2012高考数学最后冲刺 不等式

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 不等式的概念与性质均值 2 不等式的应用不等式的证明 3 不等式的解法不等式的综合应用 4 不等式的概念与性质 5 不等式的解法 6 不等式的证明 7 不等式的工具性 8 不等式的实际应用 易错点易错点 1 1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质 1 2012 精选模拟题 如果 a b c 满足 c b a 且 acac B c b a 0 C cb2 ab2 D dc a c c 而 ab ao 不一定成立 原因是不知 a 的符号 错解分析 由 d b c 且 acc 故 a 0 cb c 且 ac 0 故 a 0 且 cc 又 a 0 ab ac 2 b a 0 c0 D a c 0 ac O ac a c ab a b a b 2 b a a b 中 正确的不等式有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 错误解答 A 只有 正确 显然不正确 中应是 b a a b 2 故 也错 错解分析 中忽视 与 不可能相等 a b 故a b b a 正确解答 B 方法 1 运用特值法 如 a b 3 方法 2 运用性质由 0 11 ba 则 b a 0 故而判断 3 2012 精选模拟题 对于 0 a 1 给出下列四个不等式 用心 爱心 专心 2 loga 1 o loga 1 a 1 a1 aa a 1 1 其中成立的是 A 与 B 与 C 与 D 与 错误解答 B 1 a 1 a 1 故 1oga 1 a loga 1 a 1 成立 故有 3 个不可能成立 即 alg2 1 big3 1 a1g2 blg3 又 1g2 b a0 时 a b ba 11 不能弱化 条件变成 ba ba 11 也不能强化条件变为 a b 0 ba 11 变式训练 1 若 a b 0 且 ab 0 则下列不等式中能成立的是 A ba 11 B aba 11 C 2 1 log 2 1 logba D bn 2 1 2 1 易错点易错点 2 2 均值不等式的应用均值不等式的应用 1 2012 精选模拟题 设 a 0 b 0 则以下不等式中不恒成立的是 A 4 11 ba ba B 2 2 33 abba C baba222 22 D baba 错误解答 Di baba 不一定大于或等于 ba 错解分析 D 中直接放缩显然不易比较 正确解答 B A a b 2ab 4 11 1 2 11 时取ba ba ba abba 成立 C a2 b2 2 a2 1 b2 1 2a 2b 当且仅当 a b 1 时取 成立 D 两边平方 a b a b 2 baab a b a b 2 ab或 a b a b 2ab当ba 时显然成立 解得 a b 或 a b 成立 用心 爱心 专心 4 2 2012 精选模拟题 设 x 0 则函数 f x sinx xsin 4 的最小值是 A 4 B 5 C 3 D 6 错误解答 因为 x 0 所以 sinx 0 xsin 4 0 f x sinx x x xsin 4 sin2 sin 4 4 因此 f x 的最小值是 4 故选 A 3 2012 精选模拟题 设 a 0 b 0 a2 2 2 b 1 求 a 2 1 b 的最大值 错误解答 0i2 2 1 2 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ba baba i4 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 a b aa a 0 时取等号 错解分析 并非定值 正确解答 为利用均值不等式时出现定值 先进行适当的 凑 配 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 b a b aba b a b a 2 1 4 23 2 2 3 2 2 b fa 当且仅当 时取 特别提醒 用心 爱心 专心 5 利用均值不等式求最值时必须满足 一正 二定 三等 尤其是等号成立的条件 必 须验证确定 而要获得定值条件有时要配凑 要有一定的灵活性和变形技巧 利用均值不等式解决实际问题 证明不等式时 要会利用函数的思想和放缩法 变式训练 1 已知 2 2 1 222222 的最小值为则cabcabaccbba 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 DC BA 答案 B 解析 联立 2 2 1 22 22 22 ac cb ba 2 1 2 111 yx 1 又 0 m 1 b c 故 a b c 3 31 3 1 0 2 xxxx此时的最大值是则若 答案 9 2 243 4 解析 x2 1 3x 2 3 x x 3 2 2x 243 4 当且仅当 x 3 2 2x 即 x 9 2 时 取得最大值243 4 易错点易错点 3 3 不等式的证明不等式的证明 用心 爱心 专心 6 1 2012 精选模拟题 设函数 0 1 1 x x xf 证明 当 0 a1 点 P xo yo 0 xo 1 在曲线 y f x 上 求曲线在点 P 处的切线与 x 轴和 y 轴的正向 所围成的三角形面积表达式 用 xo表示 2 1 11 1 10 xa xfyx f 10 1 0 2 0 0 x x x 曲线 y f x 在点 1 0 2 0 000 xx x yyyx 处的切线方程为 即 2 2 1 2 1 0 0 2 2 2 00 0 0 00 0 0 2 0 xxA x x xxyx x x x x y 故所求面积表达式为 和轴正向的交点为轴切线与 错解分析 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件 正确解答 证法一 因 f x 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1上是增函数而在上是减函数在故 xf x x x x x 1 1 222 11 1 11 1 10 0 abab abbaab ba ba babfafba 即故 即 和得且由 证法二 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 矛盾与可得同号与若得由baba babqba bfaf 1 1 222 11 2 111 11 1 1 1 1 1 abab abbaab ba baba ba 即故 即 即 必异号与故 122 0 2 0 221 1 21 1 1 1 1 1 1 2222 22 22 ababbaab ba baabba ab ba ba ab b b a a ba bfaf 考场错解 用心 爱心 专心 7 解法一 0 x1 求证 b2 2 b 2c 用心 爱心 专心 10 t x1 t 1 x2 0 即 t2 bt c x1 2 已知数列 1 1 1 1 x x xx xx n n nn满足 问是否存在 m N 使 xm 2 并证明你的结论 答案 假设存在 m N 使 xm 2 则 2 1 4 1 1 m m x x xm 1 2 同理可得 xm 2 2 以此类推有 x1 2 这与 x1 1 矛盾 故不存在 m N 使 xm 2 试比较 xn与 2 的大小关系 设 22 2 2 1 1 n i n inn anxa时求证当 答案 当 n 2 时 xn 1 2 1 4 n n x x 2 1 2 n n x x 1 1 3 1 1 4 1 2 11 x xx x x x x nn n n n n 又 则 xn 0 xn 1 2 与 xn 2 符号相反 而 x1 12 以此类推有 x2n 12 3 22 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4 2 1 1 1 3 1 1 4 112 1 1 1 1 1 1 11 n n n n i nn nn n n n n n n n nn n n ai naaa x x x x x x xx xx x x 则 易错点 4 不等式的解法 1 2012 精选模拟题 在 R 上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1 解关于 x 的不等式 x kxk xf 2 1 错误解答 2 2 2 1 8 4 16 9 3 9 0124 3 1 22 21 x x x xf b a ba ba x bax x xx所以解得得分别代入方程将 1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 kxk xkxkxkx kxkx x kxk x x 故又 即 错解分析 2 问中两边约去 2 x 并不知 2 x 的符号 正确解答 1 同错解中 1 0 1 2 0 2 1 2 1 2 2 22 kxxx x kxkx x kxk x x 即可化为不等式即为 当 1 k0 解集为 x 1 2 2 当 k 2 时 解集为 x 1 2 k 3 2012 精选模拟题 设函数 f x kx 2 不等式 f x 6 的解集为 1 2 试求不等式的 log 10 1 log 6 ax xf aa 的解集 并不能使之成立 正确解答 kx 2 6 kx 2 2 36 用心 爱心 专心 12 即 k2x2 4kx 32 0 由题设可得 2 1 32 2 1 4 2 2 k k k 解得 k 4 f x 4x 2 1 log 24 6 log 10 1 log 6 log x x ax xf aa aa 得由 x x x x 1 24 6 01 024 则 由 解得 2 1 x 由 解得 x 1 由 得 2 2 1 2 1 0 12 2 12 xx x xx 或 2 1 2 1 xx原不等式的解集为 4 2012 精选模拟题 设对于不大于 2 1 4 5 2 的取值范围求实数亦满足不等式的一切实数如果满足不等式的所有正实数baxxbaxa 错误解答 A x a b x a b 4 5 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 22 aaab aab aba aba BAaxaxB 或 必成立故 由题设知 4 1 2 1 2 1 4 3 16 3 22 aaab 16 13 4 1 b 故 4 3 4 1 b 错解分析 在求 b 的范围时 应考虑必成立的条件 如 4 3 16 13 2 1 2 1 22 aaaab 用心 爱心 专心 13 16 13 b 才能上式恒成立 正确解答 A x a b x a b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 必成立故 由题设知 aba aba BA axaxB 16 3 0 0 16 13 4 1 16 13 4 1 2 1 16 3 4 3 16 13 2 1 4 5 0 2 1 2 1 2 2 22 bb b baa baa aaabaab 故又 从而 从而 必成立和即 特别提醒 0 sin 2 0 1 x2 sin2 cos2 x2 1 又 cos 0 1 x cos 或 cos x0 时 原不等式为 1 2 x x x 1 x 1 x 1 当 x0 且 x 0 x 1 综上 可得 x x1 易错点易错点 5 5 不等式的综合应用不等式的综合应用 1 2012 精选模拟题 已知函数 f x ax 8 1 2 1 4 1 6 1 2 3 2 xfxx时又当的最大值不小于 求 a 的值 设 0 a 1 1 2 1 11 n anafa nnn 证明 错误解答 1 由于 f x 的最大值不大于 1 6 1 6 3 6 1 2 2 a aa f即所以 又 1 8 1 2 1 8 1 4 1 8 1 2 1 4 1 a f f xfx时 由 可得 a 1 2 1 2 1 2 3 2 3 nnn nnn aaa aaaa 即 i 当 n 1 时 0 a1 2 1 结论成立 ii 假设 则即不等式成立时 1 1 1 k akkn k 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 12 1 1 2 3 1 1 2 3 1 222 2 2 1 不等式成立可知由 时命题成立故 时 iii kn k k k k k k k kk aaakn kkk 错解分析 在证明不等式时 运用放缩法应有理论依据 不能套结论 而且放缩不能 过大或过小 正确解答 解法 由于 6 1 2 3 2的最大值不大于 xaxxf 用心 爱心 专心 15 1 8 1 32 3 4 8 1 8 3 2 8 1 4 1 8 1 2 1 8 1 2 1 4 1 1 6 1 6 3 2 2 a a a f f xfx a aa f 解得即所以 时又 即所以 由 得 a 1 证法一 i 当 1 1 0 2 1 0 1 1 成立不等式时 n aan n 1 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 0 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 0 3 1 2 3 1 1 0 2 2 3 1 6 1 0 3 2 0 0 22 1 2 12 不等式也成立时所以当 于是有 得所以由 为增函数在知的对称轴因为成立不等式时假设 时不等式也成立故所以因 kn k kk k kkk k k a k faf k a xfxxxxf k akkn nafaxxf k k k k ii 1 2 1 0 1 2 2 1 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 0 2 3 1 0 2 2 3 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 1 1 1 1 22 1 1 不等式也成立时因此当 于是 所以因 时则当即时不等式成立假设 成立不等式时当证法二 成立不等式对任何可知根据 kn k a akak aak aakaak k aaa kn k akkn n aan n an k kk kk kkkkkkk k n n ii i iii i根据 ii 可知 对任何 n N 1 1 n an不等式 成立 证法三 1 1 0 2 1 0 1 1 成立不等式时当 n aan n i 用心 爱心 专心 16 2 1 2 1 22 12 2 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 0 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 kkk k kk aaa k a k k aaaa k akn k akkn kkk k kkkk kk ii 则若 则若时则当时假设 由 知当 n k 1 时 不等式 1 1 0也成立 n an 1 1 成立不等式对任何可知根据 n an n iii 2 2012 精选模拟题 六 一节日期间 某商场儿童柜台打出广告 儿童商品按标价的 80 出售 同时 当顾客在该商场内消费满一定金额后 按如下方案获得相应金额的奖券 如表所示 消费金额 元 200 4 00 400 500 500 700 700 900 获奖券的 金额 元 3060100130 依据上述方法 顾客可以获得双重优惠 试问 若购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 对于标价在 500 800 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可得到不小于3 1 的优 惠率 错误解答 1 33 1000 1302 01000 设商品的标价为 x 元 则 500 x 800 由已知得 用心 爱心 专心 17 800500 800500 3 11302 0 800500 3 11002 0 x x x x x x x 解得 或 一定要注意成立的条件 易忽视 一正 二定 三等 2 运用不等式解决实际问题时 首先将实际问题转化为函数的最值问题 从而运用不 等式求最值 注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑 变式训练 loglog log log 1 log 2 loglog loglog 11 11 2 ababD aC abB abA ba baba b ba ba 是则下列结论中不正确的若 答案 D 解析 1 a 1 b 1 由倒数法则 0 b alogtba 1 0 logba logab logba 故选 D 2 已知不等式 x2 2x a 0 时 任意实数 x 恒成立 则不等式 a2x 1 ax2 2x 30 对 x R 恒成立 1 用心 爱心 专心 18 不等式 a2x 1 ax2 2x 3a x2 ax 2a2 0 x a 当 x a 不等式显然无解 2 函数 y f x 是圆心在原点的单位圆的两段圆弧 如图 与 y 轴无交点 则不等式 f x 2 x 即可求解 答案 A 由已知有 f x 为奇函数 则原不等式变形为 f x 2 x 画图可知 A 正确 所以 选 A 3 函数 4 3 9 9 sin 2 xx xgxxf 则使 g x f x 的 x 的取值范围是 解析 利用数形结合法 答案 D 用数形结合法 分别作出 f x sinx 和 g x 9 xxfxgx x 当的上方的图象在时当从图像中观察的图象 6 5 6 2 3 2 1 2 6 5 6 Dxfxg所以选时 6 5 6 3 4 3 2 3 2 0 DC BA 用心 爱心 专心 20 4 解关于 x 的不等式 0 9 2 2 a a axx 2 f 1 1 3 若 x1 0 x2 0 x1 xz 1 则有 f x1 x2 f x1 f x2 试求 f 0 的值 试求函数 f x 的最大值 试证明 当 x 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 xfxfxxxf x 时当时 解析 1 赋值法 2 变形 f x2 f x2 x1 x1 即可求函数 f x 的最大值 答案 令 1 0 0 0 0 00 3 0 21 又条件即可得依条件 ffffxx 得 f 0 0 f 0 0 任取 1 0 10 11211221221 xfxxfxxxfxfxxxx 则可知 1 1 1 1 10 0 121212 有最大值时当因此 有时于是当故即 xfxfxf xxfxfxxfxfxf 2 2 2 1 0 21 1 2 1 cxfxfxfxfxxxfx 时当时当 2 2 1 xfxf 设 y f x 的定义域为 R 当 x1 且对任意的实数 x y R 有 f x y f x f y 成立 数列 an 满足 a1 f 0 且 f an 1 2 1 n af n 1 判断 y f x 是否为单调函数 并说明理由 用心 爱心 专心 21 2 1000 1 2 1 1 21 1 请说明理由如不存在合如存在请找出这样的集成立时都有当问是否存在无限集记设MTMnMbbbT aa b nnn nn n 3 若不等式 12 1 1 1 1 1 1 21 的最大值求均成立对一切knnk aaa n 解析 1 利用函数的单调性证明 2 裂项法求出 Tn再解不等式 3 利用函数的单调 性求 k 的最大值 答案 1 设 1 1 11212121212 xfxxfxfxfxxfxfxfxx 则 时隔不久当又由已知所以又所以又由已知得令对0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 xxfxfxfxfffffffyxyfxfyxf 0 2 1 2 1 0 1 0 1 0 12121 上为单调减函数在所以可知由且上所以在所以时RxfxfxfxxfxfRxfxf 12 1 0 2 1 0 2 1 2 2 1 2 11 111 nafaaa Rxffaafafafn af af nnn nnnn n n 上为单调减函数在知由由已知有得由 12 1 1 2 1 12 1 12 1 2 1 12 12 1 n T nnnn b nn 250 250 1000 1 12 1 2 1 1000 1 2 1 即可取存在这样无限集则若 nnnMMn n Tn 3 由 12 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 21 21 nF n aaa knk aaa n n 设恒成立知恒成立 32 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 121 1 21 n aaa F n aaa n n n 则 3 3 2 3 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 4 1 2 1 2 的最大值为即 即又 kkFnF nFnF n n nf nf 难点难点 4 4 不等式的工具性不等式的工具性 1 若直线 2ax by 2 0 a b 0 始终平分圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的周长 则 ba 11 的最小值 是 A 4 B 2 C 4 1 D 2 1 解析 利用重要不等式求最小值 答案 A 直线 2ax by 2 0 过圆心 1 2 a b 1 4 11 ba ba 2 已知函数 f x ax2 8x 3 ab c 已知 f 1 0 且存实数 m 使 f m a 试推断 f x 在区间 0 上是否为单调函数 并说明你的理由 设 g x f x bx 对于 x1 x2 R 且 x1 x2 若 g x1 g x2 0 求 x1 x2 的取值范围 求证 f m 3 0 解析 由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断 2 由根与系数的关系求出 a b c 的关系 从而转化为二次函数的最值 答案 1 f m a m R 方程 ax2 bx c a 0 有实根 b2 4a a c 0 f 1 0 a b c 0 即 a c b b2 4a b b b 4a 0 a b c a 0 c0 b 0 x 0 2 a b f x 在 0 上是增函数 2 据题意 x1 x2是方程 g x 0 即 ax2 2bx c 0 的两实根 4 444 4 2 2 2 22 2 21 2 21 2 21 acca a acb a a c a b xxxxxx 3 2 1 4 1 4 22 a c a c a c 32 2 4 9 4 1 2 1 1 0 202 21 2 xx a c a c bca a c cacaba 又 3 f 1 0 设 f x a x 1 x a c 用心 爱心 专心 23 0 1 3 1 3 210 01 1 1 fmfm mm a c a c a c mm a a c mmaamf 难点难点 5 5 不等式的实际应用不等式的实际应用 某机关在 精简人员 中 对部分人员实行分流 规定分流人员在第一年可到原单位领 取工资的 100 从第二年起 以后每年只能在原单位按上一年的3 2 领取工资 该机关根据分 流人员的特长计划创办新的经济实体 该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体 该经济实体预计第一年属投资阶段 没有利润 第二年每人可获 b 元收入 从第三年起每人 每年的收入可在上一年基础上递增 50 若某人在分流前工资收入每年为 a 元 分流后第 n 年总收入为 an元 1 求 an 2 27 8 最少收入是多少这个人哪一年收入量少时当ab 当 8 3 超过分流前的收入人分流后的年收入永远是否一定可以保证这个时ab 解析 建立数学模型 求出 an 再运用重要不等式求 an的最小值 解不等式 答案 1 即时当 501 3 2 2 2 1 1 n n n baanaa 2 3 2 3 2 1 31 nba na a nn n 2 时取等号即而且仅当时当时当3 2 3 27 8 3 2 9 8 2 3 27 8 3 2 2 2 3 27 8 3 2 2 27 8 2121 2 21 naaaanab nnnnnn n 3 aaaaaaabn nnnn n 2121 2 3 8 3 3 2 2 2 3 8 3 3 2 8 3 2时当 8 3 24 25 8 3 3 2 2 2 2 3 2 log1 2 1 log1 2 1 log1 2 3 8 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 21 分流前的年收入流后的年收入永远超过一定可以保证这个人分时故当 时但当有时当故等号不成立而时取等号即仅当 abaa aaanaann n nn 2 某地区发生流行性病毒感染 居住在该地区的居民必须服用一种药物预防 规定每人每 天早晚八时各服用一片 现知该药片含药量为 220 毫克 若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这 种药的 60 在体内的残留量超过 386 毫克 含 386 毫克 就将产生副作用 1 某人上午八时第一次服药 问到第二天上午八时服完药时 这种药在他体内还残留 多少 2 长期服用的人这种药会不会产生副作用 用心 爱心 专心 24 解题思路 依题意建立数列模型 写出 an an 1的关系式 求出 an的范围 解答 1 依题意建立数列模型 设人第 n 次服药后 药在体内的残留量为 an毫克 则 2 343 6 01 220 4 10220 220 2321 aaaa 2 由 an 220 0 4an 1 n 2 可得 an 2 3 1100 4 0 3 1100 1 nan 386 3 1100 04 0 3 1100 3 1100 3 1100 1 1 不会产生副作用 是一个等比数列所以 n n nn a aaa 典型习题导炼典型习题导炼 12 6 2612 2612 DC BA 答案 A 解析 略 3 已知奇函数 f x 在 0 上为减函数 且 f 2 0 则不等式 x 1 f x 1 0 的解集为 A x 3 x 1 B x 3 x2 C x 3 x3 D x 1 x 1 或 1 x0 得 0 1 01 xf x 由题 11 21 1 1 1 01 31 21 01 2 1 01 x x x fxf x x x x fxf x 设 4 函数 f x 是 R 上的增函数 A 0 1 B 3 1 是其图像上的两点 那么 f x 1 1 的解集 是 用心 爱心 专心 25 A 1 4 B 1 2 C 1 4 D 1 2 答案 B 易知过 A B 两点的直线即 y 3 2 x 1 即 f x 3 2 x 1 是增函数 由 f x 1 3 2 x 1 1 得当 1 1 1 3 2 1 1 xxf时 21 3 102 1 3 2 0 1 1 3 2 1 xxxx即即 5 已知 f x 1 55 0 0 2 的解集为则不等式 xxf xx xx A x 1 x3 或 x 2 C x 1 x 2 或 3 x 4 D x x 0 答案 C 解析 略 6 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 的解集为 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 答案 D 解析 设 F x f x g x F x f x g x f x g x F x F x 为奇函数 又 x0 x0 时 9 x 也为增函数 F 3 f 3 g 3 0 F 3 F 3 0 如图为一个符合题意的图象观 察知 9 x f x g x logb x 4 的解集是 用心 爱心 专心 26 答案 x x0 所以 2 bx 在 0 1 上递减 由已知可知 0 b 1 所以原不等式等价于 0 x 2 x 4 解得 x x0 时 f x x 1 3 4 nmnmxfx x 则有最小值为的最大值为记时当 答案 依题意 x 3 1 时 f x f x x x 4 x x 4 m f 1 5 n f 2 4 m n 1 9 定义符号函数 sgnx 12 2 01 00 01 sgn 的解集是则不等式 x xx x x x 答案 2 解析 略 10 已知关于 x 的不等式 0 5 2 M ax ax 的解集为 1 a 4 时 求集合 M 答案 当 a 4 时 原不等式可化为 0 4 54 2 x x 即 4 x 4 5 x 2 x 2 0 x 2 4 5 2 故 M 为 2 4 5 2 2 若 3 M 且 5 M 求实数 a 的取值范围 答案 由 3 M 得 a a 2 3 53 9 或 a 3 5 由 5 M 得 a a 2 5 55 0 1 a25 由 得 1 a 3 5 或 9 a 25 因此 a 的取值范围是 1 3 5 9 25 11 已知函数 f x 对任意实数 P q 都满