2012年高考数学一轮复习 第15讲 导数的应用精品试题 新人教版

用心 爱心 专心1 第十五讲第十五讲 导数的应用导数的应用 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析 因为y x2 81 所以当x 9 时 y 0 所以函 数y x3 81x 234 在 9 上单调递减 在 0 9 上单调递增 所以x 9 是函数 1 3 的极大值点 又因为函数在 0 上只有一个极大值点 所以函数在x 9 处取得最大 值 答案 C 2 2011 荆州质检题 函数f x ax3 3x 1 对于x 1 1 总有f x 0 成立 则a的取值为 A 2 B 4 C 4 D 2 4 解析 f x 3ax2 3 当a 0 时 f x min f 1 a 2 0 a 2 不合题意 当 01 时 f 1 a 4 0 且 f 1 0 解得a 4 综上所述 a 4 故选 C 1 a 2 a 答案 C 3 设f x g x 是 R R 上的可导函数 f x g x 分别为f x g x 的导函数 且满足f x g x f x g x 0 则当a xf b g x B f x g a f a g x C f x g x f b g b D f x g x f b g a 解析 令y f x g x 则y f x g x f x g x 由于f x g x f x g x 0 用心 爱心 专心2 所以y在 R R 上单调递减 又xf b g b 答案 C 4 函数f x ex sinx cosx 在区间上的值域为 1 2 0 2 A B 1 2 1 2e 2 1 2 1 2e 2 C D 1 e 2 1 e 2 解析 f x ex sinx cosx ex cosx sinx excosx 1 2 1 2 当 0 x 时 f x 0 且只有在x 时f x 0 2 2 f x 是上的增函数 0 2 f x 的最大值为f e 2 1 2 2 f x 的最小值为f 0 1 2 f x 在上的值域为 故应选 A 0 2 1 2 1 2e 2 答案 A 5 已知函数f x x2 2x alnx 若函数f x 在 0 1 上单调 则实数a的取值范围 是 A a 0 B a0 或a 4 解析 f x 2x 2 f x 在 0 1 上单调 a x f x 0 或f x 0 在 0 1 上恒成立 即 2x2 2x a 0 或 2x2 2x a 0 在 0 1 上恒成立 所以a 2x2 2x 或a 2x2 2x 在 0 1 上恒成立 记g x 2x2 2x 0 x 1 可知 4 g x 0 故可排除 B 当五角星薄片全部露出水面后 S t 的值不再变 化 故其导数值S t 最终应等于 0 符合上述特征的只有选项 A 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 函数f x x 的单调区间为 9 x 解析 f x 1 9 x2 x2 9 x2 令f x 0 解得 3 x 0 或 0 x 3 故单调减区间为 3 0 和 0 3 用心 爱心 专心4 答案 3 0 0 3 8 若函数f x x3 3x a有三个不同的零点 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 或x 1 f x 在 1 和 1 上递增 在 1 1 上递减 Error 2 a 2 答案 2 a或x0 当 x 时 f x 0 2222 所以f x 的单调递增区间为 和 单调减区间为 2222 当x 时 f x 有极大值 5 4 22 当x 时 f x 有极小值 5 4 22 2 由 1 的分析知y f x 的图象的大致形状及走向如图所示 当 5 4 a1 所以k x2 x 5 在 1 上恒成立 令g x x2 x 5 此函数在 1 上是增函数 所以g x g 1 3 所以k的取值范围是k 3 评析 1 利用导数求单调区间和极值 2 由 1 的结论 问题转化为y f x 和 y a的图象有 3 个不同的交点 利用数形结合的方法求解 3 将问题转化为不等式恒成 立问题 利用分离参数法求解 本题综合考查了利用导数求单调区间 极值以及方程 函数 不等式三者之间的相互 转化 对理性思维能力要求较高 12 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得 最大值 3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 1 当a 0 时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 0 0 0 2 f x 0 f x A 最大值A 所以当x 0 时 f x 取得最大值 所以f 0 b 3 又f 2 16a 3 f 1 7a 3 f 1 f 2 所以当x 2 时 f x 取得最小值 即 16a 3 29 a 2 2 当af 1 所以当x 2 时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 a 2 综上所述a 2 b 3 或a 2 b 29 评析 本题综合运用了求极值 最值的方法确定系数a b 注意对a的讨论和最大值 最小值的确定 13 已知函数f x x2e ax a 0 求函数在 1 2 上的最大值 分析 通过求导先判断单调性再求最值 在求最值时 对a的情况要进行讨论 解 f x x2e ax a 0 f x 2xe ax x2 a e ax e ax ax2 2x 令f x 0 即 e ax ax2 2x 0 得 0 x 2 a f x 在 0 上是减函数 2 a 在上是增函数 0 2 a 当 0 2 时 f x 在 1 2 上是减函数 2 a f x max f 1 e a 当 1 2 即 1 a 2 时 f x 在上是增函数 在上是减函数 2 a 1 2 a 2 a 2 f x max f 4a 2e 2 2 a 当 2 时 即 0 a 1 时 f x 在 1