高考中的零点问题

例析 2013 年高考中的零点问题 纵观 2013 年全国各个省市的高考题 有 9 个省市的数学高考题涉及了函数零点问题 且这部分知识往往渗透于综合题中 对思维能力有很高的要求 如何准确 快速地解决这 类问题呢 本文试作简单的分析 题型一 函数零点所在区间的判断题型一 函数零点所在区间的判断 例 1 2013 年重庆高考题 若则函数 cba 的两个零点分别位于区间 cxcxcxbxbxaxxf 则函数 解 因为 0 cabaaf0 abcbbf 且是二次函数 所以0 bcaccf xf 的两个零点分别位于区间 cxcxcxbxbxaxxf 函数 cbba 点评 运用零点存在性定理判断零点所在区间 必须结合端点函数值的符号和单调性 题型二 函数零点个数的判断题型二 函数零点个数的判断 例 2 2013 年天津高考题 函数的零点个数为 1log2 05 xxf x 解 令 即 设 01log2 05 xxf x x x 05 log 2 1 x xg 2 1 xxh 05 log 在同一个直角坐标中分别作出它们的图像 的图像与的图像的 x xg 2 1 xxh 05 log 交点个数有两个 故函数的零点个数为 2 个 1log2 05 xxf x 点评 对于很难用导数分析函数性质的问题 处理时往往转化为两个简单函数 借助 他们图象的交点判定原函数零点个数 例 3 2013 年江苏高考试题 设函数其中为实数 ln axexgaxxxf x a 若上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 在 1 xg xf 解 当时 必是单调增函数 当时 令解得 0 a xg0 a0 aexg xx ea 则 因为上是单调增函数 所以有 即 axln 在 1 xg1ln a 1 0 ea 结合上述两种情况有 1 ea 1 当 由以及 得存在唯一的零点 0 a 0 1 f0 1 x xf xf 2 当时 由于的定义域为 所以 故在0 a xf 0 0 1 a x xf xf 上是单调增函数 而 且函数 0 0 1 aaa eaaeaef 0 1 af 是连续函数 由零点存在性定理知 存在唯一的零点 xf xf 3 当时 令 解得 当时 1 0 ea0 1 a x xf 1 ax 1 0 ax 0 x f 当时 故是的最大值点 且最大值为 1 ax0 x f 1 ax xf1ln 1 aaf 若即 有一个零点 01ln a 1 ea xfex 若 即 有两个零点 01ln a 1 0 ea xf 实际上 对于 由于 函数 1 0 ea01 11 aeef01ln 1 aaf 是连续函数 所以上存在零点 又当时 xf 11 aexf在 0 1 ax 0 1 a x xf 故上是单调增函数 所以上只有一个零点 0 1 axf在 0 1 axf在 下面考虑在上情况 先证 xf 1 a0 11 2 aa eaaef 为此 我们要证明 当时 设 则 ex 2 xex 2 xexh x xexh x 2 再设 则 当时 xlxexh x 2 2 x exl1 x022 eexl x 所以在 上是单调增函数 当时 xlxexh x 2 1 2 x 从而在上单调增函数 于是0 2 42 2 hexexh x2 xexh x 2 当时 即当时 ex 0 22 eeehxexh ex ex 2 xex 当 即时 又 且函数 1 0 eaea 1 0 11 2 aa eaaef0 1 af 是连续函数 所以上存在零点 又当时 xf 1 1 a eaxf在 1 ax 0 1 a x xf 故上是单调减函数 所以上只有一个零点 1 axf在 1 axf在 综合 1 2 3 得当时 的零点个数为 1 1 0 eaa xf 当时 的零点个数为 2 1 0 ea xf 点评 本题用含有参变量的函数及函数零点知识作为载体 考查了分类讨论的数学思 想 其需要学生具有很强的分类讨论能力 对函数性质及图像的把握具有一定灵活性 严谨 性 题型三 函数交点个数的证明题型三 函数交点个数的证明 例 4 2013 年陕西高考题 已知函数证明 曲线与曲线 Rxexf x xfy 有唯一的公共点 1 2 1 2 xxy 解 曲线与公共点的个数等价于函数 Rxexf x 1 2 1 2 xxy 零点的个数 1 2 1 2 xxex x 因为 所以存在零点011 0 x 0 x 又 令则 1 xex x 1 xexxh x 1 x exh 当所以上单调递减 0 0 xhx时 在 0 1 xexxh x 当所以上单调递增 0 0 xhx时 在 01 xexxh x 因此在有唯一的极小值1 xexxh x 0 x 011 0 0 h 即在上的最小值为 0 1 xexxh x R 从而 当且仅当时等号成立 01 xex x 0 x 于是在上单调递增 因此在上有唯一1 2 1 2 xxex x R1 2 1 2 xxex x R 的零点 故曲线与曲线有唯一的公共点 xfy 1 2 1 2 xxy 点评 本题要证明指数函数与二次函数的交点个数问题 可把函数交点问题转化为函 数零点问题 利用函数的单调性及零点存在性定理来解决 探讨函数与 xfy 图像的交点问题时 常可以通过构造函数 研究函数 xgy xgxfx 性质 单调性 极值点 来确定零点个数 x 题型四 据零点求参数题型四 据零点求参数 例 5 2013 年四川高考题 设函数 为自然对数的底数 若axexf x eRa 曲线上存在 使得 则的取值范围是 xysin 00 yxP 00 yyff a 解 因为 所以 又因为在函数上 所以 00 yyff 0 0 y 00 yxxysin 1 0 y 所以问题转化为在上有解 xxff 1 0 若在上恒成立 则 则在上无xxf 1 0 xxfxff xxff 1 0 解 同理若在上恒成立 则 xxf 1 0 xxfxff 所以在上有解等价于所以在上有解xxff 1 0 xxf 1 0 即 1 0 2 xexxaaxex xx 令 所以 1 0 2 xexxxg x 1 0 012 xexxg x 故 上单调递增 1 0 2 xexxxg x在 所以 1 ae 点评 本题与三角适当综合 要解决此题首先要把其转化为函数零点问题 再分离参数 求解 分离参数后 一般采取通过导数研究函数性质 有时借助相应函数图像来解决问题 题型五 复合函数的零点个数题型五 复合函数的零点个数 例 6 2013 年安徽高考题 若函数有极值点 且cbxaxxxf 23 21 x x 则关于的方程的不同实数根的个数是 11 xxf x0 2 3 2 bxafxf 解 由已知函数有极值点 所以方程cbxaxxxf 23 21 x x 的两根分别是 故要的方程023 2 baxxxf 21 x xx 成立 只要或 又 因此当0 2 3 2 bxafxf 1 xxf 2 xxf 11 xxf 是极大值点时 有两个根 仅有一个根 当是 1 x 21 xx 1 xxf 01 x x 2 xxf 3 x 1 x 极小值点时 有两个根 仅有一个根 如下图 21 xx 1 xxf 01 x x 2 xxf 3 x 综上所述 关于的方程的不同实数根的个数是 3 个 x0 2 3 2 bxafxf 点评 本题是以三次函数极值点为载体