2007年高中总复习第一轮数学_第一章_13_充要条件与反证法

用心 爱心 专心 115 号编辑 1 31 3 充要条件与反证法充要条件与反证法 夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 1 充分条件 如果 pq 则 p 叫 q 的充分条件 原命题 或逆否命题 成立 命题中的条件是充分的 也可称 q 是 p 的必要条件 2 2 必要条件 如果 qp 则 p 叫 q 的必要条件 逆命题 或否命题 成立 命题中的条件 为必要的 也可称 q 是 p 的充分条件 3 3 充要条件 如果既有 pq 又有 qp 记作 pq 则 p 叫做 q 的充分必要条件 简称 充要条件 原命题和逆命题 或逆否命题和否命题 都成立 命题中的条件是充要的 4 4 反证法 当直接证明有困难时 常用反证法 二 点击双基二 点击双基 1 条件甲 a 1 是条件乙 a 的 a A 既不充分也不必要条件 B 充要条件 C 充分不必要条件 D 必要不充分条件 解析 解析 a 1 1 a 1 即 a 即 a 1a aaaa a 当 a 时 则 1 aa a 1 即 a a 1 故选 B a 答案 答案 B 2 2006 四川成都检测 设 p x1 q x1 则p 是q 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析解析 qppq 反之 pqqq 选 A 答案答案 A 3 2006 北京西城模拟 设 a b R R 则 a b 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析解析 a b 并不能得到 a b 如 2 5 但 2 b a b 故选 B 答案答案 B 4 若条件 p a 4 q 5 a45 a4 但显然 a 不满足 5 a0 且 b2 4ac0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心 115 号编辑 解析解析 若 a 0 且 b2 4ac0 反之 则不一定成立 如 a 0 b 0 且 c 0 时 也有对任意 x R R 有 ax2 bx c 0 因此应选 A 答案答案 A 实例点拨 例例 1 1 2005 山东高考 文 设集合 A B 是全集 U 的两个子集 则 A B 是 A B U 的 A 充分不必要条件出 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析解析 运用文氏图 A B 时 如图所示 则 A B U 成立 当 A B 时 如图所示 则 A B B B U 成立 即 A B U 成立时 可有 AB 答案答案 A 讲评讲评 本题主要考查集合的运算 借助文氏图可获解 也可举出特殊的集合来求解 例例 2 2 求证 关于 x 的方程 ax2 bx c 0 有一根为 1 的充分必要条件是 a b c 0 证明 1 必要性 即 若 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根 则 a b c 0 x 1 是方程的根 将 x 1 代入方程 得 a 12 b 1 c 0 即 a b c 0 2 充分性 即 若 a b c 0 则 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根 把 x 1 代入方程的左边 得 a 12 b 1 c a b c a b c 0 x 1 是方程的根 综合 1 2 知命题成立 链接 拓展 求 ax2 2x 1 0 a 0 至少有一负根的充要条件 解解 必要性 1 方程有一正根和一负根 等价于 12 440 0 1 0 a a x x a 用心 爱心 专心 115 号编辑 2 方程有两负根 等价于 440 2 001 1 0 a a a a 综上 可知原方程至少有一负根的必要条件是 a 0 或 0 a 1 充分性 由以上推理的可逆性 知当 a 0 时方程有异号两根 当 0 a 1 时 方程有两 负根 故 a 0 或 01 2 1 x x 求证 方程 f x 0 没有负数根 证法一证法一 设存在 x0 0 x0 1 满足 f x0 0 则 且 0 1 0 x a 0 0 2 1 x x 0 x a 所以 0 1 即 x0 2 0 0 2 1 x x 1 2 与假设 x0 0 矛盾 故方程 f x 0 没有负数根 证法二证法二 设存在 x0 0 x0 1 满足 f x0 0 1 若 1 x0 0 则 2 1 0 0 2 1 x x 0 x a 所以 f x0 1 与 f