浙江省2013年高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和（二）导学练 苏教版必修5

1 2 5 2 5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和 二二 课时目标课时目标 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题 1 等比数列 an 的前n项和为Sn 当公比q 1 时 Sn 当 a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q q 1 时 Sn na1 2 等比数列前n项和的性质 1 连续m项的和 如Sm S2m Sm S3m S2m 仍构成等比数列 注意 q 1 或m 为奇数 2 Sm n Sm qmSn q为数列 an 的公比 3 若 an 是项数为偶数 公比为q的等比数列 则 q S偶 S奇 3 解决等比数列的前n项和的实际应用问题 关键是在实际问题中建立等比数列模 型 一 选择题一 选择题 1 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项a1 3 前 3 项和为 21 则a3 a4 a5等 于 A 33 B 72 C 84 D 189 答案答案 C 解析解析 由S3 a1 1 q q2 21 且a1 3 得 q q2 6 0 q 0 q 2 a3 a4 a5 q2 a1 a2 a3 22 S3 84 2 某厂去年产值为a 计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10 从今年起 5 年内 该厂的总产值为 A 1 14a B 1 15a C 10a 1 15 1 D 11a 1 15 1 答案答案 D 解析解析 注意去年产值为a 今年起 5 年内各年的产值分别为 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 3 已知 an 是首项为 1 的等比数列 Sn是 an 的前n项和 且 9S3 S6 则数列 1 an 的前 5 项和为 A 或 5 B 或 5 C D 15 8 31 16 31 16 15 8 答案答案 C 解析解析 若q 1 则由 9S3 S6得 9 3a1 6a1 则a1 0 不满足题意 故q 1 由 9S3 S6得 9 a1 1 q3 1 q a1 1 q6 1 q 解得q 2 故an a1qn 1 2n 1 n 1 1 an 1 2 2 所以数列 是以 1 为首项 为公比的等比数列 其前 5 项和为 1 an 1 2 S5 1 1 1 2 5 1 1 2 31 16 4 一弹性球从 100 米高处自由落下 每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下 则 第 10 次着地时所经过的路程和是 结果保留到个位 A 300 米 B 299 米 C 199 米 D 166 米 答案答案 A 解析解析 小球 10 次着地共经过的路程为 100 100 50 100 8 299 300 米 1 2 39 64 5 在等比数列中 S30 13S10 S10 S30 140 则S20等于 A 90 B 70 C 40 D 30 答案答案 C 解析解析 q 1 否则S30 3S10 由Error Error Error q20 q10 12 0 q10 3 S20 S10 1 q10 a1 1 q20 1 q 10 1 3 40 6 某企业在今年年初贷款a万元 年利率为 从今年年末开始每年偿还一定金额 预计五年内还清 则每年应偿还 A 万元 B 万元 a 1 1 5 1 a 1 5 1 5 1 C 万元 D 万元 a 1 5 1 4 1 a 1 5 答案答案 B 解析解析 设每年偿还x万元 则 x x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 a 1 5 x a 1 5 1 5 1 二 填空题二 填空题 7 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S1 2S2 3S3成等差数列 则 an 的公比为 答案答案 1 3 解析解析 由已知 4S2 S1 3S3 即 4 a1 a2 a1 3 a1 a2 a3 a2 3a3 an 的公比q a3 a2 1 3 8 在等比数列 an 中 已知S4 48 S8 60 则S12 答案答案 63 解析解析 方法一方法一 S8 2S4 q 1 由已知得Error 由 得 1 q4 q4 5 4 1 4 3 将 代入 得 64 a1 1 q S12 64 1 63 a1 1 q12 1 q 1 43 方法二方法二 因为 an 为等比数列 所以Sn S2n Sn S3n S2n也成等比数列 所以 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 所以S3n S2n S2n Sn 2 Sn 所以S12 S8 60 63 S8 S4 2 S4 60 48 2 48 9 一个蜂巢里有一只蜜蜂 第 1 天 它飞出去找回了 2 个伙伴 第 2 天 3 只蜜蜂飞 出去 各自找回了 2 个伙伴 如果这个找伙伴的过程继续下去 第 6 天所有的蜜蜂都归 巢后 蜂巢中一共有 只蜜蜂 答案答案 729 解析解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列 a1 3 q 3 第 6 天所有蜜蜂归 巢后 蜜蜂总数为a6 36 729 只 10 某工厂月生产总值的平均增长率为q 则该工厂的年平均增长率为 答案答案 1 q 12 1 解析解析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1 公比为 1 q 该厂第一年的生产总值为 S1 1 1 q 1 q 2 1 q 11 则第 2 年第 1 个月的生产总值为 1 q 12 第 2 年全年生产总值S2 1 q 12 1 q 13 1 q 23 1 q 12S1 该厂生产总值的平均增长率为 1 1 q 12 1 S2 S1 S1 S2 S1 三 解答题三 解答题 11 为保护我国的稀土资源 国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨 该矿区计划 从 2010 年开始出口 当年出口a吨 以后每年出口量均比上一年减少 10 1 以 2010 年为第一年 设第n年出口量为an吨 试求an的表达式 2 因稀土资源不能再生 国家计划 10 年后终止该矿区的出口 问 2010 年最多出口多 少吨 保留一位小数 参考数据 0 910 0 35 解解 1 由题意知每年的出口量构成等比数列 且首项a1 a 公比 q 1 10 0 9 an a 0 9n 1 n 1 2 10 年的出口总量S10 10a 1 0 910 a 1 0 910 1 0 9 S10 80 10a 1 0 910 80 即a a 12 3 8 1 0 910 故 2010 年最多出口 12 3 吨 12 某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车 有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力 型公交车 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50 试问 1 该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 lg 1 3 657 2 82 lg 2 0 30 lg 3 0 48 解解 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an 其中 a1 128 q 1 5 则在 2015 年应该投入的电力型公交车为a7 a1 q6 128 1 56 1 458 辆 2 记Sn a1 a2 an 4 依据题意 得 Sn 10 000 Sn 1 3 于是Sn 5 000 辆 即 1 5n 128 1 1 5n 1 1 5 657 32 两边取常用对数 则n lg 1 5 lg 657 32 即n 7 3 又n N N 因此n 8 lg 657 5lg 2 lg 3 lg 2 所以到 2016 年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1 3 能力提升能力提升 13 有纯酒精a L a 1 从中取出 1 L 再用水加满 然后再取出 1 L 再用水加满 如此反复进行 则第九次和第十次共倒出纯酒精 L 答案答案 8 1 1 a 2 1 a 解析解析 用 an 表示每次取出的纯酒精 a1 1 加水后浓度为 1 a2 1 a 1 a 1 a 1 a 加水后浓度为 2 a3 2 1 1 a a 1 a 1 1 a 1 1 a 依次类推 a9 8 a10 9 1 1 a 1 1 a 8 9 8 1 1 a 1 1 a 1 1 a 2 1 a 14 现在有某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款 10 万元 第一年 便可获利 1 万元 以后每年比前一年增加 30 的利润 乙方案 每年贷款 1 万元 第一年 可获利 1 万元 以后每年比前一年增加 5 千元 两方案使用期都是 10 年 到期后一次性归 还本息 若银行贷款利息均按本息 10 的复利计算 试比较两种方案谁获利更多 精确到 千元 数据 1 110 2 594 1 310 13 79 解解 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1 公比为 1 30 的等比数列 其和为 1 1 30 1 30 2 1 30 9 42 63 万元 1 310 1 1 3 1 到期时银行贷款的本息为 10 1 0 1 10 10 2 594 25 94 万元 甲方案扣除贷款本息后 净获利约为 42 63 25 94 16 7 万元 乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列 1 1 5 1 9 0 5 10 1 5 5 2 32 50 万元 而贷款本利和为 1 1 1 1 10 1 10 9