浙江省杭州市2012-2013学年高二数学3月月考试题 理 新人教A版

1 西湖高级中学西湖高级中学 2012 20132012 2013 学年高二学年高二 3 3 月月考数学理试题月月考数学理试题 一 选择题 每小题 4 分 共 40 分 1 在复平面内 复数对应的点位于 1 i i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 设 a b c d R 则复数 a bi c di 为实数的充要条件是 A ad bc 0 B ac bd 0 C ac bd 0 D ad bc 0 3 在区间上的最大值是 32 32f xxx 1 1 A 2 B 0 C 2 D 4 4 已知函数 y f x 在区间 a b 内可导 且 x0 a b 则 h hxfhxf n 00 0 lim 的值为 A f x0 B 2 f x0 C 2 f x0 D 0 5 f x ax3 3x2 2 若 f 1 4 则 a 的值为 A B C D 19 3 16 3 13 3 10 3 6 设 y 8x2 lnx 则此函数在区间 0 和 1 内分别为 1 4 1 2 A 单调递增 单调递减 B 单调递增 单调递增 C 单调递减 单调递增 D 单调递减 单调递减 7 曲线 y x3 x 2 在点 P0处的切线平行于直线 y 4x 1 则点 P0点的坐标是 A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 1 4 8 设 y loga a 0 a 1 则 y x x 1 A B lna C logae D logae 1 1 xx 1 1 xx 1 1 xx 1 1 xx 9 有甲 乙 丙 丁四位歌手参加比赛 其中只有一位获奖 有人走访了四位歌手 甲说 是乙或丙获奖 乙说 甲 丙都未获奖 丙说 我获奖了 丁说 是乙获 奖 四位歌手的话只有两句是对的 则获奖的歌手是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 10 当时 有不等式 0 x 2 A B 当时 当时 1 x ex 0 x 1 x ex 0 x 1 x ex C D 当时 当时1 x ex 0 x 1 x ex 0 x 1 x ex 二 填空题 4 小题 共 20 分 11 y x2ex的单调递增区间是 12 函数 y x 2cosx 在区间 0 上的最大值是 2 1 13 观察圆周上 n 个不同点之间所连的弦 发现两个点可以连一条弦 3 个点可以连 3 条 弦 4 个点可以连 6 条弦 5 个点可以连 10 条弦 即 由此规律可归纳得出 2 1 3 3 4 6 5 10ffff f n 2 n 14 已知函数在上单调递减 在上单调递增 32 25fxxaxx 2 1 3 1 且函数的导数记为 则下列结论正确的是 填序号 fx fx 是方程的根 1 是方程的根 有极小值 2 3 0fx 0fx 1f 有极大值 2 3 f 1 2 a 15 若三角形的内切圆的半径为 三边长为 则三角形的面积 根r a b c 1 2 sr abc 据类比的思想 若四面体的内切球的半径为 R 四个面的面积为 则四面体 1234 s s s s 的体积 V 三 解答题 每小题 10 分 共 40 分 16 用数学归纳法证明 12 22 n2 n N N n n 1 2n 1 6 17 设函数f x 32 23 1 1 1 xaxa 其中 求f x 的单调区间 讨论f x 的极值 3 18 已知 a b cR 求证 222 abcabbcac 若 利用 的结论求的最大值 1abc abbcac 19 把边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长为cm 的相等的正方形 然后折成一个x 高度为cm 的无盖的长方体的盒子 要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数x 0 k k 用和表示出长方体的体积的表达式 并给出函数的定义域 xk VV x 问取何值时 盒子的容积最大 最大容积是多少 x 第二部分 加试题第二部分 加试题 说明 月考成绩为第一部分得分除以 说明 月考成绩为第一部分得分除以 2 2 再加上第二部分得分 再加上第二部分得分 2 若 f x x3 ax2 3x 在 x 1 上是增函数 则实数 a 的取值范围 4 3 若不等式 0 对于满足条件 的实数 恒成立 accbba 11 abcabc 则实数的取值范围是 4 已知直线 yk xm 与抛物线 2 2 0 ypx p 交于两点 且OAOB 又BA ODAB 于 若动点的坐标满足方程 22 40 xyx 则m DD 二 解答题 二 解答题 每题 15 分 共 30 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1ABAC 90BAC 若异面直线 1 AB 与 11 BC所成的角为60 求棱柱的高 h 设 D 是 1 BB 的中点 1 DC 与平面 11 ABC所成的角为 当棱柱的高变化时 求sin 的最大值 h 16 已知函数 b 为常数 bxxxgxxf 2 2 1 ln 函数的图象在点 处的切线与函数的图象相切 求实数的值 xf 1 1 f xgb 设 若函数在定义域上存在单调减区间 求实数的取值范 xgxfxh xhb 围 参考答案参考答案 2 假设当n k k N N 时等式成立 即 12 22 k2 k k 1 2k 1 6 那么 12 22 k2 k 1 2 5 k 1 2 k k 1 2k 1 6 k k 1 2k 1 6 k 1 2 6 k 1 2k2 7k 6 6 k 1 k 2 2k 3 6 k 1 k 1 1 2 k 1 1 6 即当n k 1 时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n N N 都成立 17 解析由已知得 令 解得 6 1 fxx xa 0fx 12 0 1xxa 当时 在上单调递增 4 分1a 2 6fxx f x 当时 随的变化情况如下表 1a 61fxx xa fxf xx x 0 0 0 1 a 1a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 从上表可知 函数在上单调递增 在上单调递减 f x 0 0 1 a 在上单调递增 8 分 1 a 由 知 当时 函数没有极值 当时 函数 在处1a f x1a f x0 x 取得极大值 在处取得极小值1xa 18 一 证明 222222 2 2 2abab cbbc acac 两式相加可得 222 abcabbcac 当且仅当时等号成立 abc 2222 1 2 3 abcabcabbcacabbcac 则 当且仅当时等号成立 1 3 abbcac abc 19 解析 1 设长方体高为cm 则底面边长为 x 602030 x cmx 长方体容积 单位 cm3 VV xxxx x 602430 22 即函数定义域为 x x kx k k602 0 60 21 0 60 21 k k 2 V xxx xxx 430830430 330 2 123010 xx 令于是 V xxx 01030 解得 不合题意舍去 x 0 10 10 10 30 V x 0 V x 当在 x 10 时 V 取得最大值为10 60 21 1 4 k k k 即时 Vmax 402016000 2 当取得最大值 60160 100 21421 k kx kk 即时 在时 V V k k max 216000 21 3 6 加试部分加试部分 1 2 3 4 4 4 8 3 6 0a 5 解法 1 由三棱柱是直三棱柱可知 即为高 111 CBAABC 1 AA 如图 1 因为 所以是异面直线与所成的角或其补角 11 CBBCBCA1 BA1 11C B 连接 1 AC 因为ABAC 所以 2 111 1ABACAA 在 Rt ABC中 由1ABAC 90BAC 可得2BC 3 分 又异面直线 1 AB 与 11 BC所成的角为60 所以 1 60ABC 即 1 ABC 为正三角形 于是 111 2ABBC 在 Rt 1 A AB 中 由 2 11 12AAAB 得 1 1AA 即棱柱的高为1 6 分 设 1 0 AAh h 如图 1 过点 D 在平面 11 AB BA 内作 1 DFAB 于F 则 由 11 AC 平面 11 BAAB DF 平面 11 BAAB 得 11 ACDF 而 1111 ACABA 所以DF 平面 11 ABC 故 1 DC F 就是 1 DC 与平面 11 ABC所成的角 即 1 DC F 9 分 因为异面直线 1 AB 与 11 BC所成的角60 所以 111 111 cos60 BCAB BCAB 4 分 即 2 11 2 21a 得 2 12h 解得1h 6 分 由 D 是 1 BB 的中点 得 1 0 2 h D 于是 1 1 1 2 h DC 设平面 11 ABC的法向量为 x y z n 于是由 1 AB n 11 AC n 可得 1 11 0 0 AB AC n n 即 0 0 xhz y 可取 0 1 h n 8 分 7 于是 1 sin cos DC n 而 1 1 42 22 1 2 cos 1 98 12 4 h h DCh DC DC hh hh n n n 12 分 令 42 2 2 1 8 98 9 h f h hh h h 因为 2 2 8 92 89h h 当且仅当 2 2 8 h h 即 4 8h 时 等号成立 所以 112 21 781 92 8