河北省元氏中学高三数学一轮复习开放探究题的解法

用心 爱心 专心 河北省元氏中学一轮复习开放探究题的解法河北省元氏中学一轮复习开放探究题的解法 高考趋势高考趋势 探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论 或由问题的题干去追溯相 应的条件 要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找 去发现规律性的东西 问题增加了 许多可变的因素 思维指向不明显 解题时往往难于下手 近年来 探索性问题在高考试题中多次出现 主要有以下几类 1 探索条件型问 题 从给定的问题结论出发 追溯结论成立的充分条件 2 探索结论型问题 从给定的题 设条件出发 探求相关的结论 3 探索存在型问题 从假设相关结论存在出发 从而肯 定或否定这种结论是否存在 4 探索综合型问题 从变更题设条件或问题的结论的某个 部分出发 探究问题的相应变化 2008 2009 年数学试卷中继续保持了探索型 开放型 研 究型等题型 形式上也有突破 如只猜不证 只算不写等 填空题中出现了条件 结论完 全开放的设计 题型的创新 带来了新的理念 也必将促进教学的创新 问题的条件不完备 结论不确定是探索性问题的基本特征 从探索性问题的解题过程来看 没有确定的模式 可变性多 对观察 试验 联想 类比 猜想 抽象 概括 特别是对发现问题 分析问 题的能力要求较高 探索性问题的常见解法有 1 从最简单 最特殊的情况出发 有时也可 借助直觉观察或判断 推测出命题的结论 必要时给出严格证明 2 假设结论存在 若 推证无矛盾 则结论确实存在 若推出矛盾 则结论不存在 3 使用等价转化思想 找 出命题成立的充要条件 一一 基础再现基础再现 1 请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y f x 图象关于 y 轴对称 对定义域内任意不同两点 12 xx 都有 12 12 2 2 xx f xf xf 答 2 定义在R上的偶函数 f x满足 2 fxf x 且在 1 0 上是增函数 下面关 于 f x 的判断 f x是周期函数 5 f 0 f x在 1 2上是减函数 f x在 2 1 上是减函数 其中正确的判断是 把你认为正 确的判断都填上 3 ABCA BC 已知的三个顶角 PPAPBPCAB 及平面内一点且P则点与 ABC 的位置关系为 4 4 0909 江西卷 江西卷 若 12121212 0 01aabbaabb 且 则下列代数式中值最大 的是 A 1 122 aba b B 121 2 a abb C 1 22 1 aba b D 1 2 5 已知0 0 xy 且 21 1 xy 若 2 22xymm 恒成立 则实数m的取值范围是 用心 爱心 专心 二二 感悟解答感悟解答 1 答案 答案不唯一 在定义域内图象上凸的偶函数均可 如 2 cos tan 2222 f xxf xxxf xxx 等等 首先由 知 f x 为偶函数 由 知 f x 在定义域内图象上凸 然后在基本初等函数 中去寻找符合这两点的模型函数 评析 本题主要考查函数的图象与性质 问题以开放的形式出现 着重突出对考生数学素 质的要求 2 答案 2 fxf x f x有对称中心 1 0 又 f x为偶函数 可知 f x图象可如图所示 从而由图象可知其中正确的判断是 解析 2 fxf x 2 f xfx 4 242f xfxfx 又 f x 为偶函数 4 2f xf x 4 22f xfxfxf x f x的周期为5 3 答案 由已知得 PAPBPCPBPA 2 PCPA 则则PAC在边上 评析 4 解析 解析 A 22 1212 121 2 1 222 aabb a abb 1 1221 22 11211222121 0aba baba baa baa baabb 1 1221 22 1 aba baba b 12121 1221 12 11 222 1 2 aabbaba baba baba b 1 122 1 2 aba b 5 解 解 214 2 2 4 8 yx xyxy xyxy 而 2 22xymm 对0 0 xy 恒成立 则 2 28mm 解得42m 用心 爱心 专心 三三 范例剖析范例剖析 例 例 2 0 1 cosxx 已知当时不等式 2 1 1 sin0 xxx 恒成立试求 的取值范围 辨析 辨析 设函数baxxxf 求证 xf为奇函数的充要条件是0 22 ba 设常数322 b 且对任意0 1 0 xfx恒成立 求实数 a 的取值范围 例例 2 已知数列 n a的前三项与数列 n b的前三项对应相同 且 2 123 22 aaa 1 28 n n an 对任意的 Nn 都成立 数列 nn bb 1 是等差数列 求数列 n a与 n b的通项公式 是否存在Nk 使得 0 1 kk ba 请说明理由 辨析 辨析 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列 n a的集合 2 1 2 nn n aa a NnMan 其中 M是与n无关的常数 若 n a是等差数列 n S是其前 n 项的和 44 2 20aS 证明 n SW 设数列 n b的通项为Wbnb n n n 25且 求M的取值范围 设数列 n c的各项均为正整数 且 n cW 试证 1nn cc 用心 爱心 专心 例例3 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成三棱锥 D ABC 1 在三棱锥 D ABC 中 求证 BDAC 2 当三棱锥 D ABC 的体积最大时 探究平面 ADC 与平面 ABC 的位置关系 辨析 辨析 已知在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 AB 2 在 A1B1上是否存在点 E 使得 C1E 平面 DD1E 说明理由 四四 巩固训练巩固训练 1 如果函数f x 在区间 D 上是凸函数 那么对于区间 D 内的任意xxxn 12 有 f xf xf x n f xxx n nn1212 若yx sin在区间 0 上是凸函数 那么根据上述结论 在 ABC 中sinsinsinABC 的最大值是 2 设 xf定义域为 D 若满足 1 f x在 D 内是单调函数 2 存在 a bD 使 f x在 bax 值域为 ba 则称 xf为 D 上的闭函数 当 24f xkx 为闭函 数时 k 的范围是 3 设函数 f x的定义域为 R 若存在与 x 无关的正常数 M 使 f xM x 对一切实数 x 均成 立 则称 f x为有界泛函 在函数 4f xx 2 f xx 2 sinf xx 3xf x 3 cosf xxx 奇函数 C B A D E B D C A C1 E D1 B1 DC B A1 A 用心 爱心 专心 f x满足 1212 2 f xf xxx 中 属于有界泛函数的序号为 4 已知函数 xxfln3 x exf cos 3 x exf3 xxfcos3 其中对于 xf定义域内的任意一个自变量 1 x都存在唯一个个自变量 212 xfxfx 使 3 成立的函数序号是 5 如图 四边形 ABCD 为矩形 AD 平面 ABE AE EB BC 2 F为CE上的点 且 BF 平面 ACE 1 求证 AE BE 2 求三棱锥 D AEC 的体积 3 设 M 在线段 AB 上 且满足 AM 2MB 试在线段 CE 上确定一点 N 使得 MN 平面 DAE 6 6 已知数列 an 的前 n 项为和 Sn 点 n S n n 在直线 2 11 2 1 xy 上 数列 bn 满足 11 02 3 12 bNnbbb nnn 且 前 9 项和为 153 求数列