2012年高考数学压轴题精炼五

用心 爱心 专心1 20122012 高考数学压轴题精炼五高考数学压轴题精炼五 1 本小题满分 14 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是 椭圆外的动点 满足 2 1 aQF 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 上 并 且满足 0 0 22 TFTFPT 设x为点 P 的横坐标 证明x a c aPF 1 求点 T 的轨迹 C 的方程 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 2 b若存在 求 F1MF2 的正切值 若不存在 请说明理由 本小题主要考查平面向量的概率 椭圆的定义 标准方程和有关性质 轨迹的求法和应用 以及综合运用数学知识解决问题的能力 满分 14 分 证法一 设点 P 的坐标为 yx 由 P yx在椭圆上 得 2 2 2 2 2222 1 x a c a x a b bcxycxPF 由0 acx a c aax知 所以 1 x a c aPF 3 分 证法二 设点 P 的坐标为 yx记 2211 rPFrPF 则 22 2 22 1 ycxrycxr 由 4 2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr 得 证法三 设点 P 的坐标为 yx椭圆的左准线方程为 0 x a c a 由椭圆第二定义得 a c c a x PF 2 1 即 2 1 x a c a c a x a c PF 用心 爱心 专心2 由0 acx a c aax知 所以 1 x a c aPF 3 分 解法一 设点 T 的坐标为 yx 当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点 在 QF1F2中 aQFOT 2 1 1 所以有 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 222 ayx 7 分 解法二 设点 T 的坐标为 yx 当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点 设点 Q 的坐标为 yx 则 2 2 y y cx x 因此 2 2 yy cxx 由aQF2 1 得 4 222 aycx 将 代入 可得 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 222 ayx 7 分 解法一 C 上存在点 M 00 y x 使 S 2 b的充要条件是 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得ay 0 由 得 2 0 c b y 所以 当 c b a 2 时 存在点 M 使 S 2 b 当 c b a 2 时 不存在满足条件的点 M 11 分 用心 爱心 专心3 当 c b a 2 时 002001 yxcMFyxcMF 由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF 212121 cos MFFMFMFMFMF 2 2121 sin 2 1 bMFFMFMFS 得 2tan 21 MFF 解法二 C 上存在点 M 00 y x 使 S 2 b的充要条件是 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得 2 0 c b y 上式代入 得 0 22 2 4 22 0 c b a c b a c b ax 于是 当 c b a 2 时 存在点 M 使 S 2 b 当 c b a 2 时 不存在满足条件的点 M 11 分 当 c b a 2 时 记 cx y kk cx y kk MFMF 0 0 2 0 0 1 21 由 2 21 aFF 知 90 21MF F 所以 2 1 tan 21 21 21 kk kk MFF 14 分 2 本小题满分 12 分 函数 xfy 在区间 0 内可导 导函数 x f 是减函数 且 0 x f 设 mkxyx 0 0 是曲线 xfy 在点 00 xfx 得的切线方程 并设函数 mkxxg 用 0 x 0 xf 0 x f 表示 m 证明 当 0 0 xfxgx 时 若关于x的不等式 0 2 3 1 3 2 2 在xbaxx上恒成立 其中 a b 为实数 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系 本小题考查导数概念的几何意义 函数极值 最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判 用心 爱心 专心4 断函数之间的大小关系 考查学生的学习能力 抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决 问题的能力 满分 12 分 解 000 xfxxfm 2 分 证明 令 0 00 xhxfxfxhxfxgxh则 因为 x f 递减 所以 x h 递增 因此 当0 0 xhxx时 当0 0 xhxx时 所以 0 x是 xh唯一的极值点 且是极小值点 可知 xh的 最小值为 0 因此 0 xh即 xfxg 6 分 解法一 10 b 0 a是不等式成立的必要条件 以下讨论设此条件成立 0 1 1 22 baxxbaxx即对任意 0 x成立的充要条件是 1 2 2 1 ba 另一方面 由于 3 2 2 3 xxf 满足前述题设中关于函数 xfy 的条件 利用 II 的 结果可知 3 2 2 3 xbax 的充要条件是 过点 0 b 与曲线3 2 2 3 xy 相切的直线的斜率大 于a 该切线的方程为 2 2 1 bxby 于是 3 2 2 3 xbax 的充要条件是 2 2 1 ba 10 分 综上 不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx 对任意 0 x成立的充要条件是 1 2 2 2 1 2 1 bab 显然 存在 a b 使 式成立的充要条件是 不等式 1 2 2 2 1 2 1 bb 有解 解不等式 得 4 22 4 22 b 因此 式即为 b 的取值范围 式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 12 分 解法二 0 10 ab是不等式成立的必要条件 以下讨论设此条件成立 0 1 1 22 baxxbaxx即对任意 0 x成立的充要条件是 用心 爱心 专心5 1 2 2 1 ba 8 分 令 3 2 2 3 xbaxx 于是 3 2 2 3 xbax 对任意 0 x成立的充要条件是 0 x 由 0 3 3 1 axxax得 当 3 0 ax时 0 x 当 3 ax时 0 x 所以 当 3 ax时 x 取 最小值 因此0 x 成立的充要条件是0 3 a 即 2 2 1 ba 10 分 综上 不等式 3 2 2 2 3 1xbaxx 对任意 0 x成立的充要条件是 1 2 2 2 1 2 1 bab 显然 存在 a b 使 式成立的充要条件是 不等式 2 1 2 1 1 2 2 bb 有解 解不等式 得 4 22 4 22 b 因此 式即为 b 的取值范围 式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 12 分 3 本小题满分 12 分 已知数列 n a的首项 1 5 a 前n项和为 n S 且 1 5 nn SSnnN I 证明数列 1 n a 是等比数列 II 令 2 12 n n f xa xa xa x 求函数 f x在点1x 处的导数 1 f 并比较 2 1 f 与 2 2313nn 的大小 解 由已知 1 5 nn SSnnN 可得 1 2 24 nn nSSn 两式相减得 11 21 nnnn SSSS 即 1 21 nn aa 从而 1 121 nn aa 当1n 时 21 21 5SS 所以 211 26aaa 又 1 5a 所以 2 11a 从而 21 121aa 故总有 1 12 1 nn aa nN 又 11 5 10aa 从而 1 1 2 1 n n a a 即数列 1 n a 是 等比数列 II 由 I 知3 21 n n a 因为 2 12 n n f xa xa xa x 所以 1 12 2 n n fxaa xna x 用心 爱心 专心6 从而 12 1 2 n faana 2 3 2 12 3 21 3 21 n n 2 3 22 22nn 12n 1 1 31 26 2 n n n n 由上 2 2 1 2313121 2nfnnn 2 12 21nn 121 2121 21 n nnn 12 1 2 21 n nn 当1n 时 式 0 所以 2 2 1 2313fnn 当2n 时 式 120 所以 2 2 1 2313fnn 当3n 时 10n 又 011 21 1 n nnn nnnn CCCC 2221nn 所以 12210 n nn 即 0 从而2 1 f 2 2313nn 4 本小题满分 14 分 已知动圆过定点 0 2 p 且与直线 2 p x 相切 其中0p I 求动圆圆心C的轨迹的方程 II 设 A B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点 直线OA和OB的倾斜角分别为 和 当 变化且 为定值 0 时 证明直线AB恒过定点 并求出该 定点的坐标 解 I 如图 设M为动圆圆心 0 2 p 为记为F 过点M作直线 2 p x 的垂线 垂足为N 由题意知 MFMN 即动点M到定点F与定直线 2 p x 的距离相等 由抛物线的定义知 点M的轨迹为抛物线 其中 0 2 p F 为焦点 2 p x 为准线 所 以轨迹方程为 2 2 0 ypx P II 如图 设 1122 A x yB xy 由题意得 12 xx 否则 且 12 0 x x 所以直线AB的斜率存在 设其方程为ykxb 显然 22 12 12 22 yy xx pp 将 y A x o B 0 2 p F M N 2 p x 用心 爱心 专心7 ykxb 与 2 2 0 ypx P 联立消去x 得 2 220kypypb 由韦达定理知 1212 22 ppb yyyy kk 1 当 2 时 即 2 时 tantan1 所以 12 1212 12 1 0 yy x xy y xx 22 12 12 2 0 4 y y y y p 所以 2 12 4y yp 由 知 2 2 4 pb p k 所以2 bpk 因此直线AB的方程 可表示为2ykxPk 即 2 0k xPy 所以直线AB恒过定点 2 0p 2 当 2 时 由 得tantan tantan 1tantan 12 2 12 2 4 p yy y yp 将 式代入上式整理化简可得 2 tan 2 p bpk 所以 2 2 tan p bpk 此时 直线AB的方程可表示为ykx 2 2 tan p pk 即 2 2 0 tan p k xpy 所以直线AB恒过定点 2 2 tan p p 所以由 1 2 知 当 2 时 直线AB恒过定点 2 0p 当 2 时直线AB恒 过定点 2 2 tan p p 5 本小题满分 12 分 已知椭圆 C1的方程为1 4 2 2 y x 双曲线 C2的左 右焦点分别为 C1的左 右顶点 而 C2的左 右顶点分别是 C1的左 右焦点 求双曲线 C2的方程 若直线2 kxyl与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点 且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足6 OBOA 其中 O 为原点 求 k 的取值范围 解 设双曲线 C2的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 则 1 314 22222 bcbaa得再由 用心 爱心 专心8 故 C2的方程为 1 3 2 2 y x II 将 0 428 41 1 4 2 222 2 kxxky x kxy得代入 由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 0 14 16 41 16 28 2222 1 kkk 即 4 1 2 k 0926 31 1 3 2 222 2 kxxky x kxy得代入将 由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A B 得 1 3 1 0 1 36 31 36 26 031 22 222 2 2 kk kkk k 且即 2 2 66 31 9 31 26 22 BABABABA BABA BABABBAA kxkxxxyyxx yyxxOBOA k xx k k xxyxByxA 而得由 则设 13 73 2 31 26 2 31 9 1 2 2 1 2 2 22 2 2 k k k k k k k xxkxxk BABA 0 13 1315 6 13 73 2 2 2 2 k k k k 即于是解此不等式得 3 1 15 13 22 kk或 由 得 1 15 13 3 1 4 1 22 kk或 故 k 的取值范围为 1 15 13 3 3 2 1 2 1 3 3 15 13 1 6 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心9 数列 an 满足 1 2 1 1 1 1 2 11 na nn aa n nn 且 用数学归纳法证明 2 2 nan 已知不等式 1 0 1ln 2 neaxxx n 证明成立对 其中无理数 e 2 71828 证明 1 当 n 2 时 22 2 a 不等式成立 2 假设当 2 kkn时不等式成立 即 2 2 kak 那么2 2 1 1 1 1 1 k kk a kk a 这就是说 当1 kn时不等式成立 根据 1 2 可知 22 nak对所有成立 证法一 由递推公式及 的结论有 1 2 11 1 2 1 1 1 22 1 na nn a nn a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a nn aln 2 11 1ln ln 2 1 2 11 ln 2n n nn a 故 n nn nn aa 2 1 1 1 lnln 1 1 n 上式从 1 到1 n求和可得 12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 32 1 21 1 lnln n n nn aa 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 1 1 3 1 2 1 2 1 1 n n nnn 即 1 2ln 2 neaa nn 故 证法二 由数学归纳法易证2 1 2 nnn n 对成立 故 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n nn a nn a nn a n n nn 用心 爱心 专心10 令 2 1 1 1 2 1 1 nb nn bnab nnnn 则 取对数并利用已知不等式得 nn b nn bln 1 1 1ln ln 1 2 1 1 ln n nn bn 上式从 2 到 n 求和得 1 1 32 1 21 1 lnln 21 nn bbn 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 nn 因 2 3 3ln1ln 3 1 3ln1 1122 neebbab nn 故 故1 2 13 22 2 2 1 2 1 neaeaeaneea nn 对一切故又显然成立 7 本小题满分 12 分 已知数列 且满足的各项都是正数 n a 4 2 1 1 10 N