高中数学选修4-5综合测试

选修选修 4 5 不等式选讲综合测试不等式选讲综合测试 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 若 则下列不等式中正确的是 acb A B C D abc acb abc abc 1 D cbacbcb 2 设 则的大小关系是 0 0 1 xy xyA xy 11 xy B xy A B A B C D AB AB AB AB 2 B 即 11111 xyxyxy BA xyxyyxxy AB 通过放大分母使得分母一样 整个分式值变小 3 设命题甲 命题乙 则甲是乙的 1 2x 3x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 A 命题甲 或 甲可推出乙 3x 1x 4 已知为非零实数 则最小值为 a b c 222 222 111 abc abc A B C D 791218 4 B 22222 222 111111 1 1 1 9abcabc abcabc 所求最小值为 9 5 正数满足 则有 a b c dadbc adbc A B C D 与大小不定 adbc adbc adbc adbc 5 C 特殊值 正数 满足 得 2 1 4 3abcd adbc adbc 或由得 adbc 2222 22aaddbbcc 1 2222 22adbcbcad 由得 2 adbc 2222 22aaddbbcc 将 1 代入 2 得 即 2222bcadbcad 44bcad adbc 6 如果关于的不等式的非负整数解是 那么实数的取值x 2 50 xa 0 1 2 3a 范围是 A B C D 4580a 5080a 80a 45a 6 A 得 而正整数解是 则 2 50 xa 55 aa x 1 2 334 5 a 7 设 则的最小值为 1a b c log2log4log abc bca A B C D 2468 7 C log log log0 abc bca 3 3 lglglg log2log4log3 log2log4log3 86 lglglg abcabc bca bcabca abc 8 已知的解集与的解集相同 则 23 2x 2 0 x xaxb A B C D 5 3 4 ab 5 3 4 ab 5 3 4 ab 17 4 ab 8 由解得 因为的解集与 23 2x 15 22 x 23 2x 2 0 x xaxb 的解集相同 那么或为方程的解 则分别代入该方程 1 2 x 5 2 x 2 0 xaxb 得 11 30 42 5 255 0 4 42 aab b ab 9 已知不等式对任意正实数恒成立 则正实数的最小值为 1 9 a xy xy x ya A B C D 2468 9 B 2 1 1 1 ayax xyaa xyxy 2 1 9a 4a 10 设 则的最大值为 222 0 3a b cabc abbcca A B C D 013 3 3 3 10 C 由排序不等式 所以 222 abcabbcac 3abbcca 11 已知 当时 恒为正 则的取值范围是 2 3 1 32 xx f xk xR f xk A B C D 1 2 21 1 2 21 2 21 2 21 11 B 即 2 3 1 320 xx k 2 32 1 3 xx k 2 32 1 3 x x k 得 即 2 32 21 3 x x k 2 21k 12 用数学归纳法证明不等式的过程 111113 123224nnnn 2 nnN 中 由逆推到时的不等式左边 nk 1nk A 增加了 项 B 增加了 又减少了 1 1 2 1 k 1 2 1 12 1 kk1 1 k C 增加了项 D 增加了 减少了2 1 2 1 12 1 kk 1 2 1 k1 1 k 12 B 注意分母是连续正整数 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线上分 把答案填在题中横线上 13 不等式的解集为 2 1 x x 13 即 1 x x 0 x 2 xx 22 2 xx 10 x 1x 原不等式的解集为 1 x x 14 已知函数 且 那么的取值范围是 2 1f xxax 1 1f a 14 而 即 13a 2 1f xxax 1 2fa 1 1f 2 1a 15 函数的最小值为 2 12 3 0 f xxx x 15 9 3 222 1233123312 339 2222 xxxx f xx xxx 16 若 且 则的最大值是 a b cR 1abc cba 16 3 2222 111 111 3abcabc 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 求证 222 33 abcabc 17 证明 2222222 111 abcabc 2222 39 abcabc 即 222 33 abcabc 18 本小题满分 10 分 无论取任何非零实数 试证明等式总不成立 x y 111 xyxy 18 证明 设存在非零实数 使得等式成立 11 x y 1111 111 xyxy 则 11111111 y xyx xyx y 即 22 1111 0 xyx y 22 1 11 3 0 24 y xy 但是 即 从而得出矛盾 1 0y 22 1 11 3 0 24 y xy 故原命题成立 19 本小题满分 12 分 已知 为的三边 求证 abcABC 222 2 abcabbcca 19 证明 由余弦定理得 222 2cosbcAbca 222 2cosacBacb 222 2cosabCabc 三式相加得 222 2cos2cos2cosbcAacBabCabc 而 且三者至多一个可等于 cos1 cos1 cos1ABC 1 即 2cos2cos2cos222bcAacBabCbcacab 所以 222 2 abcabbcca 20 本小题满分 12 分 已知都是正数 求证 a b c 3 2 3 23 ababc ababc 20 证明 要证 3 2 3 23 ababc ababc 只需证 即 3 23abababcabc 3 23abcabc 移项得 3 23cababc 都是正数 a b c 33 233cabcababcabababc 原不等式成立 21 本小题满分 12 分 某单位决定投资元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 3200 正面用铁栅 每米造价元 两侧墙砌砖 每米造价元 顶部每平方米造价元 404520 试问 1 仓库面积的最大允许值是多少 2 为使达到最大 而实际投资又不SS 超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 21 解 如图 设铁栅长为米 一堵砖墙长为米 则有 xySxy 由题意得 402 45203200 xyxy 应用二元均值不等式 得32002 409020 xyxy 12020 xyxy 12020SS 即 6160SS 16 10 0SS 160S 100S 100S 因此 的最大允许值是平方米 取得此最大值的条件是 S1004090 xy 而 求得 即铁栅的长应是米 100 xy 15x 15 22 本小题满分 12 分 已知是定义在上的单调递增函数 对于任意的满足 f x 0 0m n 且 满足 f mf nf mn ab 0 ab 2 2 ab f af bf 1 求 1 f 2 若 解不等式 2 1f 2f x 3 求证 322b 22 解 1 因为任意的满足 0m n f mf nf mn 令 则 得 1mn 1 1 1 fff 1 0f 2 21 1 2 2 f xff 而 2 2 4 fff 得 而是定义在上的单调递增函数 4 f xf f x 0 得不等式的解集为 04x 2f x 0 4 3 在上的单调递增 1 0f f x 0 时 时 0 1 x 1 0f xf 1 x 1 0f xf 又 或 f af b f af b f af b 则 0ab f af bf af b f af b 0 1 f af bf abf 得 1ab 01ab 且 2 2 ab f bf 1b 1 2 ab ab 0 0 2 ab f bf 2 2 ab f bf 2 222 ababab f bfff 得 2 2 ab b 22 42baabb 即 而 22 42bba 01a 又 2 0421bb 1b 322b 答案与解析 答案与解析 备用题 备用题 1 已知 则下列命题中正确的是 ab cd A B C D acbd ab dc acbd cbda 1 D 令 可验证知 D 成立 1 0 1 2abcd 事实上我们有 可得 abba cd cbda 2 已知 设命题甲 满足 命题乙 且 a bR 0h a b 2abh 1 ah 那么甲是乙的 1 bh A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分条件也不必要条件 2 B 则 而 1 ah 1 bh 1 1 2abh 1 1 abab 即 命题甲 不能推出命题乙 且 2abh 2abh 1 ah 1 bh 3 证明 假设时成立 当时 1111 1 234212 n n nN nk 1nk 左端增加的项数是 A 项B 项 C 项D 项11k k2k 3 D 从增加的项数是 1 2121 kk 2k 4 如果恒成立 则的取值范围是 2 5 xxa a 4 而恒成立 则 即 7a 2 5 7xx 2 5 xxa 7a 7a 5 已知函数在区间上的最大值比最小值大 则实数 log m f xmx 3 5 1m 5 显然 而 则 36 0mx 3 5 x 5m 得是函数的递减区间 3 5 log m f xmx max log 3 m f xm min log 5 m f xm 即 得 log 3 log 5 1 mm mm 2 630mm 而 则 36m 1m 36m 6 要制作如图所示的铝合金窗架 当窗户采光面积为 一常数时 中间横梁面积忽略不计 要使所用的铝合S 金材料最省 窗户的宽与高的比应为 ABAD 6 设宽为 高为 则 所用的铝合金材料为 2 3ABxADyxyS 32xy 此时 322 62 6xyxyS 32xy 2 3x y 7 若 试比较与的大小 01ab 1 ma a 1 nb b 7 解 1111 ba mnababab ababab 即 而 则 1 1 mnab ab 01ab 1 01 1ab ab 得 即