浙江省杭州市建人高复2017届高三（下）第四次月考数学试卷（解析版）

1 2016 2017 学年浙江省杭州市建人高复高三 下 第四次月考数学年浙江省杭州市建人高复高三 下 第四次月考数 学试卷学试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 4 分 设 i 是虚数单位 复数 1 2i 的虚部是 A 2B 2C 2iD 2i 2 4 分 设 U R P x x 1 Q x 0 x 2 则 U P Q A x x 0 B x x 1 C x x 2 D x x 1 或 x 2 3 4 分 在等比数列 an 中 Sn表示前 n 项和 若 a3 2S2 3 a4 2S3 3 则公 比 q A 2B 3C 4D 5 4 4 分 如图 函数 f x Asin 2x A 0 的图象过点 0 则 f x 的图象的一个对称中心是 A 0 B 0 C 0 D 0 5 4 分 设 z x y 其中 x y 满足 若 z 的最大值为 12 则 z 的最 小值为 A 8B 6C 6D 8 6 4 分 直线 x 2y 3 0 与圆 C x 2 2 y 3 2 9 交于 E F 两点 则 ECF 的面积为 A B C D 2 7 4 分 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7的展开式中 含 x4项的系数是等差 数列 an 3n 5 的 A 第 2 项 B 第 11 项C 第 20 项 D 第 24 项 8 4 分 下列说法正确的是 A 若 a 1 则 a2 1 的否命题是 若 a 1 则 a2 1 B an 为等比数列 则 a1 a2 a3 是 a4 a5 的既不充分也不必要条件 C 若 a b R 则 a b 1 是 a b 1 的充分而不必要条件 D 必要不充分条件是 9 4 分 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F2 c 0 作圆 x2 y2 a2的切线 切点为 M 延长 F2M 交抛物线 y2 4cx 于点 P 其中 O 为坐标 原点 若 则双曲线的离心率为 A B C D 10 4 分 已知 f x xex 又 g x f2 x tf x t R 若满足 g x 1 的 x 有四个 则 t 的取值范围是 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 11 6 分 已知 sin 则 cos cos 2 12 6 分 若函数 f x 1 logn x 1 经过的定点 F 与 n 无关 恰为抛物 线 y ax2的焦点 则点 F 的坐标是 a 13 6 分 设正实数 a b 满足 a b 1 则 a2 b2最小值是 最大 值是 14 6 分 某几何体的三视图如图所示 则它的表面积为 体积为 3 15 4 分 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球 白球和红球 已知从袋中任 意摸出 2 个球 至少得到 1 个白球的概率是 从袋中任意摸出 3 个球 记得 到白球的个数为 则随机变量 的数学期望 E 16 4 分 已知是平 面上三个不同的点 且满足关系 则实数 的取值范围是 17 4 分 设函数 f x x2 2ax 15 2a 的两个零点分别为 x1 x2 且在区间 x1 x2 上恰好有两个正整数 则实数 a 的取值范围 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 74 分 分 18 14 分 已知函数 求函数 f x 的最小正周期 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 2a c cosB bcosC 求的取值范围 4 19 15 分 如图 PDCE 为矩形 ABCD 为梯形 平面 PDCE 平面 ABCD BAD ADC 90 AB AD CD a PD 若 M 为 PA 中点 求证 AC 平面 MDE 求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值 20 15 分 已知函数 f x ln ax 1 x3 x2 ax 1 若 x 为 y f x 的极值点 求实数 a 的值 2 若 a 1 时 方程 f 1 x 1 x 3 有实根 求实数 b 的取值范围 5 21 15 分 设 x y R 向量分别为直角坐标平面内 x y 轴正方向上的 单位向量 若向量 且 求点 M x y 的轨迹 C 的方程 设椭圆 P 为曲线 C 上一点 过点 P 作曲线 C 的切线 y kx m 交椭圆 E 于 A B 两点 试证 OAB 的面积为定值 22 15 分 已知数列中 a1 1 a2 且 an 1 n 2 3 4 证明 求数列 an 的通项公式 求证 i 对一切 n N 都有 ii 对一切 n N 有 a12 a22 an2 6 2016 2017 学年浙江省杭州市建人高复高三 下 第四学年浙江省杭州市建人高复高三 下 第四 次月考数学试卷次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 i 是虚数单位 复数 1 2i 的虚部是 A 2B 2C 2iD 2i 考点 复数的基本概念 分析 根据复数虚部的定义即可得出 解答 解 复数 1 2i 的虚部是 2 故选 A 点评 本题考查了复数虚部的定义 考查了推理能力与计算能力 属于基础 题 2 设 U R P x x 1 Q x 0 x 2 则 U P Q A x x 0 B x x 1 C x x 2 D x x 1 或 x 2 考点 交 并 补集的混合运算 分析 根据并集与补集的定义写出运算结果即可 解答 解 U R P x x 1 Q x 0 x 2 则 P Q x x 0 U P Q x x 0 故选 A 点评 本题考查了集合的定义与运算问题 是基础题 3 在等比数列 an 中 Sn表示前 n 项和 若 a3 2S2 3 a4 2S3 3 则公比 q 7 A 2B 3C 4D 5 考点 等比数列的前 n 项和 分析 由已知条件 求出 a4 a3 2a3 由此能求出公比 解答 解 等比数列 an 中 a3 2S2 3 a4 2S3 3 a4 a3 2S3 3 2S2 3 2 S3 S2 2a3 a4 3a3 q 3 故选 B 点评 本题考查等比数列折公比的求法 是中档题 解题时要熟练掌握等比 数列的通项公式和前 n 项和公式 4 如图 函数 f x Asin 2x A 0 的图象过点 0 则 f x 的图象的一个对称中心是 A 0 B 0 C 0 D 0 考点 正弦函数的图象 分析 由函数图象可知 A 2 由图象过点 0 可得 sin 由 可解得 由 2x k k Z 可解得 f x 的图象的对称中心是 0 k Z 对比选项即可得解 解答 解 由函数图象可知 A 2 由于图象过点 0 8 可得 2sin 即 sin 由于 解得 即有 f x 2sin 2x 由 2x k k Z 可解得 x k Z 故 f x 的图象的对称中心是 0 k Z 当 k 0 时 f x 的图象的对称中心是 0 故选 B 点评 本题主要考查由函数 y Asin x 的部分图象求函数的解析式 正弦函数的对称性 属于中档题 5 设 z x y 其中 x y 满足 若 z 的最大值为 12 则 z 的最小值为 A 8B 6C 6D 8 考点 简单线性规划 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用目标函数的几何意义 先求出最 优解 利用数形结合即可得到结论 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 由 z x y 得 y x z 则直线截距最大时 z 也最大 平移直线 y x z 由图象可知当直线 y x z 经过点 B 时 直线 y x z 的截距最大 此时 z 最大为 12 即 x y 12 由 得 B 4 8 此时 B 也在直线 y m 上 m 8 9 当直线 y x z 经过点 A 时 直线 y x z 的截距最小 此时 z 最小 由 即 A 16 8 此时 z x y 16 8 8 故选 A 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用 z 的几何意义 结合数形结合是 解决本题的关键 6 直线 x 2y 3 0 与圆 C x 2 2 y 3 2 9 交于 E F 两点 则 ECF 的面积 为 A B C D 考点 直线与圆的位置关系 分析 求出圆心 C 到直线 x 2y 3 0 距离 利用勾股定理求出 EF 再利用三角 形的面积公式 即可得出结论 解答 解 圆 C x 2 2 y 3 2 9 的圆心坐标为 C 2 3 半径为 3 C 到直线 x 2y 3 0 距离为 10 EF 2 4 ECF 的面积为 2 故选 B 点评 本题考查直线与圆的位置关系 考查点到直线的距离公式的运用 考 查学生的计算能力 属于中档题 7 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7的展开式中 含 x4项的系数是等差数列 an 3n 5 的 A 第 2 项 B 第 11 项C 第 20 项 D 第 24 项 考点 二项式系数的性质 分析 利用二项式展开式的通项公式 求得含 x4项的系数是 55 可得含 x4项的系数是 an 3n 5 的第 20 项 解答 解 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7 的展开式中 含 x4项的系数是 55 所以 含 x4项的系数是 an 3n 5 的第 20 项 故选 C 点评 本题主要考查二项式展开式的通项公式 二项式系数的性质 等差数 列通项公式 属于中档题 8 下列说法正确的是 A 若 a 1 则 a2 1 的否命题是 若 a 1 则 a2 1 B an 为等比数列 则 a1 a2 a3 是 a4 a5 的既不充分也不必要条件 C 若 a b R 则 a b 1 是 a b 1 的充分而不必要条件 D 必要不充分条件是 考点 命题的真假判断与应用 分析 由命题的否命题 既对条件否定 也对结论否定 即可判断 A 运用等比数列的通项公式 可得首项与公比的关系 判断单调性 结合充分必 11 要条件定义 即可判断 B 由绝对值不等式的性质 a b a b 结合充分必要条件的定义 即可判 断 C 由等价命题 tan 是 的必要不充分条件 结合充分必要条件的定义 即可判断 D 解答 解 对 A 若 a 1 则 a2 1 的否命题是 若 a 1 则 a2 1 故 A 错 对 B an 为公比为 q 的等比数列 则 a1 a2 a3 即为 a1 a1q a1q2 可得 a1 0 q 1 或 a1 0 0 q 1 an 为递增数列 可得 a4 a5 若 a4 a5 即为 a1q3 a1q4 可得 a1 0 q 1 或 q 0 推不出 a1 a2 a3 则 a1 a2 a3 是 a4 a5 的充分不必要条件 故 B 错 对 C 若 a b R 由 a b a b 可得 a b 1 是 a b 1 的必要而 不充分条件 故 C 错 对 D 必要不充分条件是 tan 是 的必要不充分条件 故 D 正确 故选 D 点评 本题考查四种命题和充分必要条件的判断 考查等比数列的单调性和 绝对值不等式的性质 考查判断能力 属于基础题 9 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F2 c 0 作圆 x2 y2 a2的切线 切点为 M 延长 F2M 交抛物线 y2 4cx 于点 P 其中 O 为坐标原点 若 则双曲线的离心率为 A B C D 考点 圆锥曲线的综合 双曲线的简单性质 分析 说明 M 是 F2P 的中点 设抛物线的焦点为 F1 则 F1为 c 0 也是 双曲线的焦点 画出图形 连接 PF1 OM 说明 OM 为 PF2F1的中位线 通过 12 PF2 PF1 可得 PF2 设 P x y 推出 c x 2a 利用双曲线 定义结合勾股定理得 y2 4a2 4b2 然后求解离心率即可 解答 解 如图 9 M 是 F2P 的中点 设抛物线的焦点为 F1 则 F1为 c 0 也是双曲线的焦点 连接 PF1 OM O M 分别是 F1F2和 PF2的中点 OM 为 PF2F1的中位线 OM a PF1 2 a OM PF2 PF2 PF1 于是可得 PF2 设 P x y 则 c x 2a 于是有 x c 2a y2 4c c 2 a 过点 F2作 x 轴的垂线 点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理得 y2 4a2 4b2 即 4c c 2a 4 a2 4 c2 a2 变形可得 c2 a2 ac 两边同除以 a2 有 e2 e 1 0 所以 e 负值已经舍去 故选 D 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 向量以及圆与双曲线的位置关系 的综合应用 考查转化思想以及计算能力 10 已知 f x xex 又 g x f2 x tf x t R 若满足 g x 1 的 x 有四个 则 t 的取值范围是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 根的存在性及根的个数判断 13 分析 令 y xex 则 y 1 x ex 求出极值点 判断函数的单调性 作出 y xex图象 利用图象变换得 f x xex 图象 令 f x m 则关于 m 方程 h m m2 tm 1 0 两根分别在 满足 g x 1 的 x 有 4 个 列出不等式求解即可 解答 解 令 y xex 则 y 1 x ex 由 y 0 得 x 1 当 x 1 时 y 0 函数 y 单调递减 当 x 1 时 y 0 函 数 y 单调递增 作出 y xex图象 利用图象变换得 f x xex 图象 如图 10 令 f x m 则关于 m 方程 h m m2 tm 1 0 两根分别在时 如图 11 满足 g x 1 的 x 有 4 个 由 解得 故选 B 点评 本题考查函数的导数的应用 函数的单调性以及函数的极值 函数的 图象的变换 函数零点个数 考查函数与方程的综合应用 数形结合思想以及 转化思想的应用 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分 分 14 11 已知 sin 则 cos cos 2 考点 两角和与差的正弦函数 两角和与差的余弦函数 分析 根据诱导公式和二倍角公式计算即可 解答 解 cos sin sin cos 2 2cos2 1 1 故答案为 点评 本题考查了诱导公式和二倍角公式 属于基础题 12 若函数 f x 1 logn x 1 经过的定点 F 与 n 无关 恰为抛物线 y ax2 的焦点 则点 F 的坐标是 0 1 a 考点 抛物线的简单性质 分析 求出函数经过的定点坐标 即可定点抛物线的焦点坐标 然后求解 a 即可 解答 解 函数 f x 1 logn x 1 经过的定点 F 0 1 抛物线 y ax2的焦点 则点 F 的坐标是 0 1 可得 解得 a 故答案为 0 1 点评 本题考查抛物线的简单性质的应用 考查计算能力 13 设正实数 a b 满足 a b 1 则 a2 b2最小值是 最大值是 15 考点 基本不等式 分析 根据题意 首先有基本不等式可得 1 a b 2 即 对于 a2 b2 将其变形可得 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 结合 分析可得其最 小值 对于 有 2 a b 2 1 2 结合 分析 可得其最大值 即可得答案 解答 解 根据题意 若正实数 a b 满足 a b 1 则有 1 a b 2 即 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 即 a2 b2最小值是 对于 有 2 a b 2 1 2 2 则有 则最大值是 故答案为 点评 本题考查基本不等式的应用 关键要熟悉基本不等式的形式 并能灵 活应用 14 某几何体的三视图如图所示 则它的表面积为 体积为 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 由三视图求面积 体积 分析 由已知中的三视图 可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥 代入半圆锥体积和表面积公式 可得答案 16 解答 解 由已知中的三视图 可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆 锥 半圆锥的底面直径为 2 高 h 2 故半圆锥的底面半径 r 1 母线长为 故半圆锥的体积 V 半圆锥的表面积 S 2 2 1 故答案为 点评 本题考查的知识点半圆锥的体积和表面积 空间几何体的三视图 15 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球 白球和红球 已知从袋中任意摸出 2 个球 至少得到 1 个白球的概率是 从袋中任意摸出 3 个球 记得到白球的 个数为 则随机变量 的数学期望 E 考点 离散型随机变量的期望与方差 分析 设白球的个数为 x 则红球和黑球的个数为 10 x 记两个都不是白球的 事件为 A 则至少有一个白球的事件与事件 A 为对立事件 由此求出白球的个数 得出 的取值可能为 0 1 2 3 求出 的分布列和数学期望 解答 解 设白球的个数为 x 则黑球和红球的个数为 10 x 记两个都不是白球的事件为 A 则至少有一个白球的事件与事件 A 为对立事件 所以 p A 1 解得 x 5 所以白球的个数为 5 从袋中任意摸出 3 个球 到白球的个数 的取值可能为 0 1 2 3 则 P 0 17 P 1 P 2 P 3 所以 的分布列为 0123 P 所以的数学期望 E 0 1 2 3 故答案为 点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题 是基础 题 16 已知是平面上三个 不同的点 且满足关系 则实数 的取值范围是 2 1 0 考点 平行向量与共线向量 分析 利用向量共线定理可得 1 cos 1 2cos sin sin 利 用 1 cos2 sin2 化为 令 2cos 1 t 1 3 可得 f t 利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 解答 解 1 cos 1 2cos sin sin 1 cos2 sin2 1 2cos 1 2 sin 2 18 化为 令 2cos 1 t 1 3 则 f t f t 可知 t 1 时 函数 f t 取得最大值 f 1 1 又 f 1 2 f 3 2 1 由于 t 0 时 0 点 A 与 C 重合 舍去 2 1 0 故答案为 2 1 0 点评 本题考查了向量共线定理 平方共线 利用导数研究其单调性极值与 最值 考查了推理能力与计算能力 属于难题 17 设函数 f x x2 2ax 15 2a 的两个零点分别为 x1 x2 且在区间 x1 x2 上恰好有两个正整数 则实数 a 的取值范围 考点 函数零点的判定定理 分析 由题意可得函数 y 的图象和直线 y 2a 有两个交点 这 2 个交 点的横坐标分别为 x1 x2 在区间 x1 x2 上恰有两个正整数 再令 x 1 t 则 m t t 的图象和直线 y 2a 2 有两个交点 这 2 个交点的横坐标分别为 t1 t2 则在区间 t1 t2 上恰有两个正整数 求得 a 的范围 解答 解 令 f x 0 可得 x2 15 2a x 1 19 即 2a 由题意可得方程 2a 有 2 个解 x1 x2 且在区间 x1 x2 上恰有两个正整数 故函数 y 的图象和直线 y 2a 有两个交点 且这 2 个交点的横坐标分别为 x1 x2 再令 x 1 t 则 y t 2 即 m t t 的图象和直线 y 2a 2 有两个交点 且这 2 个交点的横坐标分别为 t1 t2 在区间 t1 t2 上恰有两个正整数 而这两个正整数应为 2 和 4 令 t 5 则 m t 令 t 3 则 m t 2a 2 求得 a 故符合条件的 a 的范围是 a a 故答案为 点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系 函数的图象 函 数零点的定义 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 74 分 分 18 14 分 2017 春 杭州月考 已知函数 求函数 f x 的最小正周期 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 2a c cosB bcosC 求的取值范围 考点 正弦定理 三角函数的周期性及其求法 分析 利用两角差的余弦公式展开 利用辅助角公式即可求得 f x 20 根据周期公式 即可求得函数 f x 的最小正周期 利用正弦定理 求得 B 则 0 A 根据正弦函数的性质即可 求得的取值范围 解答 解 由 cos2xcos sin2xsin sin2x sin2x cos2x sin 2x 则 f x 的最小正周期 T 由正弦定理 2R 则 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 由 2a c cosB bcosC 则 2sinA sinC cosB sinBcosC 则 2sinAcosB sin B C 由 sin B C sin A sinA 0 cosB 由 0 B 则 B sin 2 sin A 由 0 A 则 A sin A 1 则 sin A f A 点评 本题考查两角和差的余弦公式 考查正弦函数的图象及性质 考查正 弦定理的应用 考查计算能力 属于中档题 19 15 分 2013 春 荆门期末 如图 PDCE 为矩形 ABCD 为梯形 平面 21 PDCE 平面 ABCD BAD ADC 90 AB AD CD a PD 若 M 为 PA 中点 求证 AC 平面 MDE 求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值 考点 二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 分析 I 连接 PC 交 DE 与 N 连接 MN 所以 MN AC 再根据线面平 行的判定定理可得答案 II 以 D 为空间坐标系的原点 分别以 DA DC DP 所在直线为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 分别求出两个平面的法向量 再求出两个向量的夹角 进而转化为二面角的平面角 解答 证明 连接 PC 交 DE 于 N 连接 MN 在 PAC 中 M N 分别为两腰 PA PC 的中点 MN AC 2 分 因为 MN 面 MDE AC 面 MDE AC 平面 MDE 4 分 解 以 D 为空间坐标系的原点 分别以 DA DC DP 所在直线为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 P 0 0 a B a a 0 C 0 2a 0 所以 a a a a a 0 6 分 平面 PAD 的单位法向量为 0 1 0 7 分 设面 PBC 的法向量 x y 1 则有 解得 x y 22 则 1 10 分 设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 cos 即平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值为 12 分 点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 求二面角的平面角的关键是找到角 再求出角 解决此类问题也可以建立坐标 系 利用空间向量求出空间角与空间距离 20 15 分 2017 春 杭州月考 已知函数 f x ln ax 1 x3 x2 ax 1 若 x 为 y f x 的极值点 求实数 a 的值 2 若 a 1 时 方程 f 1 x 1 x 3 有实根 求实数 b 的取值范围 考点 利用导数研究函数的单调性 根的存在性及根的个数判断 函数在某 点取得极值的条件 分析 1 因为 x 为 y f x 的极值点 所以 f 0 就可求出 a 的 值 2 若 a 1 时 方程 f 1 x 1 x 3 有实根 就可得到方程 lnx 1 x 2 1 x 由实根 即 b xlnx x2 x3在 x 0 上有解 只需求出函数 g x 23 xlnx x2 x3的值域 而 b 在这个范围内 就可得到 b 的取值范围 解答 解 1 f x 3x2 2x a x 为 f x 的极值点 f 0 3a 3 2a a2 2 0 且a 1 0 a 0 又当 a 0 时 f x x 3x 2 从而 x 为 f x 的极值点成立 2 若 a 1 时 方程 f 1 x 1 x 3 可得 lnx 1 x 2 1 x 即 b xlnx x 1 x 2 x 1 x xlnx x2 x3在 x 0 上有解 即求函数 g x xlnx x2 x3的值域 令 h x lnx x x2 由 h x 1 2x x 0 当 0 x 1 时 h x 0 从而 h x 在 0 1 上为增函数 当 x 1 时 h x 0 从而 h x 在 1 上为减函数 h x h 1 0 又 x 0 g x 的值域为 0 b 的取值范围为 0 点评 本题主要考查函数的极值与导数的关系 以及利用导数求函数的值域 借助函数值域求参数的范围 属于综合题 24 21 15 分 2017 茂名一模 设 x y R 向量分别为直角坐标平面内 x y 轴正方向上的单位向量 若向量 且 求点 M x y 的轨迹 C