2012年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷（1）（浙江卷） 新人教A版

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 冲刺卷一数冲刺卷一数 学 理科 学 理科 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷个答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 如果事件A B互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件A B相互独立 那么其中S表示棱柱的底面积 h表示棱 柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么n V Sh 3 1 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积 h表示棱 锥的高 Pn k C pk 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 k n 棱台的体积公式S 4 R2 球的体积公式 2211 3 1 SSSShV 其中S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V R3 3 4 h表示棱台的高 其中R表示球的半径 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知 则的值为 0 1 0 2 xxf xx xf 22 ff A 6 B 5 C 4 D 2 2 是 的 6 2 1 2cos 用心 爱心 专心2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 B 如果平面不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 那么 平面 l l D 如果平面 平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 4 阅读下面的程序框图 若使输出的结果不大于 37 则输入的整数 i 的最大值为 A 4 B 5 C 6 D 7 5 已知双曲线的左右焦点分别为F1 F2 1 36 22 yx 点M在双曲线上且M F1 x轴 则F1到直线F2M的 距离为 A B 5 63 6 65 C D 5 6 6 5 6 设a是抛掷一枚质地均匀的骰子得到的点数 则方程有两个不相等的02 2 axx 实数根的概率为 A B C D 3 2 3 1 2 1 12 5 7 已知圆C 若过点 1 可作圆的切线有03242 222 mmymxyx2 两条 则实数m的取值范围是 第 4 题图 用心 爱心 专心3 A B 4 C D 2 3 1 1 4 2 3 2 3 1 8 某电台现录制好 10 首曲目 其中美声唱法 2 首 民族唱法 4 首 通俗唱法 4 首 拟分两 期播出 每期播放其中 5 首 要求三种唱法每期都有 通俗唱法曲目不得相邻 且第 一期的最后一首曲目必须是美声唱法 则不同的编排方法种数为 A 40320 B 80640 C 35712 D 71424 9 设函数 4sin 21 f xxx 则在下列区间中函数 f x不存在零点的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 10 是两个定点 点为平面内的动点 且 且 点的轨 P QM MP MQ 0 1 M 迹 围成的平面区域的面积为 设 且 则以下判断正确的是 S Sf 0 1 A 在上是增函数 在上是减函数 f 1 0 1 B 在上是减函数 在上是减函数 f 1 0 1 C 在上是增函数 在上是增函数 f 1 0 1 D 在上是减函数 在上是增函数 f 1 0 1 非选择题部分 共非选择题部分 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 已知复数 其中i是虚数单位 则 i i z 1 2 z 12 在的展开式中x3的系数是 6 2 1 2 x x 用心 爱心 专心4 13 已知函数 cossin 4 f xfxx 则 4 f 的值为 14 已知一个球的球心O到过球面上A B C三点的截面的距离等于此球半径的一半 若 3ABBCCA 则球的体积为 15 已知O是坐标原点 1 2 A yxP满足 01 2553 034 x yx yx 则OP在OA方向上的 投影的最大值等于 16 有红 蓝 黄三种颜色的球各 7 个 每种颜色的 7 个球分别标有数字 1 2 3 4 5 6 7 从中任取 3 个标号不同的球 这 3 种颜色互不相同且所标数 字互不相邻的概率为 17 给定实数集合满足 其中表示不超过的最QP 1 sin sin 22 xxxP xx 大整数 设 分别为集 xxx 2 3 4 sinsin 22 xxxQPQ 合的元素个数 则 的大小关系为 QP PQ 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7272 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x 求的最大值和最小值 f x 若不等式在上恒成立 求实数m的取值范围 2f xm 4 2 x 用心 爱心 专心5 19 本小题满分 14 分 已知数列满足 且 n a2 1 a na an a n n n 12 1 Nn 求证 数列为等比数列 并求数列的通项公式 1 n a n n a 证明 2 321 321 n n aaaa n Nn 20 本小题满分 15 分 如图 在平面内直线EF与线段AB相交于C点 BCF 且AC CB 4 将此 30 平面沿直线EF折成的二面角 EF BP 平面 点P为垂足 60 求 ACP的面积 求异面直线AB与EF所成角的正切值 第 20 题图 B A F C E C B P A EF 用心 爱心 专心6 21 本小题满分 15 分 如图 P是抛物线C y 2 1 x2上一点 直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q 若直线l与过点P的切线垂直 求线段PQ中点M的轨迹方程 若直线l不过原点且与x轴交于点S 与y轴交于点T 试求 SQ ST SP ST 的 取值范围 22 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln 1 0 f xaxx a 求的单调区间和极值 f x 求证 1 lglglg 4lglg 1 23 n n n n eee een n nN 第 21 题图 用心 爱心 专心7 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 冲刺卷一冲刺卷一 数学 理科 参考答案与评分标准数学 理科 参考答案与评分标准 说明 说明 一一 本本解解答答指指出出了了每每题题要要考考查查的的主主要要知知识识和和能能力力 并并给给出出了了一一种种或或几几种种解解法法供供参参考考 如如果果考考生生的的解解法法与与本本解解答答不不同同 可可根根据据试试题题的的主主要要考考查查内内容容比比照照评评分分参参考考制制订订相相应应的的评评分分 细细 则则 二 对计算题二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题变该题 的内容和难度 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后续部分的解答有较分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 1 分 分 一 选择题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 5 分分 满分满分 5050 分 分 题号 12345678910 答案 BADBCACDAA 二 填空题二 填空题 本本题考查基本知识和基本运算 每小题题考查基本知识和基本运算 每小题 4 4 分分 满分满分 2828 分 分 11 12 13 1 14 32 3 15 12 5 5 16 4 63 17 2 10 160 P Q 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 5 5 小题小题 满分满分 7272 分 分 18 本小题满分 14 分 解 1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 3 分 12sin 2 3 x 又 即 4 2 x 2 2 633 x 212sin 23 3 x 7 分 maxmin 3 2f xf x 用心 爱心 专心8 9 分 2 2 2f xmf xmf x 4 2 x 且 即的取值范围是 14 分 max 2mf x min 2mf x 14m m 1 4 19 本小题满分 14 分 由题得 an 1 an n 2 n 1 an 即 nnnn annaaa 1 2 11 故 即数列为等比数列 3 分11 1 2 1 nn a n a n 1 n a n 7 分 nn n a n 2 1 2 1 2 1 1 1 12 n n n na 由上知 8 分 12 1 1 n n n a 1210 321 2 1 2 1 2 1 2 1 321 n n n n aaaa 14 分 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n n n 20 本小题满分 15 分 方法一 解 如图 在平面内 过点P作PM EF 点M为垂足 连结BM 则 BMP为 二面角 EF 的平面角 以点P为坐标原点 以直线PM为x轴 射线PB 为z轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz 在 Rt BMC中 由 BCM CB 4 得 30 CM BM 2 32 在 Rt BMP中 由 BMP BM 2 得 60 x y z C B P A EM z F 用心 爱心 专心9 MP 1 BP 3 故P 0 0 0 B 0 0 C 1 0 M 1 0 0 332 由 ACM 得A 1 4 0 1503 所以 1 0 2 0 CP32CA32 则 10 cos ACP sin ACP CACP 132 5 132 33 因此S ACP 7 分33 解 1 4 0 2 0 24 BA33MC3 MCBA cos 所以AB与EF所成角的正切值为 15 分MCBA 13 32 6 3 方法二 解 如图 在平面内 过点P作PM EF 点M为垂足 连结BM 则 BMP为二 面角 EF 的平面角 在 Rt BMC中 由 BCM CB 4 得 30 CM BM 2 32 在 Rt BMP中 由 BMP BM 2 得MP 1 60 在 Rt CMP中 由CM MP 1 得32 CP cos PCM sin PCM 13 13 32 13 1 故 sin ACP sin PCM 所以S ACP 7 分 150 132 33 33 解 如图 过点A作AQ EF 交MP于点Q 则 BAQ是AB与EF所成的角 且AQ 平面BMQ 在 BMQ中 由 BMQ BM MQ 2 得 BQ 2 60 在 Rt BAQ中 由AQ AC CM 4 BQ 2 得 30cos 3 C B P A EM Q F 用心 爱心 专心10 tan BAQ 因此AB与EF所成角的正切值为 15 分 6 3 AQ BQ 6 3 21 本小题满分 15 分 解 设P x1 y1 Q x2 y2 M x0 y0 依题意x1 0 y1 0 y2 0 由y 2 1 x2 得y x 过点P的切线的斜率k切 x1 直线l的斜率kl 切 k 1 1 1 x 直线l的方程为y 2 1 x12 1 1 x x x1 4 分 方法一 联立 消去y 得x2 1 2 x x x12 2 0 M是PQ的中点 x0 2 21 xx 1 1 x y0 2 1 x12 1 1 x x0 x1 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ中点M的轨迹方程为y x2 1 x 0 7 分 2 2 1 x 方法二 由y1 2 1 x12 y2 2 1 x22 x0 2 21 xx 得y1 y2 2 1 x12 2 1 x22 2 1 x1 x2 x1 x2 x0 x1 x2 则x0 21 21 xx yy kl 1 1 x x1 0 1 x 将上式代入 并整理 得y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ中点M的轨迹方程为y x2 1 x 0 7 分 2 2 1 x 设直线l y kx b 依题意k 0 b 0 则T 0 b 分别过P Q作PP x轴 QQ y轴 垂足分别为P Q 则 用心 爱心 专心11 SQ ST SP ST 21 y b y b QQ OT PP OT y 2 1 x2 由 消去x 得y2 2 k2 b y b2 0 y kx b 则y1 y2 2 k2 b y1y2 b2 12 分 方法一 SQ ST SP ST b 21 11 yy 2 b 21 1 yy 2 b 2 1 b 2 y1 y2可取一切不相等的正数 SQ ST SP ST 的取值范围是 2 15 分 方法二 SQ ST SP ST b 21 21 yy yy b 2 2 2 b bk 当b 0 时 SQ ST SP ST b 2 2 2 b bk b bk 2 2 b k 2 2 2 2 当b0 于是k2 2b 0 即k2 2b 所以 SQ ST SP ST b bb 2 2 2 当b 0 时 b k 2 2 可取一切正数 SQ ST SP ST 的取值范围是 2 15 分 方法三 由 P Q T 三点共线得kTQ KTP 用心 爱心 专心12 即 2 2 x by 1 1 x by 则x1y2 bx1 x2y1 bx2 即b x2 x1 x2y1 x1y2 于是b 12 2 21 2 12 2 1 2 1 xx xxxx 2 1 x1x2