必修4第1节角的概念讲案

第 1 节 角的概念讲案 知识网络图 学习重难点 重点 任意角的概念 象限角的概念 难点 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来 关键 运用数形结合的思想来认识角的几何表示和终边相同的角的集合 学习要求 理解任意角的概念 学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角 能在 0 360 范围内找出与此范围外每一个已知角终边相同的角 并判定其为第 几象限角 能写出与任一已知角终边相同的角的集合 本节内容 虽然在历届高考中没有单独命题 但本节内容却常常与其它知识相 结合出现在高考试题中 另外本节内容十分重要 它是学好后续章节的基础 必须认真学好 1 象限角定义的前提 角的顶点为原点 角的始边与 x 轴正半轴重合 2 与角 终边相同的角的表示式 k 360 k Z 要注意 k 的取值范围 任意角的表示形式不惟 一 要根据题意中角的范围 具体处理 一 角的概念推广的必要性 过去我们学习了 0 360 范围的角 但在生活 生产和科学实验的实践中还 会遇到其它角 如在体操 花样滑冰 跳台跳水比赛中 常常听到 转体三周 即 转体 1080 转体三周半 即 转体 1260 这样的解说 还如 我们骑的自行车 自行车的车轮按逆时针方向旋转一周的过程中 其中一根辐 条转动了 0 360 的所有角 在车轮继续转第二周的过程中 那根辐条就转 过了 360 720 的所有角 再如钟表的指针 拧动螺丝的扳手 机器上的轮 盘 它们按照不同方向旋转所成的角都不仅是 0 360 范围内的角 为了研究它们的运动规律 我们有必要将角的概念进行推广 二 任意角的概念 角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形 旋转 开始时的射线 OA 叫做角 的始边 旋转终止时的射线 OB 叫做角 的终边 射线的端点 O 叫做角 的顶点 如图 掌握角的概念应注意角的三要素 顶点 始边 终边 角可以是任意大小的 任意角包括正角 负角和零角 三 正角 负角 零角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转 就称它形成了一个零角 零角的始边和终边重 合 正确理解正角 负角 零角的概念 由定义可知 关键是抓住终边的旋转方向 是逆时针 顺时针还是没有转动 四 象限角 轴线角 象限角的定义 角的顶点在原点 始边在 x 轴的正半轴上 角的终边 除端点外 在第几象限 就说这个角是第几象限角 并且称它为象限角 这里强调以 角的顶点在原点 始边在 x 轴的非负半轴 为前提 否则就不能从终边的位置来判断某角属于第 几象限 比如 60 420 300 都是第一象限角 120 480 240 都是第 二象限角 210 570 150 都是第三象限角 300 660 60 都 是第四象限角 如果角的顶点不与坐标原点重合 或者角的始边不与 x 轴非负半轴重合 则不 能判断角在哪一个象限 也就是它不能称做象限角 象限角的集合 第一象限角集合为 第二象限角集合为 第三象限角集合为 第四象限角集合为 象限角的集合的表示形式并不唯一 也还有其它的表示形式 轴线角的定义 角的顶点在原点 始边在 x 轴的正半轴上 如果角的终边在坐标轴上 就称这 个角为轴线角 它不属于任一象限 比如 0 90 180 270 360 90 180 270 360 1080 等都是轴线角 轴线角的集合 终边落在 x 轴的非负半轴上 角的集合为 终边落在 x 轴的非正半轴上 角的集合为 终边落在 x 轴上 角的集合为 终边落在 y 轴的非负半轴上 角的集合为 终边落在 y 轴的非正半轴上 角的集合为 终边落在 y 轴上 角的集合为 五 终边相同的角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 k 360 k 即任一与角 终边相同的角 都可以 表示成角 与整数个周角的和 这里应明确 k 是整数 是任意角 k 360 与 之间是 号 如 k 360 30 应看成 k 360 30 k 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相等 终边相同的角有无数多个 它们相差 360 的整数倍 六 准确区分 0 90 间的角 第一象限的角 锐角 和 小于 90 的角 要正确理解 0 90 间的角 第一象限的角 锐角 和 小于 90 的 角 这里应明确 0 90 间的角 指的是一个前闭后开的区间 0 90 后面三种角的集合可分别表示为 k 360 k 360 90 0 90 90 下列各命题正确的是 A 终边相同的角一定相等 B 第一象限角都是锐角 C 锐角都是第一象限角 D 小于 90 的角都是锐角 分析 1 可根据各种角的定义 利用排除法予以解答 解答 对于 A 60 和 300 是终边相同的角 它们并不相等 应排除 A 对于 B 390 是第一象限角 可它不是锐角 应排除 B 对于 D 60 是小于 90 的角 但它不是锐角 应排除 D 综上 应选 C 小结 要想否定一个命题 只须举出一个反例即可 本解法就是恰当地举出反 例 将 A B D 三个选项予以排除 从而确定选项 C 分析 2 可根据锐角和第一象限角的定义 利用定义直接判断 解答 锐角的集合是 第一象限角的集合是 对于 当 k 0 时 与 相同 锐角是第一象限角 应选 C 例题若 90 135 则 的范围是 的范围是 解答 90 135 则有 90 135 90 135 0 135 90 由 得 0 45 由 得 180 270 小结 在给定角的范围的条件下 求两角和 差 可利用不等式性质 在正角 零角 负角范围内施行 例题已知角 的终边相同 那么 的终边在 A x 轴的非负半轴上 B y 轴的非负半轴上 C x 轴的非正半轴上 D y 轴的非正半轴上 分析 将角 按终边相同角公式写出 然后作差 对其研究即可 作出判断 解答 角 终边相同 k 360 k Z 作差 k 360 k 360 k Z 的终边在 x 轴的非负半轴上 应选 A 例题 若 是第一象限角 求 是第几象限角 解答 是第一象限角 所以 k 360 k 360 90 k Z k Z 1 当 k 3n 时 则有 n Z 是第一象限角 2 当 k 3n 1 时 n Z 为第二象限角 3 当 k 3n 2 时 n Z 为第三象限角 综上 知 为第一 二