人教新课标版（2013教材）初中八上第15章分式知识梳理

人教新课标版 人教新课标版 20132013 教材 初中八上第教材 初中八上第 1515 章分式知识梳理章分式知识梳理 本章知识结构图本章知识结构图 一 分式的概念一 分式的概念 当两个整数不能整除时 出现了分数 类似的当两个整式不能整除时 就出现了分 式 一般地 如果A B表示两个整式 并且B中含有字母 那么式子 A B 叫做分式 整式与分式统称为有理式 在理解分式的概念时 注意以下三点 分式的分母中必然含有字母 分式的分母的值不为 0 分式必然是写成两式相除的形式 中间以分数线隔开 二 与分式相关的几个二 与分式相关的几个 条件条件 1 分式有意义的条件 两个整式相除 除数不能为 0 故分式有意义的条件是分母不为 0 当分母为 0 时 分 式无意义 如 分式 1 x 当0 x 时 分式有意义 2 分式无意义的条件 与分式有意义的条件相反 当分母为 0 时 分式无意义 如 分式 1 x 当0 x 时 分式无意义 3 分式的值为零 分式的值为零时 必须满足分式的分子为零 且分式的分母不能为零 注意是 同时 4 分式值为正的条件 当分式的分子 分母同号时 分式值为正 如 分式 A B 当或时 0 0 A B 0 0 A B 0 A B 5 分式值为负的条件 当分式的分子 分母异号时 分式值为负 如 分式 A B 当或时 0 0 A B 0 0 A B 0 A B 注意 在解决分式值为 正 或 负 的问题时 注意分类讨论 三 分式的基本性质 三 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘 或除以 一个不等于 0 的整式 分式的值 不变 上述性质用公式可表示为 aam bbm aam bbm 0m 注意 在运用分式的基本性质时 基于的前提是0m 强调 同时 分子分母都要乘以或者除以同一个 非零 的数字或者整式 分式的基本性质是约分和通分的理论依据 四 分式的基本运算四 分式的基本运算 1 比例的性质 比例的基本性质 ac adbc bd 比例的两外项之积等于两内项之积 更比性 交换比例的内项或外项 ab cd acdc bdba db ca 交换内项 交换外项 同时交换内外项 反比性 把比例的前项 后项交换 acbd bdac 合比性 acabcd bdbd 推广 acakbckd bdbd k为任意实数 等比性 如果 acm bdn 那么 acma bdnb 0bdn 2 基本运算 确定最简公分母的方法 最简公分母的系数 取各分母系数的最小公倍数 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂 确定最大公因式的方法 最大公因式的系数取分子 分母系数的最大公约数 取分子 分母相同的字母因式的最低次幂 分式的乘法 a ca c b db d 分式的除法 acada d bdbcb c 乘方 n n n n n aa aaa aaa bb bbb bbb 个 个n个 n为正整数 整数指数幂运算性质 mnm n aaa m n为整数 mnmn aa m n为整数 n nn aba b n为整数 mnm n aaa 0a m n为整数 负整指数幂 一般地 当n是正整数时 1 n n a a 0a 即 n a 0a 是 n a的倒数 零指数幂 0 10aa 分式的加减法法则 同分母分式相加减 分母不变 把分子相加减 abab ccc 异分母分式相加减 先通分 变为同分母的分式再加减 acadbcadbc bdbdbdbd 分式的混合运算的运算顺序 先算乘方 再算乘除 后算加减 如有括号 括号内先 算 结果以最简形式存在 五 分式的化简求值五 分式的化简求值 1 化简后直接代入求值 如 已知 2 2 2 1 111 aaaa aaa 其中3a 2 条件等式化简求值 1 直接换元求值 如 已知 22 44abab 0ab 求 22 22 5 369 ababb abaabbab 的值 2 设参辅助求值 如 已知 234 xyz 则 222 xyz xyyzzx 3 整体置换 如 已知 2 10 xx 求 2 2 2 1 1 1 121 x x xx xxx 的值 4 其它条件等式化简求值 如 已知 求下面代数式的值 1xyzt 1111 1111xxyxyzyyzyztzztztxttxtxy 六 分式的运算技巧六 分式的运算技巧 1 分式的换元化简 如 化简 22 22 3322 3322 2 3 2 baba abab bababa ababab 提示 设 则 b x a 1a bx 2 利用乘法公式或者因式分解法化简 如 计算 22 1111 abababab 3 分式的递进通分 如 计算 n为自然数 248 2 112482 11111 1 n n xxxxx x 4 分式的裂项 如 若 且 求 2 12a xb xy 0ab 的值 111 1120072007xyxyxy 提示 利用进行裂项 化繁为简 1111 abba ab 5 分式配对 如 已知 1axbycz 求 444444 111111 111111abcxyz 的值 七 分式方程七 分式方程 1 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 常规解法 通过去分母 方程两边都乘以最简公分母 将分式方程转化为整式 方程 解整式方程 验根 3 特殊解法 换元法 拆项法等 4 增根问题 增根的产生 分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件 当把分式方 程转化为整式方程后 方程中未知数允许取值的范围扩大了 如果转化后的整式方程的根 恰好使原方程中分母的值为 0 那么就会出现不适合原方程的根 增根 验根 因为解分式方程可能出现增根 所以解分式方程必须验根 5 增根的性质 增根可以使分式方程的最简公分母值为 0 增根不是原分式方程的根 但增根是分式方程转化所得整式方程的根 提示 利用好增根的性质 可以解决有关 当参数取何值时 分式方程会产生增根 的问题 八 分