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高等代数试题11一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个不是的子空间； ； ； ； ；（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同； （2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关； （3）设线性无关，则也线性无关； （4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个3、（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基； （2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基； （3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基； （4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中不正确的有（ ）个。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个4、（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量； （2）属于线性变换的同一本征值的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法不正确的有（ ）个。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个二、填空题（每空3分，共18分）1、 复数域作为复数域上的向量空间，则_它的一个基为_。2、设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为_。3、设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是， ，则关于的坐标是_。4、矩阵的特征值是_。5、在欧氏空间里的长度为_。6、二次型的矩阵是_.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知是的一个基，求在该基下的坐标。2、设矩阵与相似，求。3、求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。4、取何值时，二次型正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域上向量空间的一个线性变换，如果的特征多项式的根都在内；对于的特征多项式的每一根，本征子空间的维数等于的重数。证明可以对角化个人收集整理 勿做商业用途2、设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明是正交变换。高等代数试题12一、选择题：（3=9分）1 、A，B，C是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ ）（A） ACB = I （B） BAC = I （C） CAB = I （D） CBA = I2、设为任意非零向量，则（ ）。(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关3、设向量组I（），II（）则必有（ ）。(A)I无关II无关 (B ) II无关I无关 (C) I无关II相关 (D) II相关I相关二、填空：（3分）1、单个向量线性无关的充要条件是_。2、A是矩阵，对任何矩阵，方程AX=b都有解的充要条件是_。个人收集整理 勿做商业用途3、叙述替换定理_个人收集整理 勿做商业用途_个人收集整理 勿做商业用途_。个人收集整理 勿做商业用途4、, 则f(4)=_三、计算题：1、 解矩阵方程（9分）2、 中的两向量组 ， （i） 证明它们都是的基，（ii） 并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，（iii） 如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。（15分） 3、 计算行列式 （）（9分）4、 求线性齐次方程组的基础解系（10分）5、 已知向量组（I）,(II) ,(III) .若各向量组的秩分别为r (I) = r (II) = 3 , r (III) = 4 ,证明向量组（IV）：的秩为4。（5分）个人收集整理 勿做商业用途四、证明题：1、 证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。（10分）2、设W，W是向量空间的两个子空间，那么它们的交W+ W也是V的一个子空间。（7分）3、设在向量组中，并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关。（7分）4、设向量可由向量组线性表示，证明表法唯一的充要条件是线性无关。（7分）高等代数试题13一、选择题：（3=9分）1、A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ）（A） AB0 （B） |A|=0(C) |AB|=0 (D) 2、若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关3、n维向量组 线性无关的充分必要条件是（ ）（A） 存在一组不全为零的数，使（B）中任意两个向量组都线性无关（C）中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示（D）中任意一个向量都不能由其余向量线性表示二填空：（3分）1、 ，x = _2、已知向量组线性无关，则t = _3、向量组的极大无关组的定义是_4、, 则f(4)=_三、计算题6、 解矩阵方程（9分）2、计算行列式 (9分)3、中的两向量组 ， （i）证明它们都是的基， (ii) 求第一个基到第二个基的过渡矩阵，(iii) 如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。（14分）4、 线性齐次方程组的基础解系 （10分）四、证明题1、设线性无关，证明也线性无关。（8分）2、设W，W是向量空间的两个子空间，那么它们的交W W也是V的一个子空间。（7分）3、（维数定理）设W和W都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么W+W也是有限维的，并且dim(W+W)=dim W+dim W-dim(WW)（12分）4、设向量组线性无关，且 证明线性无关的一个充要条件是（9分）高等代数试题14一、填空题（每小题3分，共15分）1设A为5阶方阵，且，则 ， ，A的伴随矩阵的行列式 。2多项式的最大公因式 。3设，则 。4把表成的多项式是 。5方程组有解的充要条件是 。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为四阶行列式，且，则（ ）（A）4 （B）（C） （D）82设A为任意阶可逆矩阵，k为任意常数，且，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）3下列对于多项式的结论不正确的是（ ）（A）如果，那么 （B）如果，那么（C）如果，那么，有（D）如果，那么4对于非齐次线性方程组AX=B其中，则以下结论不正确的是（ ）（A） 若方程组无解，则系数行列式。（B） 若方程组有解，则系数行列式。（C） 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解。（D） 系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件。5设，则的充要条件是（ ）（A）B=I （B）（C） （D）三、解下列各题（40分）1计算下列行列式(1)(2)2求的有理根。3讨论a取何值时，方程组有解，并求解。4求解矩阵方程四、证明下列各题（30分）1设，且，对于任意的，则有2令是n（n2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证：3设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中并且AC=CA，证明：4已知方阵A满足，试证：A可逆，并求出。高等代数试题15一、填空题（每小题3分，共15分）1把表成的多项式是 。2设，则 。3设，则的充要条件是 。4a ,b满足 条件时，实系数多项式有重因式。5方程组有解的充要条件是 。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设A为n阶方阵，为非零常数，则（ ）（A） （B）（C） （D）2设线性方程组，则（ ）（A）当取任意实数时，方程组均有解。（B）当时，方程组无解。（C）当时，方程组无解。（D）当时，方程组无解。3设A为3阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列千万行列式中与等值的是（ ）（A） （B）（C） （D）4设A、B为n阶方阵，则有（ ）（A）A，B可逆，则A+B可逆（B）A，B不可逆，则A+B不可逆（C）A可逆，B不可逆，则A+B不可逆（D）A可逆，B不可逆，则AB不可逆5下列对于多项式的结论不正确的是（ ）（A）如果，那么（B）如果，那么（C）如果，那么，有（D）如果，那么三、解下列各题（40分）1计算下列行列式（1）（2）2讨论a取什么值时，方程组有解，并求解。3求解矩阵方程4求的有理根。四、证明下列各题（30分）1令是n（n2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证：（1）（2）2设，则。3设A，B均为n阶方阵，证明：高等代数试题16一、 填空题（33=9分）1、 A相似于单位阵，A = 。2、 设A为3阶方阵，其特征值为3，1，2，则 |A| =。3、 当t满足条件，使二次型是正定的。二、 判断题（15=5分）1、若 是方程的一个基础解系，则是A的属于的全部特征向量，其中是全不为零的常数。 （ ）个人收集整理 勿做商业用途2、A、B有相同的特征值，则A与B相似。 （ ） 3、若f（x）无有理根，则f（x）在Q上不可约。（ ）4、两个本原多项式的和仍是本原多项式。 （ ）5、对于整系数多项式f（x），若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f（x）不可约。 （ ）个人收集整理 勿做商业用途三、 证明定理（102=20分）1、n个变量的二次型的一切主子式都大于零，则是正定的。2、令是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，那么线性无关。四、 计算题（104=40分）1、应该满足什么条件，有理系数多项式才能有重因式。2、求多项式的有理根。3、设 ，求一个正交矩阵，使是对角矩阵。4、 将二次型化为规范形，并指出所用的线性变换。五、 证明题（8+12=20分）1、（f，g）= 1，证明（fg，f + g）= 1 。2、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换，（ii）是对称变换，（iii）是单位变换。个人收集整理 勿做商业用途六、证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。（6分）高等代数试题17一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个不是的子空间； ； ； ； ；（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同； （2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关； （3）设线性无关，则也线性无关； （4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个3、（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基； （2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基； （3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基； （4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中不正确的有（ ）个。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个4、（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量； （2）属于线性变换的同一本征值的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法不正确的有（ ）个。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个二、填空题（每空3分，共18分）2、 复数域作为复数域上的向量空间，则_它的一个基为_。2、设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为_。3、设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是， ，则关于的坐标是_。4、矩阵的特征值是_。5、在欧氏空间里的长度为_。6、二次型的矩阵是_.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知是的一个基，求在该基下的坐标。2、设矩阵与相似，求。3、求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。4、取何值时，二次型正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域上向量空间的一个线性变换，如果的特征多项式的根都在内；对于的特征多项式的每一根，本征子空间的维数等于的重数。证明可以对角化个人收集整理 勿做商业用途2、设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明是正交变换。高等代数试题18一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个是的子空间； ； ； ； ；（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同； （2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关； （3）设线性无关，则也线性无关； （4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法正确的有（ ）个。（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个3、（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基； （2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基； （3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基； （4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个4、（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量； （2）属于线性变换的同一本征值的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式； （4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个二、填空题（每空3分，共18分）1、复数域作为实数域上的向量空间，则_它的一个基为_。2、设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为_。3、设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是， ，则关于的坐标是_。4、矩阵的特征值是_。5、在欧氏空间里的长度为_。6、二次型的矩阵是_.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知是的一个基，求在该基下的坐标。2、设矩阵与相似，求。3、求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。4、取何值时，二次型 正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域上向量空间的一个线性变换，如果 分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，证明线性无关。2、设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，证明是单位变换。 高等代数试题19一、 选择题（每小题 3 分，共15分）1、设阶矩阵，则正确的为 （ ）A B C D 2、设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是=（ ）A B C D 3、设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A. A-2I B. A-I C. A+I D. A个人收集整理 勿做商业用途4、设是矩阵，若（ ），则n元线性方程组有非零解。A B 的秩等于 C D 的秩等于5、如果矩阵,则 （ ）A 至多有一个阶子式不为零B 所有阶子式都不为零C 所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零D 所有低于阶子式都不为零二、填空题（每小题 3 分，共15 分）1、设行列式中，余子式，则_2、若9元排列1274i56k9是奇排列，则i=_,k=_3、设，则_4、设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为=_5、设使得=_三、 计算题（共60分）1 （10分）求n阶行列式2、（10分）已知，求3（10分）求解矩阵方程设4（10分）设非齐次线性方程组为试问:取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。5（10分）求多项式的有理根。6（10分）请把n元对称多项式表成是初等对称多项式的多项式一、 证明题（10分）设是中次数大于零的多项式，若不可约高等代数试题20一、 选择题（每小题 3 分，共15分）1、设方阵，满足，则的行列式应该有 （ ）A B C D 2、设为阶方阵的伴随矩阵，则=（ ）A B C D 3、设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ） A. A+2I B. A-I C. A+I D. A个人收集整理 勿做商业用途4、设是矩阵，若（ ），则n元线性方程组有非零解。A B 的秩等于 C D 的秩等于5、以下命题不正确的是 （ ）A 若B 集合是数域C 若没有重因式D 设重因式，则重因式二、填空题（每小题 3 分，共15 分）1、设行列式中，余子式，则_2、若9元排列1274i56k9是偶排列，则i=_,k=_3、设，则_4、设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为=_5、设使得=_三、 计算题（共60分）1.（10分）求n阶行列式2、（10分）已知，求3（10分）设，判断A是否可逆？若可逆请求。4（10分）设非齐次线性方程组为试问: 取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。5（10分）求多项式的有理根。6（10分）请把n元对称多项式表成是初等对称多项式的多项式二、 证明题（10分）设，证明：如果，那么对，中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制考试课程名称：高等代数模拟试题（1）答案 学时： 60 考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它考试内容：一、 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）（1）如果，则A，B各为 1，-2 。（2）设四阶方阵，则的逆阵。（3）设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为。（4）设阶矩阵的元素全为1，则的个特征值是 n，0，0，0，0 。（5）已知向量组，则该向量组的秩是 2 。二、 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）（1）下列运算中正确的是（ D ）（A） ； (B) ； (C) ； (D) 。（2）设阶矩阵的行列式，是的伴随矩阵，则（ C ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。（3）设阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ B ）（A）充分必要条件； (B) 充分而非必要条件；(C ) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。（4）设矩阵的秩为，为阶单位方阵，下述结论中正确的是（ C ）(A) 的任意个列向量必线性无关； (B) 的任意一个阶子式不等于零；(C) 若矩阵满足，则，或非齐次线性方程组，一定有无穷多组解 (D) 通过初等行变换，必可化为的形式。（5）设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）(A) 若仅有零解，则有唯一解；(B) 若有非零解，则有无穷多个解；(C) 若有无穷多个解，则仅有零解；(D) 若有无穷多个解，则有非零解；三、 (10分)解线性方程组解：由 得 进而有 解之得四、(10分)已知，其中，求矩阵。解：由 得 而 可逆试卷类别A卷B卷模拟班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任审核签字 可以求得 所以 =五、(10分)设集合V=，试证V构成一个线性空间，并说明它的维数是多少。证明：设 即 ，；于是 =由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的，根据定义可以知道，V构成一个线性空间。并且其维数是-1。六、(10分) 设阶方阵满足条件，其中是的转置矩阵，为单位矩阵。证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。证明：因为阶方阵满足条件，所以矩阵A是正交矩阵，即由于 ，所以与有相同的特征值。又 ， 所以 ， 即与的特征值互为倒数。 因此有 ， 即，或者七、（10分）已知二次型，通过正交变换化为标准型，求参数，并判断该二次型是否为正定二次型。解：二次型的矩阵，所以 ，而 ， 因此有 ，解之得 。由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。八、（10分）计算矩阵的约当（Jordan）标准形。解：首先计算矩阵A的初等因子，可知A的初等因子为 ，因此A的约当标准型为试卷类别A卷B卷模拟班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任审核签字 中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制考试课程名称：高等代数模拟试题（2）答案 学时： 60 考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它考试内容：一 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）（1）已知向量组，,则向量（-2，-2，-2，-2 ） 。（2）设四阶行列式，则的值为 3 。（3）设阶方阵的各行元素之和均为1，为线性方程组的一个基础解系，则线性方程组（其中列向量）的通解为 。（4）设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是 。（5）设行矩阵，则 。 。二 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）（1）下列运算中正确的是（ D ）（A） ； (B) ； (C) ； (D) 。（2）设阶矩阵的行列式，是的伴随矩阵，则（ A ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。（3） 设3阶矩阵的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ）(A) 的3个列向量必线性无关； (B) 的3个列向量必线性相关；(C) 的秩为2； (D) 的行列式为零。（4）设为两个多项式，而且满足和，则（ D ）（A）； (B) ；(C ) ； (D) ，c为非零常数。（5）设,则下列结论正确的是（ C ）(A) ； (B) 的维数是n；(C) 是子空间； (D) 不是子空间。三 (10分)解线性方程组解：此方程组的增广矩阵为由于A的秩等于B的秩，都为3，因此该方程组有解。对应齐次线性方程组的基础解系为，而容易求得该方程的一个解，所以该方程组的通解为 。试卷类别A卷B卷模拟班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任审核签字 四、(10分)已知矩阵，且，其中为三阶单位矩阵，求矩阵。解：由可得，而，所以有 =五、(10分)计算行列式的值。解：根据行列式的性质有六、(10分) 设阶对称矩阵正定，证明也是正定矩阵，其中表示的伴随矩阵。证明：因为阶对称矩阵正定，所以，并对任意的非零列向量X，恒有，从而由此说明, 的伴随矩阵也是正定矩阵。七、（10分）已知二次型，通过合同变换化为规范型，并求出所需的变换矩阵。解：二次形的矩阵，利用初等变换因此在变换下，原二次型变换为规范型八、（10分）设矩阵，求它的特征值和特征向量。解：请参考教材293页例2。中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制考试课程名称：高等代数模拟试题（3）答案 学时： 60 考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它考试内容：一、 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）（1）已知向量组，则该向量组的一个极大线性无关组是， 。（2）设四阶行列式，则的值是 3 。（3）设为阶正交矩阵，则的特征值是 1 或 -1 。（4）设阶矩阵的元素全为1，则的伴随矩阵=。（5）若阶矩阵满足，则方程的解 0 。二、 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）（1）设,则二次型等于（ D ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .（2）设阶矩阵的行列式，是的伴随矩阵，则（ C ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。（3）线性方程组有解的充分必要条件是（ B ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) . （4）设阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ B ）(A) 充分必要条件； (B) 充分而非必要条件；(C) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。（5）已知向量组线性无关,向量组线性相关,则（ D ）(A) 一定可由线性表示；(B) 一定可由线性表示；(C) 一定可由线性表示；(D) 一定可由线性表示；三、 (10分)计算行列式.解：=试卷类别A卷B卷模拟班级 姓名 成绩 使用学期 任课教师 韩世勤 教研室主任审核签字 四、(10分) 已知,是的伴随矩阵,且,求矩阵.解：由已知条件得 由于 所以所以五、(10分) 求矩阵的逆矩阵.解：利用初等变换所以六、(10分) 设是可逆实矩阵,证明是正定矩阵.证明：由知，是对称矩阵又，由于，所以是正定矩阵。（其中表示矩阵的转置）七、（10分）设3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为,求.解：根据已知条件，3对应的特征向量满足得所以，3对应的特征向量为令 进行标准化,令则有或八、（10分）设，与是什么数时，能被整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：，由已知， 方法二、由于能被整除，而的零点为1和-1，所以1和-1也应是的零点，即 和 解之即得 。考试名称： 高等代数模拟试题（4）答