5正弦函数的性质与图像

5 正弦函数的性质与图像 第一课时 正弦函数 y sinx 的图像 一 教学思路 创设情境 揭示课题 三角函数是一种重要的函数 从第一节我们就知道在实际生活中 有许多地方用到三 角函数 今天我们来学正弦函数 y sinx 的图像的做法 在前一节 我们知道正弦函数是 一个周期函数 最小正周期是 2 所以 关键就在于画出 0 2 上的正弦函数的图像 请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的 作函数图像的三步骤 列表 描点 连线 探究新知 1 正弦函数线 MP 下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示 如右图所示 角 的终边与单位圆交于点 P x y 提出问题 线段 MP 的长度可以用什么来表示 能用这个长度表示正弦函数的值吗 如果不能 你能否设计 一种方法加以解决 引出有向线段的概念 有向线段 当 的终边不在坐标轴上时 可以把 MP 看作是带方向的线段 y 0 时 把 MP 看作与 y 轴同向 多媒体优势 利用计算机演示角 终边在 一 二象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程 让学生看清后定位 运动的方向表明与 y 轴同向 y 0 时 把 MP 看作与 y 轴反向 演示角 终边在三 四象限时 MP 从 M 到 P 点的运动 过程 让学生看清后定位 运动的方向表明与 y 轴反向 师生归纳 MP 是带有方向的线段 这样的线段叫有向线段 MP 是从 M P 而 PM 则 是从 P M 不论哪种情况 都有 MP y 依正弦定义 有 sin MP y 我们把 MP 叫做 的正弦线 投影仪出示反馈练习 当 为特殊角 即终边在坐标轴上时 找出其正弦线 演示 运动过程 让学生清楚认识到 当 终边在 x 轴上时 正弦线变为一个点 即 sin 0 2 作图的步骤 边作边讲 几何画法 y sinx x 0 2 1 作单位圆 把 O 十二等分 当然分得越细 图像越精确 2 十二等分后得对应于 0 2 等角 并作出相应的正弦线 6 3 2 3 将 x 轴上从 0 到 2 一段分成 12 等份 2 6 28 若变动比例 今后图像将相 应 变形 4 取点 平移正弦线 使起点与轴上的点重合 5 描图 连接 得 y sinx x 0 2 6 由于终边相同的三角函数性质知 y sinx x 2k 2 k 1 k Z k 0 与函数 y sinx x 0 2 图像相同 只是位置不同 每次向左 右 平移 2 单位长 可以得到 y sinx 在 R 上的图像 的终边 P M O x y 1 五点作图法 由上图我们不难发现 在函数 y sinx x 0 2 的图像上 起着关键作用的有以下五 个关键点关键点 0 0 1 0 1 2 0 描出这五个点后 函数 2 2 3 y sinx x 0 2 的图像的形状就基本上确定了 因此 在精确度要求不太高时 我们常 常先找出这五个关键点 然后用光滑曲线将它们连接起来 就得到这个函数的简图 我们 称这种画正弦曲线的方法为 五点法 巩固深化 发展思维 1 例题讲评 例 1 用 五点法 画出下列函数在区间 0 2 上的简图 1 y sinx 2 y 1 sinx 解 1 列表 x0 2 2 3 2 y sinx 010 1 0 描点得 y sinx 的图像 2 学生练习 二 归纳整理 整体认识 1 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些 所涉及到的主要数学思想方法有那些 2 在本节课的学习过程中 还有那些不太明白的地方 请向老师提出 3 你在这节课中的表现怎样 你的体会是什么 第二课时第二课时 正弦函数的性质正弦函数的性质 一 教学思路 创设情境 揭示课题 同学们 我们在数学一中已经学过函数 并掌握了讨论一个函数性质的几个角度 你 还记得有哪些吗 在上一次课中 我们已经学习了正弦函数的 y sinx 在 R 上图像 下面 请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质 探究新知 让学生一边看投影 一边仔细观察正弦曲线的图像 并思考以下几个问题 1 正弦函数的定义域是什么 2 正弦函数的值域是什么 3 它的最值情况如何 4 它的正负值区间如何分 5 x 0 的解集是多少 师生一起归纳得出 1 定义域 y sinx 的定义域为 R 2 值域 引导回忆单位圆中的正弦函数线 结论 sinx 1 有界性 再看正弦函数线 图象 验证上述结论 所以 y sinx 的值域为 1 1 3 最值 1 对于 y sinx 当且仅当 x 2k k Z 时 ymax 1 2 当且仅当时 x 2k k Z 时 ymin 1 2 2 当 2k x 2k 1 k Z 时 y sinx 0 当 2k 1 x 2k k Z 时 y sinx 0 4 周期性 观察图象 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的 2 规律是 每隔 2 重复出现一次 或者说每隔 2k k Z 重复出现 3 这个规律由诱导公式 sin 2k x sinx 也可以说明 结论 y sinx 的最小正周期为 2 5 奇偶性 sin x sinx x R y sinx x R 是奇函数 6 单调性 增区间为 2k 2k k Z 其值从 1 增至 1 2 2 减区间为 2k 2k k Z 其值从 1 减至 1 2 2 3 巩固深化 发展思维 二 归纳整理 整体认识 1