湖北省2013届高三数学第二次阶段性检测试卷 理 新人教A版VIP

用心 爱心 专心 湖北省部分重点中学湖北省部分重点中学 2012 2013 学年度第二次联考理科数学试卷学年度第二次联考理科数学试卷 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有一项是符合题目要求的 1 已知为虚数单位 且 则的值为 x yR i 2 1xiyi 1 x yi A 4 B C D 4 44i 2i 2 不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是 2 210axx A B C D 1a 1a 01a 0a 3 现有甲 乙 丙 丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动 若每个社区至少一名义 工 则甲 乙两人被分到不同社区的概率为 A B C D 4 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 5 已知数列为等差数列 为等比数列 且满足 n a n b 则 10121000 aa2 141 bb 87 20111 1 tan bb aa A 1 B C D 1 3 3 3 6 已知 由xdxNdxxM 2 0 1 0 2 cos 1 如右程序框图输出的 S A B 1 2 C D 4 1 输出S 结束 否 开始 输入 M N NS MS NM 是 用心 爱心 专心 7 已知点表示的平面区域内的一个动点 且 1 4 0 x x yxy axbyc 是不等式组 目标函数的最大值为 7 最小值为 1 则的值为2zxy abc a A 2B C 2D 1 1 2 8 设函数 若 则函数的各极大值之和为 cos sin xxexf x 20120 x xf A B C D e ee 1 1 1006 2 2012 1 1 e ee 2 1006 1 1 e ee e ee 1 1 2012 9 已知是锐角三角形的外接圆的圆心 且 若OABC A 则 coscos 2 sinsin BC ABACmAO CB m A B C D 不能确定sin cos tan 10 设抛物线的焦点为 为抛物线上异于顶点的一点 且在准线上的射影 2 1 4 yxFMM 为点 则在的重心 外心和垂心中 有可能仍在此抛物线上的有 M MM F A 0 个 B 1 个C 2 个D 3 个 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填 写在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两个均不得分 一 必考题 11 14 题 11 某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的 样本 已知女生比男生少抽了 10 人 则该校的女生人数应是 人 12 函数的定义域为 R 对任意的 则的解 f x 1 2f 2xR fx 2 4f xx 集为 13 已知点P是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 右支上一点 1 F 2 F分别是双曲线的左 右焦点 I为 12 PFF 内心 若 121 2 1 2 IPFIPFIF F SSS 则双曲线的离心率为 14 设f N N 是定义在正整数集上的增函数 且f f k 3k 则f 2012 f x 二 选考题 请考生在第15 16两题中任选一题作答 请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑 如果全选 则按第15题作答结果计分 用心 爱心 专心 15 在极坐标系中 直线被圆所截得的弦长是 16 如图所示 O 的直径 AB 6cm P 是 AB 的延长线上的 一点 过 P 点作 O 的切线 切点为 C 连接 AC 若 则 PC 30CPA 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 若的最大值为 1 sin 2 sin 2 3cos2 33 f xxxxm f x 1 求的值 并求的单调递增区间 m xf 2 在中 角 的对边 若 且 ABC ABCabc 31f B 3abc 试判断三角形的形状 18 本小题满分 12 分 如图 所有棱长都为 2 的正三棱柱 四边形 DCBBCD 是菱形 其中为的中点 ABCDEBD 1 求证 DABEC面 2 求面所成锐二面角的余弦值 ABDDAB与面 3 求四棱锥与的公共部分体积 ABCDB ABCDD 19 本小题满分 12 分 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次 低碳生活习惯 的调查 以计算每户的碳月排放量 若月排放量符合低碳标准的称为 低碳 族 否则称为 非低碳族 若小区内有至少的住户属于 低碳族 则称这个小区为 75 低碳小区 否则称为 非低碳小区 已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区 两 个低碳小区 A B B C C E E D D D C B 用心 爱心 专心 求所选的两个小区恰有一个为 非低碳小区 的概率 假定选择的 非低碳小区 为小区 调查显示其 低碳族 的比例为 数据如图 1A 2 1 所示 经过同学们的大力宣传 三个月后 又进行了一次调查 数据如图 2 所示 问这时 小区是否达到 低碳小区 的标准 A O 月排放量 百千克 户 频率 组距 0 46 0 23 0 10 0 07 1 2 3 4 5 图 2 O 月排放量 百千克 户 频率 组距 0 30 0 25 0 20 0 15 0 05 1 2 3 4 5 图 1 6 0 14 20 本小题满分 12 分 有n个首项都是 1 的等差数列 设第 m 个数列的第 k 项为 mk a 3 3 2 1 nnkm 公差为 m d 并且 nnnnn aaaa 321 成等差数列 1 证明 的多项式 是mppnmdpdpdm 212211 3 并求 21 pp 的值 2 当 3 1 21 dd 时 将数列 m d 分组如下 1 d 432 ddd 98765 ddddd 每组数的个数构成等差数列 设前m组 中所有数之和为 4 m c 0 m c 求数列 m c d m 2 的前n项和 n S 3 设 N 是不超过 20 的正整数 当 Nn 时 对于 1 中的 n S 求使得不等式 nn dS 6 50 1 成立的所有 N 的值 21 本小题满分 13 分 用心 爱心 专心 若椭圆 1 E 22 22 11 1 xy ab 和椭圆 2 E 22 22 22 1 xy ab 满足 22 11 0 ab m m ab 则称这两 个椭圆相似 m是相似比 求过 2 6 且与椭圆 22 1 42 xy 相似的椭圆的方程 设过原点的一条射线l分别与 中的两椭圆交于两点 点在线段上 A BAOB 若是线段上的一点 若成等比数列 求点的轨迹方程 PAB OA OP OBP 求OBOA 的最大值和最小值 22 本小题满分 14 分 设函数 为自然对数的底数 exf x e 23 1 2 3 n n xxx gxx n n N 1 证明 f x 1 g x 2 当时 比较与的大小 并说明理由 0 x f x n gx 3 证明 123 2222 1 1 2341 n n ge n n N 湖北省部分重点中学 2012 2013 学年度第二次联考理科数学答案 一 DBBDD CCBAB11 760 12 13 2 14 3849 15 16 1 4 3 3 3 二 17 用心 爱心 专心 18 解 1 证明如图取的中点为 连 AF C F 易得 AFC F 为 DBF 平行四边形 又 4 分ECAF 面DABAF DABEC面 2 解 因为菱形 且 取 BC 中点为 G 易得 AD DG DD 相互垂ABCD 0 60 DCB 直 故分别以之为 x y z 轴建立坐标系如图 由棱长为 2 得 进而得面的一个法向量为 又面 ABD 的 2 0 0 2 3 1 0 0 2 DBA ADD 1 3 3 1 法向量为 0 0 1 所以面所成锐二面角的余弦值ABDDAB与面 7 21 3 21 1 0 0 1 3 3 1 cos 另 不建系证得即为二面角的平面角 再由线段长算得值亦可给分 9 分ECC 3 设 B D 与 BD 的交点为 O 由图得四棱锥与的公共部分为四棱ABCDB ABCDD 锥 O ABCD 且 O 到下底面的距离为 1 3260sin22 2 1 2 0 ABCD S 所以公共部分的体积为 12 分 3 32 132 3 1 19 解 设三个 非低碳小区 为 两个 低碳小区 为 2 分CBA m n 用表示选定的两个小区 则从 5 个小区中任选两个小区 所有 yx x yA B C m n 可能的结果有 10 个 它们是 A B A C A m A n B C B m B n 用心 爱心 专心 5 分 C m C n m n 用表示 选出的两个小区恰有一个为非低碳小区 这一事件 则中的结果有 6 个 DD 它们 是 7 分 A m A n B m B n C m C n 故所求概率为 8 分 63 105 P D II 由图 1 可知月碳排放量不超过千克的成为 低碳族 10300 分 由图 2 可知 三个月后的低碳族的比例为 所以三个月0 070 230 460 760 75 后小区达到了 低碳小区 标准 12A 分 20 解 1 由题意知 mmn dna 1 1 1 1 1 1 1 121212 ddndndnaa nn 同理 1 2323 ddnaa nn 1 3434 ddnaa nn 1 1 1 nnnnnn ddnaa 又因为 nnnnn aaaa 321 成等差数列 所以 nn aa 12 nn aa 23 nnnn aa 1 故 12312 nn dddddd 即 n d 是公差为 12 dd 的等差数列 所以 21121 1 2 1 dmdmddmddm 令 1 2 21 mpmp 则 2211 dpdpdm 此时 21 pp 1 2 当 3 1 21 dd 时 12 Nmmdm 数列 m d分组如下 1 d 432 ddd 98765 ddddd 按分组规律 第m组中有12 m个奇数 所以第 1 组到第m组共有 2 12 531mm 个奇数 注意到前k个奇数的和为 2 12 531kk 所以前 2 m个奇数的和为 422 mm 用心 爱心 专心 即前m组中所有数之和为 4 m 所以 44 mcm 因为 0 m c所以mcm 从而 2 12 2 Nmmd m m cm 所以 nn n nnS2 12 2 32 27252321 1432 15432 2 12 2 32 272523212 nn n nnS 故 1432 2 12 222222222 nn n nS 132 2 12 2 2222 2 nn n 1 2 12 2 12 12 2 2 n n n62 23 1 n n 所以62 32 1 n n nS 3 由 2 得 12 Nnndn 62 32 1 n n nS Nn 故不等式 nn dS 6 50 1 就是 12 502 32 1 nn n 考虑函数100 502 32 12 502 32 11 nn nnnxf 当5 4 3 2 1 n时 都有0 nf 即 12 502 32 1 nn n 而0602100 50128 9 6 f 注意到当6 n时 nf单调递增 故有0 nf 因此 当6 n时 12 502 32 1 nn n 成立 即 nn dS 6 50 1 成立 所以 满足条件的所有正整数 N 20 7 6 5 21 解 设与 22 1 42 xy 相似的椭圆的方程 22 22 1 xy ab 则有 22 22 46 1 ab ab 解得 22 16 8ab 所求方程是 22 1 168 xy 用心 爱心 专心 当射线l的斜率不存在时 0 2 0 2 2 AB 设点 P 坐标 P 0 0 y 则 2 0 4y 0 2y 即 P 0 2 当射线l的斜率存在时 设其方程ykx P x y 由 11 A x y 22 B xy则 11 22 11 1 42 ykx xy 得 2 1 2 2 2 1 2 4 12 4 12 x k k y k 2 2 2 1 12 k OA k 同理 2 2 4 1 12 k OB k 又点 P 在l上 则 y k x 且由 2 222 2 22 2222 2 8 1 8 1 8 122 12 y kxy x xy ykxy x 即所求方程是 22 1 84 xy 又 0 2 适合方程 故所求椭圆的方程是 22 1 84 xy 由 可知 当l的斜率不存在时 OBOA 4222 当l的斜率存在时 OBOA 22 2 21 4 4 21 18 kk b 84 OBOA 综上OBOA 的最大值是 8 最小值是 4 22 考查目的 本题考查函数与导数 数学归纳法 不等式等基础知识 考查抽象概括能 力 推理论证能 运算求解能力和创新意识 考查函数与方程思想 转化与化归思想 解 1 证明 设 所以 1 分 11 1 x xf xg xex 1 1 x xe 当时 当时 当时 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 即函数在上单调递减 在上单调递增 在处取得唯一极小值 1 x 0 0 0 x 2 分 因为 所以对任意实数均有 即 1 0 0 x 11 0 0 x 1 0f xg x 所以 3 分 f x 1 g x 2 解 当时 用数学归纳法证明如下 0 x f x n gx 用心 爱心 专心 当时 由 1 知 1n f x 1 g x 假设当 时 对任意均有 5 分nk k N0 x f x k gx 令 kk xf xgx 11 kk xf xgx 因为对任意的正实数 x 11 kkk xfxgxf xgx 由归纳假设知 6 分 1 0 kk xf xgx 即在上为增函数 亦即 11 kk xf xgx 0 11 0 kk x 因为 所以 从而对任