2012年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷 Ⅲ 理（浙江卷）

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 数学理科 浙江卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷个答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件A B相互独立 那么其中S表示棱柱的底面积 h表示棱 柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么n V Sh 3 1 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积 h表示棱 锥的高 Pn k C pk 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 k n 棱台的体积公式S 4 R2 球的体积公式 2211 3 1 SSSShV 其中S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V R3 3 4 h表示棱台的高 其中R表示球的半径 用心 爱心 专心2 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若且的最小值是Cz iziz22122 则 A 2 B 3 C 4 D 5 2 已知是实数 则 是 的ba 00 ba且00 abba且 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 设集合全集 则集合中的元素 9 8 7 4 3 9 7 5 4 BABAU BACU 共 有个 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 4 函数的定义域为若都是奇函数 则 xf R 1 1 xfxf与 A 是偶函数 B 是奇函数 xf xf C D 是偶函数 2 xfxf 3 xf 5 已知实数 满足约束条件 xy 0 2 1 yx y x 则的取值范围是yxz 2 A 1 2 B 0 2 C 1 3 D 0 1 6 如果执行右面的程序框图 输入正整数n m 满足n m 那么输出的P等于 A 1m n C B 1m n A C m n C 用心 爱心 专心3 D m n A 7 设 函数的图像向右平移个单位后与原图像重合 则0 sin 2 3 yx 4 3 的最小值是 A B C D 3 2 3 4 3 3 2 8 对于正实数 记M 为满足下述条件的函数 f x构成的集合 12 x x R且 21 xx 有 212121 xxf xf xxx 下列结论中正确的是 A 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM B 若 1 f xM 2 g xM 且 0g x 则 1 2 f x M g x C 若 1 f xM 2 g xM 则 12 f xg xM w w w k s 5 u c o m D 若 1 f xM 2 g xM 且 12 则 12 f xg xM 9 设函数 则在下列区间中函数不存在零点的是 4sin 21 f xxx f x A B C D 4 2 2 0 0 2 2 4 10 已知是定义在上的奇函数 当时不等式总 xfy R 0 x 0 xxfxf 成 立 若记则的从大到小为 3 3 3log3log 22 2 02 0 fcfbfa A B C D cba bca abc bac 非选择题部分 共非选择题部分 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 已知展开式中常数项为 则此展开式中各项系数的和等 8 0 x a xa二项式1120 于 12 若等差数列的前项和为 且 n an n S nSa nn 则 72 10 2 13 从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中 要求每个盒子不空 则不同 用心 爱心 专心4 A B 的方法总数为 用数字作答 14 设是三个不重合的平面 l 是直线 给出下列四个命题 若 若 ll则 则 ll 若l上有两点到的距离相等 则l 若 则 其中正确命题的序号是 15 已知函数 若函数有两个零 2 0 1 0 xx f xg xf xxa f xx xg 点 则实数的取值范围为 a 16 如图 二面角的大小是 60 线段 l AB 与 所成的角为 30 则与平面所成的角的Bl ABlAB 正弦值是 17 某电台现录制好 10 首曲目 其中美声唱法 2 首 民族唱法 4 首 通俗唱法 4 首 拟分 两 期播出 每期播放其中 5 首 要求三种唱法每期都有 通俗唱法曲目不得相邻 且第一 期的最后一首曲目必须是美声唱法 则不同的编排方法种数为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共5 5小题 共小题 共7272分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 已知等比数列中 n a的三个内角分别为 ABCcbacabaaa 321 4 3 cos 的对边 且CBA 1 求数列的公比 n a 2 设集合且求数列的通项公式 2 2 xxNxA 1 Aa n a 19 本题满分 14 分 已知数列满足 n a 1 n i i i ai 用心 爱心 专心5 1 求的通项公式 n a 2 若 求的前项和 2n n n b a n bn n S 3 若 求证 n n a c n 1 1 12 4 2 n i n i cn 20 本题满分 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PAAC PAAB PAAB 3 ABC 2 BCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 1 求证 BC 平面PAC 2 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 3 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 21 本题满分 15 分 已知点 A B的坐标分别是 0 1 0 1 直线 AM BM相交于点M 且它们的斜率之 积为 1 2 1 求点M轨迹C的方程 2 若过点 2 0D的直线l与 1 中的轨迹C交于不同的两点E F E在D F之间 试求ODE 与ODF 面积之比的取值范围 O为坐标原点 22 本题满分 15 分 已知函数 1 ln xxgRaaxxf 1 若函数xxf x xgxh2 2 1 存在单调递减区间 求a的取值范围 2 当a 0 时 试讨论这两个函数图象的交点个数 用心 爱心 专心6 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准 说明 说明 一一 本本解解答答指指出出了了每每题题要要考考查查的的主主要要知知识识和和能能力力 并并给给出出了了一一种种或或几几种种解解法法供供参参考考 如如果果考考生生的的解解法法与与本本解解答答不不同同 可可根根据据试试题题的的主主要要考考查查内内容容比比照照评评分分参参考考制制订订相相应应的的评评分分 细细则则 二 对计算题二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题变该题 的内容和难度 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后续部分的解答有较分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 1 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 1 5 5 BCADABCADA 6 6 1010 DCCADDCCAD 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 1 12 12 13 180 14 15 1 a 16 17 71424 3 4 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共5 5小题 共小题 共7272分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 解 1 6 分 2 2 2或 q 用心 爱心 专心7 2 过程略 14 分 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n n aqaq 19 本小题满分 14 分 解 1 当时 3 分2n 1 11 1 1 nn niin ii nai ai aa n 当时 成立 故 4 分1n 1 1a 1 n a n 2 2n n bn 123 1 22 23 22n n Sn 2341 21 22 23 2 1 22 nn n Snn 由 得 1231 22222 nn n Sn 11 2 1 2 2 1 22 1 2 n nn nn 故 8 分 1 1 22 n n Sn 3 证 令 2 1 n c n 2 2xf xx 又 2 ln22 x fxx 1 ln2ln 2 e 故 2 2 ln2 2 5 0 x fxf 故在上单调递增 故 fx 5 5 0fxf 故在上单调递增 故 f x 5 5 70f xf 故当时 恒成立 即4n 2 2nn 2 11 2nn 故 11 分 11 11 1 22 nn i in ii c 2 1111 1 1nn nnn 用心 爱心 专心8 故 14 分 1 111111 1 122 2231 n i i c nnn 综上可得 1 1 12 4 2 n i n i cn 20 本小题满分 14 分 解 方法一方法一 1 PAAC PAAB ACABA PA 底面ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面PA 4 分 2 D为PB的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 1 知 BC 平面PAC DE 平面PAC 垂足为点E DAE是AD与平面PAC所成的角 PA 底面ABC PA AB 又PA AB ABP为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 9 分 3 AE BC 又由 1 知 BC 平面PAC DE 平面PAC 又 AE 平面PAC PE 平面PAC DE AE DE PE AEP为二面角ADEP 的平面角 PA 底面ABC PA AC 90PAC 用心 爱心 专心9 在棱PC上存在一点E 使得AE PC 这时90AEP 故存在点E使得二面角ADEP 是直二面角 14 分 方法二方法二 如图 以A为原点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 0 0 Pa 0 0 0 A 13 0 22 Baa 3 0 0 2 Ca 1 0 0 APa 1 0 0 2 BCa 0AP BC BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面PA 4 分 2 D为PB的中点 DE BC E为PC的中点 131 442 Daaa 31 0 42 Eaa 又由 1 知 BC 平面PAC DE 平面PAC 垂足为点E DAE是AD与平面PAC所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 9 分 3 AE BC 又由 1 知 BC 平面PAC DE 平面PAC 又 AE 平面PAC PE 平面PAC DE AE DE PE AEP为二面角ADEP 的平面角 PA 底面ABC PA AC 90PAC 在棱PC上存在一点 E 使得AE PC 这时90AEP 故存在点E使得二面角ADEP 是直二面角 14 分 用心 爱心 专心10 21 本题满分 15 分 解 1 设点M的坐标为 x y 1 2 AMBM kk 111 2 yy xx 整理 得 2 2 1 2 x y 0 x 这就是动点M的轨迹方程 5 分 2 方法一方法一 由题意知直线l的斜率存在 设l的方程为 2yk x 1 2 k 将 代入1 2 2 2 y x 得0 28 8 12 2222 kxkxk 由0 解得 2 1 0 2 k 设 11 E x y 22 F xy 则 12 28 12 8 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 令 OBE OBF S S 则 BE BF 即BEBF 即 12 22xx 且01 由 得 12 2 121212 2 4 2 2 21 2 2 2 2 4 21 xx k xxx xxx k 即 2 2 2 2 2 4 12 21 2 2 21 x k x k 2 2 22 2141 1 8 1 2 k k 即 用心 爱心 专心11 2 1 0 2 k 且 2 1 4 k 2 411 0 1 22 且 2 411 1 24 解得32 232 2 且 1 3 01 1223 且 1 3 OBE与 OBF面积之比的取值范围是 11 32 2 1 33 15 分 方法二方法二 由题意知直线l的斜率存在 设l的方程为2xsy 2 s 将 代入1 2 2 2 y x 整理 得 22 2 420sysy 由0 解得 2 2s 设 11 E x y 22 F xy 则 12 2 12 2 4 2 2 2 s yy s y y s 令 1 1 2 2 1 2 1 2 OBE OBF OBy Sy Sy OBy 且01 将 12 yy 代入 得 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 s y s y s 2 2 2 18 2 s s 即 2 2 2 21 61 s 2 2s 且 2 4s 2 2 21 2 61 且 2 2 21 4 61 即 2 610 且 1 3 用心 爱心 专心12 解得32 232 2 且 1 3 01 1223 且 1 3 故 OBE与 OBF面积之比的取值范围是 11 32 2 1 33 15 分 22 本题满分 15 分 解 1 2 1 0 2 2 ln 2 ax x xhxxx a xxh 若使 xh存在单调递减区间 则 0 02 1 在ax x xh上有解 而当 xx a x axax x x 21 2 1 02 1 0 2 时 问题转化为 0 21 2 在 xx a