2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题一 函数第三节 函数的单调性、最值和极值

用心 爱心 专心1 函数的单调性 最值和极值函数的单调性 最值和极值 函数的单调性 最 极 值是高考的热点 新课程中函数的单调性 最 极 值的要 求提高了 可能更会成为高考的热点 难点 在高考试题中 函数的单调性 极 最 值 往往是以某个初等函数为载体出现 综合题往往与不等式 数列等联系起来 处理方法除 了定义法之外 一般采用导数法 难度值控制在 0 3 0 6 之间 考试要求 了解函数单调性的概念 掌握判断简单函数的单调性的方法 了解函 数单调性与导数的关系 能求函数的最大 小 值 掌握用导数研究函数的单调性 题型一题型一 已知函数的单调性 最 极 值 求参变量的值已知函数的单调性 最 极 值 求参变量的值 例例 1 1 设函数 axxaxxf2 2 36 23 1 若的两个极值点为且 求实数的值 xf 21 x x1 21 xxa 2 是否存在实数 使得是上的单调函数 若存在 求出的值 若不a xf a 存在 说明理由 点拨点拨 因为是三次函数 所以只要 利用 极值点的根 转化为一元二次0 xf 方程根的问题 利用在上单调 0 0 转化为判断一元二次 xf x f 函数图像能否在轴上方的问题 x 解解 2 186 2 2fxxaxa 1 由已知有 从而 所以 12 0fxfx 12 2 18 1 a x x 9a 2 由 得总有两个不等的实根 22 36 2 4 18 236 4 0aaa 0fx 不恒大于零 所以不存在实数 使得是上的单调函数 f xa f xR 易错点易错点 三次函数的极值点与原函数的导数关系不清 21 x x xf 含参变量的问题是逆向思维 学生易出现错误 a 学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题 xf 0 0 fx 变式与引申变式与引申 1 1 2011 2011 年高考江西卷理年高考江西卷理 设 f xxxax 1 若在上存在单调递增区间 求的取值范围 f x a 2 当时 在上的最小值为 求在该区间上的最大值 a f x f x 题型二 已知最 极 值或其所在区域 通过单调性分析参变量的范围题型二 已知最 极 值或其所在区域 通过单调性分析参变量的范围 例例 2 2 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb ab R 1 若函数的图像过原点 且在原点处的切线斜率是 3 求a b的值 f x 用心 爱心 专心2 2 若函数在区间 1 1 上至少有一个极值点 求a的取值范围 f x 点拔 点拔 第 1 问利用已知条件可得 求出a b的值 第 2 问利用 00 0 0f f 极值点 的根转化为一元二次方程根的分布问题 0fx 解析 1 由函数的图像过原点 得 f x0b 又 在原点处的切线斜率是 2 32 1 2 fxxa xa a f x3 则 所以 或 2 3a a 3a 1a 2 法一 由 得 又在上至少有一个极值 0fx 12 2 3 a xax f x 1 1 点 即或解得或 11 2 3 a a a 2 11 3 2 3 a a a 11 1 2 a a 51 1 2 a a 所以的取值范围是 a 11 51 22 法二 法二 由题意 2 32 1 2 fxxa xa a 必有一根在 1 1 上 0fx 故 即 解得 1 1 0ff 22 54 1 0aaa 51a 或 则 当 舍去 当时 经检验符合题意 1 0 f1a 1 1 0af 1a 同理 则 经检验 均不符合题意 舍去 1 0 f15a 或 有两个不同的根在 1 1 上 0fx 故解得 1 0 1 0 0 f f 11 11 22 aa 或 所以 所以 a的取值范围 11 51 22 易错点 易错点 解不等式出错 第 2 问的解法一 不易分析 第 2 问的 0fx 用心 爱心 专心3 解法二 分类讨论 不易讨论完整 变式与引申变式与引申 2 2 将 2 中改为 在区间 1 1 上有两个极值点 或改为 f x 存在极值点 但在区间 1 1 上没有极值点 如何求的取值范围 f x a 题型三题型三 函数的单调性 最 极 值与不等式结合的问题函数的单调性 最 极 值与不等式结合的问题 例例 3 3 设函数 已知和为的极值点 2132 x f xx eaxbx 2x 1x f x 1 求和的值 ab 2 讨论的单调性 f x 3 设 试比较与的大小 32 2 3 g xxx f x g x 点拔点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数 分析第 1 问先由极值点转化 为方程的根 再用待定系数法 第 3 问中比较两个函数与的大小 可构造 f x g x 新函数 再通过分析函数的单调性来讨论与 0 的大小关系 F xf xg x F x F x 解解 1 因为 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又和为的极值点 所以 2x 1x f x 2 1 0ff 因此解方程组得 620 3320 ab ab 1 3 a 1b 2 因为 所以 1 3 a 1b 1 2 e1 x fxx x 令 解得 0fx 1 2x 2 0 x 3 1x 因为当时 当时 2 x 01 0fx 2 0 1 x 0fx 所以在和上是单调递增的 在和上是单调递减的 f x 2 0 1 2 01 3 由 1 可知 故 2132 1 e 3 x f xxxx 21321 e e xx F xf xg xxxxx 令 则 令 得 1 exh xx 1 e1 x h x 0h x 1x 因为时 所以在上单调递减 1x 0h x h x 1x 故时 1x 1 0h xh 因为时 所以在上单调递增 1x 0h x h x 1x 用心 爱心 专心4 故时 1x 1 0h xh 所以对任意 恒有 又 因此 x 0h x 2 0 x 0F xf xg x 故对任意 恒有 x f xg x 习题习题 1 1 3 3 1 已知 函数 9 11 90 log 3 xx xx xf 若a b c均不相等 且 cfbfaf 则cba 的取值范围是 A 9 0 B 9 2 C 11 9 D 11 2 2 已知函数的定义域均为非负实数集 对任意的 规定 xgxf与0 x xgxf 的最大值为是若 52 3 min xgxfxxgxxfxgxf 3 已知 函数 32 331 f xxaxx 1 设 求的单调区间 2a f x 2 设在区间 2 3 上不单调 求的取值范围 f xa 4 已知函数 f xx ln g xax aR I 若曲线与曲线相交 且在交点处有相同的切线 求a的值及该切 yf x yg x 用心 爱心 专心5 线的方程 II 设函数 当 存在最小值时 求其最小值的解析式 h xf xg x h x a III 对 2 中的 证明 当时 1 a 0 a a 5 设函数 其中为常数 xbxxfln 1 2 b 1 当时 判断函数在定义域上的单调性 2 1 b f x 2 时 求的极值点 0b f x 3 求证对任意不小于 3 的正整数 不等式都成立 n 2 1 ln 1ln n nn 答案答案 变式与引申变式与引申 2 2 解 解 若在区间 1 1 上有两个极值点 f x 用心 爱心 专心6 则解得 1 0 1 0 0 f f 11 11 22 aa 或 同理 存在极值点 但在区间 1 1 上有没有极值点 则 f x51aa 或 变式与引申变式与引申 3 3 解解 与原例题 3 的方法相同 习题习题 1 1 3 3 1 1 C C 本小题主要考查对数函数的性质 函数的图像 考生在做本小题时极易忽视 ba 的关系 解 解 因为 所以 所以 舍去 或 根据图像可 bfaf balglg ba 1 b a 以判断 9 c0 由已知得 解得 fx g x ln 1 2 xax a xx 2 2 ex e a 两条曲线交点的坐标为切线的斜率为 2 ee e efk 2 1 2 切线的方程为 2 1 2 ex e ey II 由条件知 0 ln xxaxxh i 当 0 时 令解得 a 0 h x 2 4xa 当 0 2 4a时 在上递增 0 h x h x 2 4 a 是在上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是的最小值 2 4xa h x 0 h x 点 最小值 22 4 2ln42 1 ln2 ahaaaaaa ii 当时 在 0 上递增 无最小值 0a 2 0 2 xa h x x h x 故的最小值的解析式为 h x a 2 1 ln2 0 aaa a 由 知 2 1 ln2ln aaa 则 令解得 2ln2aa 0a 1 2 a 当时 在上递增 1 0 2 a 0a a 1 0 2 当时 在上递减 1 2 a 0a a 1 2 在处取得最大值 a 1 2 a 1 1 2 在上有且只有一个极值点 所以也是的最大值 a 0 1 1 2 a 当时 总有 0 a 1 a 5 5 解解 1 由题意知 的定义域为 f x 0 用心 爱心 专心8 0 2 1 2 1 2 22 22 2 2 x x bx x bxx x b xxf 当时 函数在定义域上单调递增 2 1 b 0fx f x