可得 解 得 0 x e 解 得 x 1 故 f x 1 的解集为 x 0 x e 或 x 1 故答案为 x 0 x e 或 x 1 点评 本题主要考查分式不等式 对数不等式的解法 体现了分类讨论的数学思想 属于 中档题 12 5 分 2011 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 P Q 两点 则线段 PQ 长的最小值是 4 考点 两点间距离公式的应用 专题 计算题 分析 由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是 1 时 直线与函数图 形的交点之间的距离最短 写出直线的方程 求出直线与函数的交点坐标 利用两 7 点之间的距离公式得到结果 解答 解 由题意知当过原点的直线的斜率是 1 时 直线与函数图形的交点之间的距离最 短 而 y x 与 y 的两个交点的坐标是 根据两点之间的距离公式得到 PQ 4 故答案为 4 点评 本题考查反比例函数的图形的特点 考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法 考 查两点之间的距离公式 是一个综合题目 13 5 分 函数 f x 的定义域为 A 若 x1 x2 A 且 f x1 f x2 时总有 x1 x2 则 称 f x 为单函数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 f x x2 x R 是单函数 函数是单函数 若 f x 为单函数 x1 x2 A 且 x1 x2 则 f x1 f x2 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 考点 命题的真假判断与应用 专题 新定义 分析 由题意单函数的实质是一对一的映射 而单调的函数也是一对一的映射 据此可逐 个判断 解答 解 函数 f x x2 x R 不是单函数 例如 f 1 f 1 显然不会有 1 和 1 相等 故为假命题 函数是单函数 因为若 可推出 x1x2 x2 x1x2 x1 即 x1 x2 故为真命题 若 f x 为单函数 x1 x2 A 且 x1 x2 则 f x1 f x2 为真 可用反证法证明 假设 f x1 f x2 则按定义应有 x1 x2 与已知中的 x1 x2矛 盾 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真 因为单函数的实质是一对一的 映射 而单调的函数也是 故为真 故答案为 点评 本题为新定义 准确理解单函数并把它跟已知函数的性质联系起来是解决问题的关 键 属基础题 14 5 分 2010 闸北区二模 在极坐标系中 点到圆 2cos 的圆心的 距离是 8 考点 参数方程化成普通方程 两点间的距离公式 专题 计算题 分析 先将极坐标方程化为一般方程 然后再计算点到圆 2cos 的圆心 的距离 解答 解 在极坐标系中 2cos x pcos y psin 消去 p 和 得 x 1 2 y2 1 圆心的直角坐标是 1 0 半径长为 1 点在一般方程坐标为 1 点到圆 2cos 的圆心的距离是 d 故答案为 点评 此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系 两者要会互相转化 根据实际情况 选择不同的方程进行求解 这也是每年高考必考的热点问题 15 2011 韶关一模 如图 O 的半径 R 5 P 是弦 BC 延长线上的一点 过 P 点作 O 的 切线 切点为 A 若 PC 1 PA 3 则圆心 O 到弦 BC 的距离是 3 考点 圆的切线的性质定理的证明 专题 计算题 分析 由已知中 O 的半径 R 5 P 是弦 BC 延长线上的一点 过 P 点作 O 的切线 切点 为 A 若 PC 1 PA 3 我们由切割线定理及求出 PD 的长 进而求出弦 BC 的长 然 后根据半径弦长 弦心距 圆半径构成直角三角形 即可求出答案 解答 解 由切割线定理得 PA2 PC PB 从而 PB 9 BC 8 则圆心 O 到弦 BC 的距离是 故答案为 3 9 点评 本题考查圆的切割线定理与垂径定理 属于中等题 其中根据切割线定理求出弦 BC 的长是解答本题的关键 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知 为锐角 且 tan 求的值 考点 诱导公式的作用 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 先利用诱导公式化简函数 再利用同角三角函数的平方与商数关系 即可求得结 论 解答 解 原式 cos 又 tan 为锐角 cos2 为锐角 cos 原式 点评 本题重点考查诱导公式的运用 考查同角三角函数的平方与商数关系 熟练运用公 式是关键 17 12 分 设全集为 R 集合 集合 B a R 关于 x 的方程 x2 ax 1 0 的根一个在 0 1 内 另一个在 1 2 内 求 CRA CRB 考点 一元二次方程的根的分布与系数的关系 交集及其运算 补集及其运算 专题 计算题 分析 首先对集合 A 进行化简 求出 A 然后再求出 CRA 然后根据关于 x 的方程 x2 ax 1 0 的根一个在 0 1 上 另一个在 1 2 上设出函数 f x 化简出 CRB 最后求出 CRA CRB 解答 解 由 10 即 又关于 x 的方程 x2 ax 1 0 的根一个在 0 1 上 另一个在 1 2 上 设函数 f x x2 ax 1 则满足即 点评 本题考查交并补集的混合运算 以及一元二次方程的根的分布与系数的关系 需要 对知识熟练运用 属于中档题 18 12 分 2012 道里区二模 设函数 g x 2x2 4x c 1 试问函数 f x 能否在 x 1 时取得极值 说明理由 2 若 a 1 当 x 3 4 时 函数 f x 与 g x 的图象有两个公共点 求 c 的取 值范围 考点 利用导数研究函数的单调性 函数的零点与方程根的关系 函数在某点取得极值的 条件 专题 综合题 压轴题 分析 1 利用反证法 根据 f x 的解析式求出 f x 的导函数 假设 x 1 时 f x 取得极值 则把 x 1 代入导函数 导函数值为 0 得到 a 的值 把 a 的值代 入导函数中得到导函数在 R 上为增函数 没有极值与在 x 1 时 f x 取得极值矛 盾 所以得到 f x 在 x 1 时无极值 2 把 a 1 代入 f x 确定出 f x 然后令 f x 与 g x 相等 移项并合 并得到 c 等于一个函数 设 F x 等于这个函数 G x 等于 c 求出 F x 的导 函数 令导函数等于 0 求出 x 的值 利用 x 的值讨论导函数的正负得到 F x 的单 调区间 进而得到 F x 的极大值和极小值 函数 f x 与 g x 的图象有两个公 共点 则函数 F x 与 G x 有两个公共点 根据 F x 的极大值和极小值写出 c 的取值范围即可 解答 解 1 由题意 f x x2 2ax a 假设在 x 1 时 f x 取得极值 则有 f 1 1 2a a 0 a 1 而此时 f x x2 2x 1 x 1 2 0 函数 f x 在 R 上为增函数 无极值 这与 f x 在 x 1 有极值矛盾 所以 f x 在 x 1 处无极值 11 2 令 f x g x 则有 x3 x2 3x c 0 c x3 x2 3x 设 F x x3 x2 3x G x c 令 F x x2 2x 3 0 解得 x1 1 或 x 3 列表如下 由此可知 F x 在 3 1 3 4 上是增函数 在 1 3 上是减函 数 当 x 1 时 F x 取得极大值 当 x 3 时 F x 取得极小值 F 3 F 3 9 而 如果函数 f x 与 g x 的图象有两个公共点 则函数 F x 与 G x 有两个公 共点 所以或 c 9 点评 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间 会根据函数的增减性得到 函数的极值 掌握函数的零点与方程根的关系 是一道中档题 19 14 分 2011 湖北 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在 一般情况下 大桥上的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度 x 单位 辆 千米 的 函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度 不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当 20 x 200 时 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 I 当 0 x 200 时 求函数 v x 的表达式 当车流密度 x 为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 考点 函数模型的选择与应用 基本不等式在最值问题中的应用 专题 应用题 分析 I 根据题意 函数 v x 表达式为分段函数的形式 关键在于求函数 v x 在 20 x 200 时的表达式 根据一次函数表达式的形式 用待定系数法可求得 II 先在区间 0 20 上 函数 f x 为增函数 得最大值为 f 20 1200 然 后在区间 20 200 上用基本不等式求出函数 f x 的最大值 用基本不等式取等号 的条件求出相应的 x 值 两个区间内较大的最大值即为函数在区间 0 200 上的最 12 大值 解答 解 I 由题意 当 0 x 20 时 v x 60 当 20 x 200 时 设 v x ax b 再由已知得 解得 故函数 v x 的表达式为 II 依题并由 I 可得 当 0 x 20 时 f x 为增函数 故当 x 20 时 其最大值为 60 20 1200 当 20 x 200 时 当且仅当 x 200 x 即 x 100 时 等号成立 所以 当 x 100 时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 综上所述 当 x 100 时 f x 在区间 0 200 上取得最大值为 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大值 最大值约为 3333 辆 小 时 答 I 函数 v x 的表达式 II 当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大值 最大值约为 3333 辆 小时 点评 本题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 属于中等题 20 14 分 已知奇函数 f x 的定义域为 R 且 f x 在 0 上是增函数 是否存 在实数 m 使得 f cos2 3 f 4m 2mcos f 0 对一切都成立 若存在 求出实数 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 考点 复合三角函数的单调性 奇偶性与单调性的综合 专题 计算题 综合题 分析 根据奇函数 f x 的定义域为 R 可求得 f 0 0 再利用 f x 在 0 上 是增函数 可将 f cos2 3 f 4m 2mcos f 0 化为 cos2 mcos 2m 2 0 令 t cos 构造函数 13 f t f t t2 mt 2m 2 0 t 1 根据其对称轴与区间 0 1 的关系可分 类讨论求得 m 的取值范围 解答 解 设存在实数 m 使得 f cos2 3 f 4m 2mcos f 0 对一切 都成立 奇函数 f x 的定义域为 R f 0 0 f cos2 3 f 2mcos 4m 恒成立 又 f x 在 R 上单调递增 cos2 3 2mcos