2012年高考数学《立体几何初步》专题 棱柱 棱锥学案

1 第第 1010 课时课时 棱柱棱柱 棱锥棱锥 一 棱柱一 棱柱 1 1 定义 如果一个多面体有两个面互相 而其余每相邻两个面的交线互相 这样的多面体叫做棱柱 两个互相平行的面叫做棱柱的 其余各面叫做棱柱的 两侧面的公共边叫做棱柱的 两个底面所在平面的公垂线段 叫做棱柱的 2 2 性质 侧棱 侧面是 两个底面与平行于底面的截面是对应边互 相平行的 多边形 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形 3 3 分类 按底面边数可分为 按侧棱与底面是否垂直可分为 棱柱 4 4 特殊的四棱柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 5 5 长方体对角线的性质 长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 二 棱锥二 棱锥 1 1 定义 如果一个多面体的一个面是 其余各面是有一个公共顶点的 那么这个多面体叫做棱锥 有公共顶点的各三角形 叫做棱锥的 余下的那个多 边形 叫做棱锥的 两个相邻侧面的公共边 叫做棱锥的 各侧面的公共顶 点 叫做棱锥的 由顶点到底面所在平面的垂线段 叫做棱锥的 2 2 性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面 截面面积与底 面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 3 3 正棱锥的定义 如果一个棱锥的底面是 多边形 且顶点在底面的射影是底面的 这样的棱锥叫做正棱锥 4 4 正棱锥的性质 正棱锥各侧棱 各侧面都是 的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高 它叫做正棱锥的 正棱锥的高 斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形 正棱锥的高 侧棱 侧棱在底面内的射影组成一个 三角形 例例 1 1 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 AB 1 AA1 2 点 E 为 CC1的中点 点 F 为 BD1的中点 证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线 典型例题典型例题 基础过关基础过关 AB CD A1 C1 D1 B1 EF 基础过关基础过关 2 求点 F 到面 BDE 的距离 答案答案 1 略 2 3 3 变式训练变式训练 1 1 三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2a BC AC AA1长均为 a A1在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上 求 AB 与侧面 AC1所成的角 若 O 点恰是 AC 的中点 求此三棱柱的侧面积 答案答案 1 45 2 2 732 2 1 a 例例 2 2 如图 正三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA 与底面 ABC 成 60 角 1 求侧 PAB 与底面 ABC 成角大小 2 若 E 为 PC 中点 求 AE 与 BC 所成的角 3 设 AB 32 求 P 到面 ABC 的距离 解 解 1 32arctan 2 取 PB 中点 F 连结 EF 则 AEF 为所求的角 求得 AEF 20 30 arccos 3 P 到平面 ABC 的距离为32 变式训练变式训练 2 2 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 CA CB CD BD 2 AB AD 2 1 求证 AO 平面 BCD 2 求异面直线 AB 与 CD 所成的角 3 求点 E 到平面 ACD 的距离 答案 答案 1 易证 AO BD AO OC AO 平面 BCD 2 4 2 arccos 3 用等体积法或向量法可求得点 E 到平面 ACD 的距离是 7 21 例例 3 3 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形 AB CD AB 2 CD 1 DAB 45 侧面 PAD 是等腰直角三角形 AP PD 且平面 PAD 平面 ABCD 求证 PA BD 求 PB 与底面 ABCD 所成角的正切值 求直线 PD 与 BC 所成的角 答案答案 1 略 2 5 5 3 60 变式训练变式训练 3 3 在所有棱长均为 a 的正三棱柱 ABC A1B1C1中 D 为 BC 的中点 求证 AD BC1 求二面角 A BC1 D 的大小 P A C B E A B C P D A A1 C1 B1 B C O B E C O D A A C D B C1 B1 A 1 3 求点 C 到平面 ABC1的距离 提示提示 1 证 AD 平面 BB1C1C 2 arc tan6 3 7 21 a 例例 4 4 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 AC BC CC1 1 M 为 AB 的中点 A1D 3DB1 1 求证 平面 CMD 平面 ABB1A1 2 求点 A1到平面 CMD 的距离 3 求 MD 与 B1C1所成角的大小 提示提示 1 转证 CM 平面 A1B 2 过 A1作 A1E DM 易知 A1E 平面 CMD 求得 A1E 1 3 异面直线 MD 与 B1C1所成的角为 6 2 arccos 变式训练变式训练 4 4 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 AB 2 O 为对角线 A1C 的中点 求 OD 与底面 ABCD 所成的角的大小 P 为 AB 上一动点 当 P 在何处时 平面 POD 平面 A1CD 并证明你的结论 答案答案 1 30 2 当 P 为 AB 的中点时 平面 POD 平面 A1CD 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体 因此 在学习时要注意以下三点 1 要准确理解棱柱 棱锥的有关概念 弄清楚直棱柱 正棱锥概念的内涵和外延 2 要从底面 侧面 棱 特别是侧棱 和截面 对角面及平行于底面的截面 四个方面掌握几何 性质 能应用这些性质研究线面关系