2008年全国统一考试数学卷（广东文）含详解

数学文科试题 A 第 1 页 共 4 页 绝密绝密 启用前启用前 试卷类型试卷类型 A 2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷广东卷 数学数学 文科文科 参考公式 锥体的体积公式参考公式 锥体的体积公式 V 其中其中 S 是锥体的底面积 是锥体的底面积 h 是锥体的高是锥体的高 1 3 Sh 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求 1 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行 若集合 参加北京奥运会比赛的运动A 员 集合 参加北京奥运会比赛的男运动员 集合 参加北京奥运会比赛的女运动员 则下列B C 关系正确的是 A B C D AB BC ABC BCA 2 已知 0 a 2 复数 i 是虚数单位 则的取值范围是iaz z A 1 B 1 C 1 3 D 1 5 35 3 已知平面向量 且 则 1 2a 2 bm ab 23ab A B C D 2 4 3 6 4 8 5 10 4 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S2 4 S4 20 则该数列的公差 d A 7 B 6 C 3 D 2 5 已知函数 x R 则是 2 1 cos2 sinf xxx f x A 最小正周期为的奇函数B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数D 最小正周期为的偶函数 2 2 6 经过圆的圆心 G 且与直线垂直的直线方程是02 22 yxx0 yx A B C D 10 xy 1 0 xy 10 xy 10 xy 7 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示 A B C 分别是 CHI 三边的中点 得到几何体如图 2 则该几何 体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 数学文科试题 A 第 2 页 共 4 页 E F D I A HG BC E F D A BC 侧视 图 1图 2 B E A B E B B E C B E D 8 命题 若函数 a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则 0 的逆否命题是 logaf xx log 2 a A 若 0 则函数 a 0 a 1 在其定义域内不是减函数log 2 a logaf xx B 若 0 则函数 a 0 a 1 在其定义域内不是减函数log 2 a logaf xx C 若 0 则函数 a 0 a 1 在其定义域内是减函数log 2 a logaf xx D 若 0 则函数 a 0 a 1 在其定义域内是减函数log 2 a logaf xx 9 设 a R 若函数 y ex ax x R 有大于零的极值点 则 A a B a C a D a 1 1 1 e 1 e 10 设 a b R 若 0 则下列不等式中正确的是ab A 0 B a3 b3 0 C b a 0 D 0ba 22 ab 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 11 13 题 11 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了 20 位工人 某天生产该产品的数量 产品数量的分组区间为 45 55 55 65 65 75 由此得到频率分布直方图如图 3 则这 20 名工人 75 85 85 95 中一天生产该产品数量在的人数是 55 75 12 若变量 x y 满足则的最大值是 240 250 0 0 xy xy x y 32zxy 13 阅读图 4 的程序框图 若输入 则输出4m 6n a i 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 二 选择题 14 15 题 考生只能从中选做一题 图 3 0 040 0 035 0 030 0 025 0 020 0 015 0 010 0 005 0 45 55 65 75 85 95 产品数量 频率 组距 开始 1i n 整除 a 是是 输入mn 结束 am i 输出ai 图 4 否否 1ii 数学文科试题 A 第 3 页 共 4 页 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 C1与 C2的极坐标方向 分别为 0 0 0 0 22 22 2 xy bb 如图 6 所示 过点 F 0 b 2 作 x 轴的平行线 与抛 8 2 byx 物线在第一象限的交点为 已知抛物线在点的切线经过椭圆的右GG 焦点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设分别是椭圆的左右端点 试探究在抛物线上是否存在点 A B 使为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说PABP 明理由 不必具体求出这些点的坐标 21 本小题满分 14 分 设数列满足 数列满 n a 12 1 2aa 12 1 2 3 nnn aaa 3 4 n n b 足 b1 1 bn n 2 3 是非零整数 且对任意的正整数 m 和自然数 k 都有 1 11 mmm k bbb 1 求数列和的通项公式 n a n b 2 记 求数列的前 n 项和 Sn nnn cna b 1 2 n n c A y x OB G F F1 图 6 数学文科试题 A 第 5 页 共 4 页 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 文科文科 全解析全解析 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求 1 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行 若集合 A 参加北京奥运会比赛的运动 员 集合 B 参加北京奥运会比赛的男运动员 集合 C 参加北京奥运会比赛的女运动员 则下列关 系正确的是 A AB B BC C A B C D B C A 解析 送分题呀 答案为 D 2 已知 0 a 2 复数 i 是虚数单位 则 z 的取值范围是zai A 1 B 1 C 1 3 D 1 5 35 解析 而 即 选 B 1 2 az20 a511 2 a51 z 3 已知平面向量 且 则 1 2 a 2 bm a b 23ab A B C D 5 10 4 8 3 6 2 4 解析 排除法 横坐标为 选 B 2 6 4 4 记等差数列的前项和为 若 则该数列的公差 n n S 24 4 20SS d A 2 B 3 C 6 D 7 解析 选 B 422 4123SSSdd 5 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数 2 解析 选 D 2222 11 cos4 1 cos2 sin2cossinsin 2 24 x f xxxxxx 6 经过圆的圆心 C 且与直线垂直的直线方程是 22 20 xxy 0 xy A B C D 10 xy 10 xy 10 xy 10 xy 解析 易知点 C 为 而直线与垂直 我们设待求的直线的方程为 将点 C 的坐 1 0 0 xy yxb 标代入马上就能求出参数的值为 故待求的直线的方程为 选 C 或由图形快速排除得b1b 10 xy 正确答案 7 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示 A B C 分 别是三边的中点 得到的几何体如图 2 则GHI 该几何体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 解析 解题时在图 2 的右边放扇墙 心中有墙 可得答案 A 8 命题 若函数在其定义域内是减函数 则 的逆否命题是 log 0 1 a f xx aa log 20 a 数学文科试题 A 第 6 页 共 4 页 A 若 则函数在其定义域内不是减函数log 20 a log 0 1 a f xx aa B 若 则函数在其定义域内不是减函数log 20 a log 0 1 a f xx aa C 若 则函数在其定义域内是减函数log 20 a log 0 1 a f xx aa D 若 则函数在其定义域内是减函数log 20 a log 0 1 a f xx aa 解析 考查逆否命题 易得答案 A 9 设 若函数 有大于零的极值点 则 aR x yeax xR A B C D 1a 1a 1 a e 1 a e 解析 题意即有大于 0 的实根 数形结合令 则两曲线交点在第一象限 结合图像0 x ea 12 x yeya 易得 选 A 11aa 10 设 若 则下列不等式中正确的是 a bR 0ab A B C D 0ba 33 0ab 22 0ab 0ba 解析 利用赋值法 令排除 A B C 选 D 1 0ab 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 11 13 题 11 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的数量 产品数量的分组区间 为 45 55 55 65 65 75 75 85 由此得到频率分布直方图如图 3 则这 20 名工 85 95 人中一天生产该产品数量在的人数是 55 75 解析 故答案为 13 20 0 065 10 13 12 若变量 x y 满足则 z 3x 2y 的最大 值是 240 250 0 0 xy xy x y 解析 画出可行域 利用角点法可得答案 70 13 阅读图 4 的程序框图 若输入 m 4 n 3 则输出 a i 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 解析 要结束程序的运算 就必须通过整除的条件运算 na 而同时也整除 那么的最小值应为和的最小公倍maamn 数 12 即此时有 3i 二 选择题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线的极坐标方程分别为 12 C C cos3 4cos 0 0 2 则曲线 交点的极坐标为 1 C 2 C 解析 我们通过联立解方程组解得 即两曲线的交点为 cos3 0 0 4cos2 2 3 6 2 3 6 15 几何证明选讲选做题 已知 PA 是圆 O 的切点 切点为 A PA 2 AC 是圆 O 的直径 PC 与圆 O 交于 数学文科试题 A 第 7 页 共 4 页 B 点 PB 1 则圆 O 的半径 R 解析 依题意 我们知道 由相似三角形的性质我们有 即PBAPAC 2 PAPB RAB 22 221 3 22 1 PA AB R PB 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知函数的最大值是 1 其图像经过点 sin 0 0 f xAxaxR 1 3 2 M 1 求的解析式 2 已知 且求的值 f x 0 2 312 513 ff f 解析 1 依题意有 则 将点代入得 而 1A sin f xx 1 3 2 M 1 sin 32 0 故 5 36 2 sin cos 2 f xxx 2 依题意有 而 312 cos cos 513 0 2 22 34125 sin1 sin1 551313 3124556 cos coscossinsin 51351365 f 17 本小题满分 12 分 某单位用 2160 万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少 10 层 每层 2000 平方米的楼房 经测 算 如果将楼房建为 x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为 560 48x 单位 元 为了使楼房每平方 米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 解析 设楼房每平方米的平均综合费为 f x 元 则 2160 1000010800 5604856048 2000 f xxx xx 10 xxZ 令 得 2 10800 48fx x 0fx 15x 当 时 当 时 15x 0fx 015x 0fx 因此 当时 f x 取最小值 15x 152000f 答 为了楼房每平方米的平均综合费最少 该楼房应建为 15 层 18 本小题满分 14 分 如图 5 所示 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形 其中 BD 是圆的直径 60 45 ABDBDCADPBAD 1 求线段 PD 的长 2 若 求三棱锥 P ABC 的体积 11PCR 解析 1 BD 是圆的直径 又 90BAD ADPBAD ADDP BAAD 22 2 3 4 sin60 4 3 1 sin30 2 2 R BD AD DPR BABD R 数学文科试题 A 第 8 页 共 4 页 2 在中 Rt BCD cos452CDBDR 又 222222 9211PDCDRRRPC PDCD 90PDA 底面 ABCD PD 2 11321231 sin 60452 22222 24 ABC SAB BCRRR 三棱锥的体积为 PABC 23 113131 3 3344 P ABCABC VSPDRRR 19 本小题满分 13 分 某初级中学共有学生 2000 名 各年级男 女生人数如下表 初一年级初二年级初三年级 女生373xy 男生377370z 已知在全校学生中随机抽取 1 名 抽到初二年级女生的概率是 0 19 1 求 x 的值 2 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生 问应在初三年级抽取多少名 3 已知 y245 z245 求初三年级中女生比男生多的概率 解析 1 0 19 2000 x 380 x 2 初三年级人数为 y z 2000 373 377 380 370 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生 应在初三年级抽取的人数为 名 48 50012 2000 3 设初三年级女生比男生多的事件为 A 初三年级女生男生数记为 y z 由 2 知 且 基本事件空间包含的基本事件有 500yz y zN 245 255 246 254 247 253 255 245 共 11 个 事件 A 包含的基本事件有 251 249 252 248 253 247 254 246 255 245 共 5 个 5 11 P A 20 本小题满分 14 分 设 椭圆方程为 抛物线方程为 如图 6 所示 过点作0b 22 22 1 2 xy bb 2 8 xyb 02 Fb 轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为 已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点 xGG 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点 使得为直角三AB PABP 角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 由得 2 8 xyb 2 1 8 yxb 当得 G 点的坐标为 2yb 4x 4 2 b 1 4 yx 4 1 x y 过点 G 的切线方程为即 2 4ybx 2yxb 令得 点的坐标为 由椭圆方程得点的坐标为 0y 2xb 1 F 2 0 b 1 F 0 b 即 即椭圆和抛物线的方程分别为和 2bb 1b 2 2 1 2 x y 2 8 1 xy 数学文科试题 A 第 9 页 共 4 页 2 过作轴的垂线与抛物线只有一个交点 以为直角的只有一个 AxP PAB Rt ABP 同理 以为直角的只有一个 PBA Rt ABP 若以为直角 设点坐标为 两点的坐标分别为和 APB P 2 1 1 8 xx AB 2 0 2 0 22242 115 2 1 10 8644 PA PBxxxx 关于的二次方程有一大于零的解 有两解 即以为直角的有两个 2 xx APB Rt ABP 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形 ABP 21 本小题满分 14 分 设数列满足 数列满足 n a 1 1a 2 2a 12 1 2 3 nnn aaa 3 4 n n b 是非零整数 且对任意的正整数和自然数 都有 1 1 2 3 n bb n mk 1 11 mmm k bbb 1 求数列和的通项公式 n a n b 2 记 求数列的前项和 1 2 nnn cna b n n cn n S 解析 1 由得 12 1 3 nnn aaa 112 2