2006年全国中考数学压轴题全析全解

2006 年全国中考数学压轴题全析全解年全国中考数学压轴题全析全解 1 2006 重庆 如图 1 所示 一张三角形纸片 ABC ACB 90 AC 8 BC 6 沿斜边 AB 的 中线 CD 把这张纸片剪成和两个三角形 如图 2 所示 将纸片 11 AC D 22 BC D 沿直线 AB 方向平移 点始终在同一直线上 当点于点 11 AC D 2 D B 12 A D D B 1 D B 重合时 停止平移 在平移过程中 与交于点 E 与分别交于 11 C D 2 BC 1 AC 222 C DBC 点 F P 1 当平移到如图 3 所示的位置时 猜想图中的与的数量关系 并证明 11 AC D 1 D E 2 D F 你的猜想 2 设平移距离为 与重叠部分面积为 请写出与的函数 21 D Dx 11 AC D 22 BC D yyx 关系式 以及自变量的取值范围 3 对于 2 中的结论是否存在这样的的值 使重叠部分的面积等于原面积的xABC 1 4 若存在 求 x 的值 若不存在 请说明理由 解解 1 因为 所以 12 D ED F 1122 C DC D 12 CAFD 又因为 CD 是斜边上的中线 90ACB 所以 即DCDADB 112221 C DC DBDAD 所以 所以 1 CA 2 AFDA 所以 22 ADD F 同理 11 BDD E C BDA 图 1 P E F AD1B C1 D2 C2 图 3 C2 D2 C1 BD1A 图 2 A P C QB D 又因为 12 ADBD 所以 21 ADBD 所以 12 D ED F 2 因为在Rt ABC 中 8 6ACBC 所以由勾股定理 得10 AB 即 121122 5ADBDC DC D 又因为 21 D Dx 所以 1122 5D EBDD FADx 所以 21 C FC Ex 在 22 BC D 中 2 C到 2 BD的距离就是ABC 的AB边上的高 为 24 5 设的边上的高为 由探究 得 所以 1 BED 1 BDh 221 BC DBED 5 24 5 5 hx 所以 24 5 25 x h 1 2 1 112 5 225 BED SBDhx 又因为 所以 12 90CC 2 90FPC 又因为 2 CB 43 sin cos 55 BB 所以 2 34 55 PCx PFx 2 2 2 16 225 FC P SPCPFx 而 2212 22 1126 5 22525 BC DBEDFC PABC ySSSSxx 所以 2 1824 05 255 yxxx 3 存在 当时 即 1 4 ABC yS 2 1824 6 255 xx 整理 得解得 2 320250 xx 12 5 5 3 xx 即当或时 重叠部分的面积等于原面积的 5 3 x 5x ABC 1 4 2 2006 浙江金华 如图 平面直角坐标系中 直线AB与轴 轴分别交于A 3 0 xy B 0 两点 点C为线段AB上的一动点 过点C作3 CD 轴于点D x 1 求直线AB的解析式 2 若S梯形 OBCD 求点C的坐标 4 3 3 3 在第一象限内是否存在点P 使得以P O B为顶点的 三角形与 OBA相似 若存在 请求出所有符合条件 的点P的坐标 若不存在 请说明理由 解解 1 直线 AB 解析式为 y x 3 3 3 2 方法一 设点 坐标为 x x 那么 OD x CD x 3 3 3 3 3 3 OBCD S梯形 2 CDCDOB 3 6 3 2 x 由题意 解得 舍去 3 6 3 2 x 3 34 4 2 21 xx 3 3 方法二 2 33 2 1 OBOAS AOBOBCD S梯形 3 34 6 3 ACD S 由 OA OB 得 BAO 30 AD CD 33 CD AD 可得 CD ACD S 2 1 2 2 3 CD 6 3 3 3 AD OD C 3 3 当 OBP Rt 时 如图 若 BOP OBA 则 BOP BAO 30 BP OB 3 3 3 1 P 3 3 若 BPO OBA 则 BPO BAO 30 OP OB 1 3 3 1 2 P3 当 OPB Rt 时 过点 P 作 OP BC 于点 P 如图 此时 PBO OBA BOP BAO 30 过点 P 作 PM OA 于点 M 方法一 在 Rt PBO 中 BP OB OP BP 2 1 2 3 3 2 3 在 Rt P O 中 OPM 30 OM OP PM OM 2 1 4 3 3 4 33 3 P 4 3 4 33 方法二 设 x x 得 OM x PM x 3 3 3 3 3 3 由 BOP BAO 得 POM ABO tan POM tan ABOC OM PM x x3 3 3 OB OA 3 x x 解得 x 此时 3 3 33 4 3 3 P 4 3 4 33 若 POB OBA 如图 则 OBP BAO 30 POM 30 PM OM 3 3 4 3 由对称性也可得到点的坐标 4 P 4 3 4 3 4 P 当 OPB Rt 时 点 P 在 轴上 不符合要求 综合得 符合条件的点有四个 分别是 3 1 1 P 3 3 2 P3 3 P 4 3 4 33 4 P 4 3 4 3 3 2006 山东济南 如图 1 已知中 过点作RtABC 30CAB 5BC A 且 连接交于点 AEAB 15AE BEACP 1 求的长 PA 2 以点为圆心 为半径作 A 试判断与 A 是否相切 并说明理由 AAPBE 3 如图 2 过点作 垂足为 以点为圆心 为半径作 A 以点CCDAE DAr 为圆心 为半径作 C 若和的大小是可变化的 并且在变化过程中保持 A 和CRrR C 相切 且使点在 A 的内部 点在 A 的外部 求和的变化范围 DBrR 解解 AB C P EE AB C P 图 1图 2 1 在中 RtABC 305CABBC 或 210ACBC AEBC APECPB 3 1PA PCAE BC 3 4PA AC 3 1015 42 PA 2 与 A 相切 BE 在中 RtABE 5 3AB 15AE 15 tan3 5 3 AE ABE AB 60ABE 又 30PAB 9090ABEPABAPB 或 与 A 相切 BE 3 因为 所以的变化范围为 55 3ADAB 或r55 3r 当 A 与 C 外切时 所以的变化范围为 10Rr R105 35R 当 A 与 C 内切时 所以的变化范围为 10Rr R15105 3R 4 2006 山东烟台 如图 已知抛物线 L1 y x2 4 的图像与 x 有交于 A C 两点 1 若抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称 求 l2的解析式 2 若点 B 是抛物线 l1上的一动点 B 不与 A C 重合 以 AC 为对角线 A B C 三点 为顶点的平行四边形的第四个顶点定为 D 求证 点 D 在 l2上 3 探索 当点 B 分别位于 l1在 x 轴上 下两部分的图像上时 平行四边形 ABCD 的面积 是否存在最大值和最小值 若存在 判断它是何种特殊平行四边形 并求出它的面积 若 不存在 请说明理由 解解 1 设 l2的解析式为 y a x h 2 k l2与 x 轴的交点 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 l1与 l2关于 x 轴对称 l2过 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 y ax2 4 0 4a 4 得 a 1 l2的解析式为 y x2 4 2 设 B x1 y1 点 B 在 l1上 B x1 x12 4 四边形 ABCD 是平行四边形 A C 关于 O 对称 B D 关于 O 对称 D x1 x12 4 将 D x1 x12 4 的坐标代入 l2 y x2 4 左边 右边 点 D 在 l2上 3 设平行四边形 ABCD 的面积为 S 则 S 2 S ABC AC y1 4 y1 a 当点 B 在 x 轴上方时 y1 0 S 4y1 它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而增大 S 既无最大值也无最小值 b 当点 B 在 x 轴下方时 4 y1 0 S 4y1 它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而减小 当 y1 4 时 S 由最大值 16 但他没有最小值 此时 B 0 4 在 y 轴上 它的对称点 D 也在 y 轴上 AC BD 平行四边形 ABCD 是菱形 此时S最大 16 5 2006 浙江嘉兴 某旅游胜地欲开发一座景观山 从山的侧面进行堪测 迎面山坡线 ABC 由同一平面内的两段抛物线组成 其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点 开口向下 BC 所在的抛物线以 C 为顶点 开口向上 以过山脚 点 C 的水平线为 x 轴 过山顶 点 A 的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图 单位 百米 已知 AB 所在抛物 线的解析式为 BC 所在抛物线的解析式为 且已知8 4 1 2 xy 2 8 4 1 xy 4 mB 1 设是山坡线 AB 上任意一点 用 y 表示 x 并求点 B 的坐标 yxP 2 从山顶开始 沿迎面山坡往山下铺设观景台阶 这种台阶每级的高度为 20 厘米 长 度因坡度的大小而定 但不得小于 20 厘米 每级台阶的两端点在坡面上 见图 分别求出前三级台阶的长度 精确到厘米 这种台阶不能一直铺到山脚 为什么 3 在山坡上的 700 米高度 点 D 处恰好有一小块平地 可以用来建造索道站 索道的 起点选择在山脚水平线上的点 E 处 米 假设索道 DE 可近似地看成1600 OE 一 段以 E 为顶点 开口向上的抛物线 解析式为 试求索道的最大悬空 2 16 28 1 xy 高度 Ox y A B C m D 4 7 上山方向 E 长度 高度 解解 1 是山坡线 AB 上任意一点 yxP 8 4 1 2 xy0 x 8 4 2 yx yx 82 4 4 mB482 m 4 4 B 2 在山坡线 AB 上 yx 82 8 0 A 令 得 令 得8 0 y0 0 x998 7 002 0 8 1 y08944 0 002 0 2 1 x 第一级台阶的长度为 百米 厘米 08944 0 01 xx894 同理 令 可得 002 0 28 2 y002 0 38 3 y12649 0 2 x15492 0 3 x 第二级台阶的长度为 百米 厘米 03705 0 12 xx371 第三级台阶的长度为 百米 厘米 02843 0 23 xx284 取点 又取 则 4 4 B002 0 4 y99900 3 998 3 2 x 002 0 001 0 99900 3 4 这种台阶不能从山顶一直铺到点 B 从而就不能一直铺到山脚 注 事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到 700 米高度 共 500 级 从 100 米高度到 700 米高度都不能铺设这种台阶 解题时取点具有开放性 另解 连接任意一段台阶的两端点 P Q 如图 这种台阶的长度不小于它的高度 45PQR 当其中有一级台阶的长大于它的高时 45PQR 在题设图中 作于 HOABH 则 又第一级台阶的长大于它的高 45ABH P Q R 这种台阶不能从山顶一直铺到点 B 从而就不能一直铺到山脚 3 7 2 D 0 16 E 4 4 B 0 8 C 由图可知 只有当索道在 BC 上方时 索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在 BC 上方时 悬空高度 2 16 28 1 xy 2 8 4 1 x 96403 14 1 2 xx 3 8 3 20 14 3 2 x 当时 3 20 x 3 8 max y 索道的最大悬空高度为米 3 800 6 2006 山东潍坊 已知二次函数图象的顶点在原点 对称轴为轴 一次函数Oy 的图象与二次函数的图象交于两点 在的左侧 且点坐标为1ykx AB ABA 平行于轴的直线 过点 4 4 xl 01 1 求一次函数与二次函数的解析式 2 判断以线段为直径的圆与直线 的位置关系 并给出证明 ABl 3 把二次函数的图象向右平移个单位 再向下平移 个单位 二次函数的图象2t 0t 与轴交于两点 一次函数图象交轴于点 当 为何值时 过三xMN yFtFMN 点的圆的面积最小 最小面积是多少 解解 1 把代入得 4 4 A 或1ykx 3 4 k 一次函数的解析式为 3 1 4 yx 二次函数图象的顶点在原点 对称轴为轴 y 设二次函数解析式为 2 yax Ox y A B C4 E D 4 7 上山方向 y xO l 把代入得 4 4 A 或 2 yax 1 4 a 二次函数解析式为 2 1 4 yx 2 由 2 3 1 4 1 4 yx yx 解得或 4 4 x y 1 1 4 x y 1 1 4 B 或 过点分别作直线 的垂线 垂足为 AB或lAB 或 则 15 4 151 44 AABB 或 直角梯形的中位线长为 AA B B 5 5 25 4 28 过作垂直于直线于点 则 BBH AA H5BHA B 115 4 44 AH 2 2 1525 5 44 AB 的长等于中点到直线 的距离的 2 倍 ABABl 以为直径的圆与直线 相切 ABl 3 平移后二次函数解析式为 2 2 yxt 令 得 0y 2 2 0 xt 1 2xt 2 2xt 过三点的圆的圆心一定在直线上 点为定点 FMN或或2x F 要使圆面积最小 圆半径应等于点到直线的距离 F2x 此时 半径为 2 面积为 4 设圆心为中点为 连 则 CMN或ECECM或1CE 在三角形中 CEM 2 213ME 而 2 3MN 21 2MNxxt 3t 当时 过三点的圆面积最小 最小面积为 3t FMN或或4 7 2006 江西 问题背景问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中 得到了如下两个命题 如图 1 在正三角形 ABC 中 M N 分别是 AC AB 上的点 BM 与 CN 相交于 点 O 若 BON 60 则 BM CN 如图 2 在正方形 ABCD 中 M N 分别是 CD AD 上的点 BM 与 CN 相交于点 O 若 BON 90 则 BM CN 然后运用类比的思想提出了如下命题 如图 3 在正五边形 ABCDE 中 M N 分别是 CD DE 上的点 BM 与 CN 相交于 点 O 若 BON 108 则 BM CN 任务要求任务要求 1 请你从 三个命题中选择一个选择一个进行证明 说明 选 做对得 4 分 选 做对得 3 分 选 做对得 5 分 2 请你继续完成下列探索 请在图 3 中画出一条与 CN 相等的线段 DH 使点 H 在正五边形的边上 且与 CN 相 交所成的一个角是 108 这样的线段有几条 不必写出画法 不要求证明 如图 4 在正五边形 ABCDE 中 M N 分别是 DE EA 上的点 BM 与 CN 相交于 点 O 若 BON 108 请问结论 BM CN 是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 解解 1 以下答案供参考 1 如选命题 证明 在图 1 中 BON 60 1 2 60 B O C M N A 图 1 A B C M N O D 图 2 图 4 N M O E D CB A 3 2 60 1 3 又 BC CA BCM CAN 60 BCM CAN BM CN 2 如选命题 证明 在图 2 中 BON 90 1 2 90 3 2 90 1 3 又 BC CD BCM CDN 90 BCM CDN BM CN 3 如选命题 证明 在图 3 中 BON 108 1 2 108 2 3 108 1 3 又 BC CD BCM CDN 108 BCM CDN BM CN 2 答 当 BON 时结论 BM CN 成立 0 n 2 180 n 答当 BON 108 时 BM CN 还成立 证明 如图 5 连结 BD CE 在 BCI 和 CDE 中 BC CD BCD CDE 108 CD DE BCD CDE BD CE BDC CED DBC CEN CDE DEC 108 BDM CEN OBC ECD 108 OCB OCD 108 MBC NCD 又 DBC ECD 36 DBM ECN BDM CNE BM CN 8 2006 吉林长春 如图 在平面直角坐标系中 两个函数的图象交6 2 1 xyxy 于点 A 动点 P 从点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动 作 PQ x 轴交直线 BC 于点 Q 以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN 设它与 OAB 重叠部分的面积为 S 1 求点 A 的坐标 2 试求出点 P 在线段 OA 上运动时 S 与运动时间 t 秒 的关系式 3 在 2 的条件下 S 是否有最大值 若有 求出 t 为何值时 S 有最大值 并求出最大值 若没有 请说明 理由 4 若点 P 经过点 A 后继续按原方向 原速度运动 当 正方形 PQMN 与 OAB 重叠部分面积最大时 运动时间 t 满足的条件是 解解 1 由 可得 6 2 1 xy xy 4 4 y x A 4 4 2 点 P 在 y x 上 OP t 则点 P 坐标为 2 2 2 2 tt 点 Q 的纵坐标为 并且点 Q 在上 t 2 2 6 2 1 xy txxt212 6 2 1 2 2 即点 Q 坐标为 2 2 212 tt tPQ 2 23 12 当时 tt 2 2 2 23 12 23 t 当 时230 t 26 2 3 2 23 12 2 2 2 ttttS 当点 P 到达 A 点时 24 t 当时 2423 t 2 2 23 12 tS 144236 2 9 2 tt 3 有最大值 最大值应在中 230 t 12 22 2 3 12 824 2 3 26 2 3 222 tttttS 当时 S 的最大值为 12 22 t 4 212 t 9 2006 湖南常德 把两块全等的直角三角形和叠放在一起 使三角板ABCDEF 的锐角顶点与三角板的斜边中点重合 其中 DEFDABCO90ABCDEF 把三角板固定不动 让三角板绕点旋转 45CF 4ABDE ABCDEFO 设射线与射线相交于点 射线与线段相交于点 DEABPDFBCQ 1 如图 9 当射线经过点 即点与点重合时 易证 此DFBQBAPDCDQ 时 AP CQ 2 将三角板由图 1 所示的位置绕点沿逆时针方向旋转 设旋转角为 其中DEFO 问的值是否改变 说明你的理由 090 AP CQ 3 在 2 的条件下 设 两块三角板重叠面积为 求与的函数关系CQx yyx 式 解解 1 8 2 的值不会改变 AP CQ 理由如下 在与中 APD CDQ 45AC 18045 45 90APDaa 90CDQa 即APDCDQ APDCDQ APCD ADCQ 2 2 1 8 2 AP CQAD CDADAC AA B Q C F E A P 图 1图 3图 3 3 情形1 当时 即 此时两三角板重叠部分为四045a 24CQ 24x 边形 过作于 于 DPBQDDGAP GDNBC N 2DGDN 由 2 知 得8AP CQ A 8 AP x 于是 111 222 yAB ACCQ DNAP DG AAA 8 8 24 xx x 情形2 当时 时 即 此时两三角板重叠部分4590a 02CQ 02x 为 DMQ 由于 易证 8 AP x 8 4PB x PBMDNM 即解得 BMPB MNDN 22 BMPB BM 284 24 PBx BM PBx 84 44 4 x MQBMCQx x 于是 184 4 02 24 x yMQ DNxx x A 综上所述 当时 24x 8 8yx x 当时 02x 84 4 4 x yx x 2 48 4 y xx x 或 法二 连结 并过作于点 在与中 BDDDNBC NDBQ MCD 45DBQMCD 45DQBQCBQDCQDCMDQQDCMDC DBQMCD MCDB CDBQ 8 4 MC x 2 848 44 xx MQMCCDx xx 2 148 02 24 xx yDN MQx x A 法三 过作于点 在中 DDNBC NRtDNQ 222 DQDNNQ 2 4 2 x 2 48xx 于是在与中BDQ DMQ 45DBQMDQ DMQDBMBDM 45BDM BDQ BDQDMQ BQDQ DQMQ 即 4xDQ DQMQ 22 48 44 DQxx MQ xx 2 148 02 24 xx yDN MQx x A 10 2006 湖北宜昌 如图 点 O 是坐标原点 点 A n 0 是 x 轴上一动点 n 0 以 AO 为一边作矩形 AOBC 点 C 在第二象限 且 OB 2OA 矩形 AOBC 绕点 A 逆时针旋转 90o得矩形 AGDE 过点 A 的直线 y kx m 交 y 轴于点 F FB FA 抛物线 y ax2 bx c 过点 E F G 且和直线 AF 交于点 H 过点 H 作 HM x 轴 垂足为点 M 1 求 k 的值 2 点 A 位置改变时 AMH 的面积和矩形 AOBC 的面积的比值是否改变 说明你的理 由 解解 1 根据题意得到 E 3n 0 G n n 当 x 0 时 y kx m m 点 F 坐标为 0 m Rt AOF 中 AF2 m2 n2 FB AF m2 n2 2n m 2 y xO M H G F E D C B A 化简得 m 0 75n 对于 y kx m 当 x n 时 y 0 0 kn 0 75n k 0 75 2 抛物线 y ax2 bx c 过点 E F G c cnbann cnban 75 0 390 2 2 解得 a b c 0 75n n4 1 2 1 抛物线为 y x2 x 0 75n n4 1 2 1 解方程组 nxy nxx n y 75 0 75 0 75 0 2 1 4 1 2 得 x1 5n y1 3n x2 0 y2 0 75n H 坐标是 5n 3n HM 3n AM n 5n 4n AMH 的面积 0 5 HM AM 6n2 而矩形 AOBC 的面积 2n2 AMH 的面积 矩形 AOBC 的面积 3 1 不随着点 A 的 位置的改变而改变 11 2006 北京海淀 如图 已知 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E 连结 AD BD OC OD 且 OD 5 1 若 求 CD 的长 sin BAD 3 5 2 若 ADO EDO 4 1 求扇形 OAC 阴影部分 的面积 结果保留 解解 1 因为 AB 是 O 的直径 OD 5 所以 ADB 90 AB 10 在 Rt ABD 中 sin BAD BD AB 又 所以 所以sin BAD 3 5 BD 10 3 5 BD 6 ADABBD 2222 1068 因为 ADB 90 AB CD 所以DEABADBDCEDE 所以DE 1086 所以DE 24 5 所以CDDE 2 48 5 2 因为 AB 是 O 的直径 AB CD 所以CBBDACAD 所以 BAD CDB AOC AOD 因为 AO DO 所以 BAD ADO 所以 CDB ADO 设 ADO 4x 则 CDB 4x 由 ADO EDO 4 1 则 EDO x 因为 ADO EDO EDB 90 所以4490 xxx 所以 x 10 所以 AOD 180 OAD ADO 100 所以 AOC AOD 100 S OAC扇形 100 360 5 125 18 2 12 2006 湖南长沙 如图 1 已知直线与抛物线交于两 1 2 yx 2 1 6 4 yx AB或 点 1 求两点的坐标 AB或 2 求线段的垂直平分线的解析式 AB 3 如图 2 取与线段等长的一根橡皮筋 端点分别固定在两处 用铅笔拉着ABAB或 这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动 动点将与构成无数个三角PABPAB或 形 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形 如果存在 求出最大面积 并指出此 时点的坐标 如果不存在 请简要说明理由 P 解解 1 解 依题意得解之得 2 1 6 4 1 2 yx yx 12 12 64 32 xx yy y xO y xO P A 图 2图 1 B B A 63 4 2 AB 或或或 2 作的垂直平分线交轴 轴于两点 交于 如图 1 ABxyCD或ABM 由 1 可知 3 52 5OAOB 5 5AB 15 22 OMABOB 过作轴 为垂足BBEx E 由 得 BEOOCM 5 4 OCOM OC OBOE 或 同理 555 00 242 ODCD 或或或或 设的解析