河北省承德市隆化一中2013届高三数学上学期期中试题新人教A版

1 河北省承德市隆化一中河北省承德市隆化一中 20132013 届届高三 上 期中数学试卷高三 上 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 1212 题计题计 6060 分 分 1 5 分 2012 黑龙江 已知集合 A x x2 x 2 0 B x 1 x 1 则 A A BB B AC A BD A B 考点 集合的包含关系判断及应用 专题 计算题 分析 先求出集合 A 然后根据集合之间的关系可判断 解答 解 由题意可得 A x 1 x 2 B x 1 x 1 在集合 B 中的元素都属于集合 A 但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中 例如 x B A 故选 B 点评 本题主要考查了集合之间关系的判断 属于基础试题 2 5 分 2012 黑龙江 复数 z 的共轭复数是 A 2 iB 2 iC 1 iD 1 i 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 利用复数的分子 分母同乘分母的共轭复数 把复数化为 a bi 的形式 然后求法共 轭复数即可 解答 解 复数 z 1 i 所以复数的共轭复数为 1 i 故选 D 点评 本题考查复数的代数形式的混合运算 复数的基本概念 考查计算能力 2 3 5 分 2005 浙江 设 f x 则 f f A B C D 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的值 分析 判断自变量的绝对值与 1 的大小 确定应代入的解析式 先求 f 再求 f f 由内而外 解答 解 f 即 f f 故选 B 点评 本题考查分段函数的求值问题 属基本题 4 5 分 已知 y x2 2 a 2 5 在 4 上是增函数 则实数 a 的范围是 A a 2B a 2C a 6D a 6 考点 二次函数的性质 专题 计算题 分析 先求出对称轴方程 利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增 左边递减 比较 区间端点和对称轴的大小即可 解答 解 因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增 左边递减 而其对称轴为 x 2 a 又在 4 上是增函数 故须 2 a 4 a 2 故选 B 点评 本题考查了二次函数的单调性 二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决 定 开口向上的二次函数在对称轴右边递增 左边递减 开口向下的二次函数在对 称轴左边递增 右边递 5 5 分 2013 河东区二模 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的 横坐标为 3 A 3B 2C 1D 考点 导数的几何意义 分析 根据斜率 对已知函数求导 解出横坐标 要注意自变量的取值区间 解答 解 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线的一条切线的斜率为 y 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为 3 故选 A 点评 考查导数的几何意义 属于基础题 对于一个给定的函数来说 要考虑它的定义 域 比如 该题的定义域为 x 0 6 5 分 函数 f x 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值和最小值分别是 A 12 15 B 4 15 C 12 4 D 5 15 考点 函数的值域 专题 计算题 分析 先对函数 f x 求导 然后令导数为 0 求出 x 的值 分别求出 f x 在拐点及 x 0 和 x 3 时的值 通过比较即可得出答案 解答 解 f x 6x2 6x 12 令 f x 0 得 x 1 或 x 2 f 1 12 f 2 15 f 0 5 f 3 4 f x max 5 f x min 15 故选 D 点评 本题考查了函数的值域 难度一般 关键是通过求导的方法求函数的最值 7 5 分 2006 天津 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 A1B2C3D4 4 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 压轴题 分析 根据当 f x 0 时函数 f x 单调递增 f x 0 时 f x 单调递减 可从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 然后得到答案 解答 解 从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 根据极值点的定义可知在 a b 内只有一个极小值点 故选 A 点评 本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系 属基础题 8 5 分 2012 黑龙江 已知 0 0 直线 x 和 x 是函数 f x sin x 图象的两条相邻的对称轴 则 A B C D 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 专题 计算题 分析 通过函数的对称轴求出函数的周期 利用对称轴以及 的范围 确定 的值即 可 解答 解 因为直线 x 和 x 是函数 f x sin x 图象的两条相邻的对称 轴 所以 T 2 所以 1 并且 sin 与 sin 分别是最大值与最小值 0 所以 故选 A 点评 本题考查三角函数的解析式的求法 注意函数的最值的应用 考查计算能力 9 5 分 已知角 的终边上有一点 则 tan 的最小值为 5 A B 1C D 2 考点 基本不等式 任意角的三角函数的定义 专题 计算题 分析 先根据任意角的三角函数的定义得 tan 注意到两项的积为定值 且为正 数 故考虑利用基本不等式即可解决 解答 解 tan 2 1 当且仅当 t 时取等号 则 tan 的最小值为 1 故选 B 点评 本题考查任意角的三角函数的定义 基本不等式 函数的最值 解题时要注意基本 不等式的应用 10 5 分 2011 福建 ex 2x dx 等于 A 1B e 1C eD e2 1 考点 定积分 专题 计算题 分析 求出被积函数的原函数 将积分的上限代入减去将下限代入求出差 解答 解 ex 2x dx ex x2 01 e 1 1 e 故选 C 点评 本题考查利用微积分基本定理求定积分值 11 5 分 文科 下列命题正确的是 A x R x2 2x 1 0B x R x2 0 C x N log2x 0D x R cosx 2x x2 3 考点 特称命题 全称命题 6 专题 不等式的解法及应用 分析 对于全称命题 要说明其为假 只须举一反例即可 对于特称命题 则须举一例 就可说明其为真 据此对各选项进行分析即可 解答 解 当 x 1 时 x2 2x 1 4 0 故 A 错误 B 当 x 0 时 x2 0 成立 故 B 正确 当 x 1 时 log2x 0 故 C 错误 y 2x x2 3 的最大值为 2 而 cosx 1 恒成立 故 x R cosx 2x x2 3 错 误 故 D 错误 利用排除法可知 正确选项是 B 故选 B 点评 本题考查的知识点是特称命题 全称命题的真假 其中根据函数的性质 判断命题 的真假是解答的关键 12 5 分 是的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 三角函数的周期性及其求法 分析 由充要条件的判定方法 可判定 p q 与 q p 的真假 也可以判断命题 p 与命题 q 所表示的范围 再根据 谁大谁必要 谁小谁充分 的原则 判断命题 p 与命题 q 的关系 解答 解 方法一 为假命题 为真命题 是的必要不充分条件 方法二 表示的范围比大 是的必要不充分条件 方法三 是的必要不充分条件 根据原命题与逆否命题之间同真同假的关系 是的必要不充分条件 故选 B 点评 判断充要条件的方法是 若 p q 为真命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件 7 若 p q 为假命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件 若 p q 为真命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的充要条件 若 p q 为假命题且 q p 为假命题 则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围 再根据 谁大谁必要 谁小谁充分 的原则 判断命题 p 与命题 q 的关系 13 5 分 2007 福建 已知函数 f x sin x 0 的最小正周期为 则该函数的图象 A 关于点 0 对称 B 关于直线 x 对称 C 关于点 0 对称 D 关于直线 x 对称 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 分析 先根据最小正周期的值求出 w 的值确定函数的解析式 然后令 2x k 求出 x 的 值 得到原函数的对称点 然后对选项进行验证即可 解答 解 由函数 f x sin x 0 的最小正周期为 得 2 由 2x k 得 x 对称点为 0 k z 当 k 1 时为 0 故选 A 点评 本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分计分计 2020 分 分 14 4 分 2012 黑龙江 已知向量夹角为 45 且 则 3 考点 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 计算题 压轴题 分析 由已知可得 代入 2 可求 8 解答 解 1 2 解得 故答案为 3 点评 本题主要考查了向量的数量积 定义的应用 向量的数量积性质 是求解向 量的模常用的方法 15 4 分 函数 f x x 2sinx 在 0 上的单调增区间为 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 对函数 f x x 2sinx 进行求导 然后令导函数大于 0 在 0 上求出 x 的范 围 即可得到答案 解答 解 f x 1 2cosx 0 x 0 解得 x 故答案为 点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系 即当导函数大于 0 时原 函数单调递增 当导函数小于 0 时原函数单调递减 属于基础题 16 4 分 2010 上海 函数 y 2cos2x sin2x 的最小值是 考点 三角函数的最值 专题 计算题 分析 先利用三角函数的二倍角公式化简函数 再利用公式 化简三角函数 利用三角函数的有界性求出 最小值 解答 解 y 2cos2x sin2x 1 cos2x sin2x 9 1 1 当 2k 有最小值 1 故答案为 1 点评 本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂 利用公式 化简三角函数 17 4 分 已知函数 f x 在 x 1 处可导 且 则 f 1 考点 极限及其运算 专题 计算题 分析 变形使之符合导数的定义 f 1 求出即可 解答 解 函数 f x 在 x 1 处可导 且 则 故答案为 点评 充分理解导数的定义式是解题的关键 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 10 分 2013 东至县一模 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 1 求角 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 10 考点 正弦定理 余弦定理的应用 专题 计算题 分析 1 把已知的等式利用正弦定理化简 根据 sinC 不为 0 得到一个关系式 再利用 两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数即可 2 由 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值 由三角形 ABC 的面积 利用面积公式及 sinA 的值 求出 bc 的值 记作 由 a 与 cosA 的值 利用余弦定理列出关系式 利用完全平方公式变形后 把 bc 的值代入求出 b c 的值 记作 联立 即可求 出 b 与 c 的值 解答 解 1 由正弦定理 化简已知的等式得 sinC sinAsinC sinCcosA C 为三角形的内角 sinC 0 sinA cosA 1 整理得 2sin A 1 即 sin A A 或 A 解得 A 或 A 舍去 则 A 2 a 2 sinA cosA ABC 的面积为 bcsinA bc 即 bc 4 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 4 b2 c2 bc b c 2 3bc b c 2 12 整理得 b c 4 联立 解得 b c 2 点评 此题考查了正弦 余弦定理 两角和与差的正弦函数公式 以及特殊角的三角函数 值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键 19 11 分 命题 p 关于 x 的不等式 x2 2ax 4 0 对一切 x R 恒成立 q 函数 f x 3 2a x是增函数 若 p 或 q 为真 p 且 q 为假 求实数 a 的取值范围 考点 一元二次不等式的解法 四种命题的真假关系 指数函数的单调性与特殊点 专题 计算题 综合题 分类讨论 分析 由题意分别求出 p 为真 q 为真时 a 的取值范围 根据 p 或 q 为真 p 且 q 为假 就是一真一假 求出 a 的范围即可 11 解答 解 设 g x x2 2ax 4 由于关于 x 的不等式 x2 2ax 4 0 对一切 x R 恒成立 所以函数 g x 的图象开口向上且与 x 轴没有交点 故 4a2 16 0 2 a 2 又 函数 f x 3 2a x是增函数 3 2a 1 a 1 又由于 p 或 q 为真 p 且 q 为假 可知 p 和 q 一真一假 1 若 P 真 q 假 则 1 a 2 6 若 p 假 q 真 则 a 2 综上可知 所求实数 a 的取值范围为 1 a 2 或 a 2 点评 本题考查一元二次不等式的解法 四种命题的真假关系 指数函数的单调性与特殊 点 考查计算能力 是基础题 20 12 分 2006 江西 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 函数恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 1 求出 f x 因为函数在 x 与 x 1 时都取得极值 所以得到 f 0 且 f 1 0 联立解得 a 与 b 的值 然后把 a b 的值代入求得 f x 及 f x 然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间 2 根据 1 函数的单调性 由于 x 1 2 恒成立求出函数的最大值值为 f 2 代入求出最大值 然后令 f 2 c2列出不等式 求出 c 的范围即可 解答 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由解得 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 1 1 1 f x 0 0 f x 极大 值 极小 值 12 所以函数 f x 的递增区间是 和 1 递减区间是 1 2 当 x 时 f x c 为极大值 而 f 2 2 c 所以 f 2 2 c 为最大值 要使 f x c2对 x 1 2 恒成立 须且只需 c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力 利用导数研究函数单调性的能力 以及理 解函数恒成立时所取到的条件 21 12 分 2012 西城区二模 已知函数 求的值 若对于任意的 都有 f x c 求实数 c 的取值范围 考点 三角函数的最值 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 三角函数的求值 分析 由条件利用二倍角的余弦公式求出的值 利用三角恒等变换化简 f x 的解析式为 由 x 的范围 求出角的范围 可得 f x 的最大值 可得实数 c 的取值范围 解答 解 函数 5 分 7 分 8 分 9 分 因为 所以 10 分 所以当 即 时 f x 取得最大值 11 分 13 所以 f x c 等价于 故当 f x c 时 c 的取值范围是 13 分 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的定义域 值域 属于中 档题 22 12 分 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 设 bn 证明 数列 bn 是等差数列 求数列 an 的前 n 项和 Sn 考点 数列的求和 等差关系的确定 专题 计算题 证明题 分析 1 由 an 1 2an 2n构造可得即数列 bn 为等差数列 2 由 1 可求 n 从而可得 an n 2n 1 利用错位相减求数列 an 的和 解答 解 由 an 1 2an 2n 两边同除以 2n得 即 bn 1 bn 1 bn 以 1 为首项 1 为公差的等差数列 2 由 1 得 an n 2n 1 Sn 20 2 21 3 22 n 2n 1 2Sn 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n Sn 20 21 22 2n 1 n 2n Sn n 1 2n 1 点评 本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和 构造法求数 列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点 要注意该方法的掌握 14 23 12 分 2012 黑龙江 设函数 f x ex ax 2 求 f x 的单调区间 若 a 1 k 为整数 且当 x 0 时 x k f x x 1 0 求 k 的最大值 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数