湖北省2010届高三数学高考模拟试题（理）（1） 人教版VIP

用心 爱心 专心 湖北省湖北省 20102010 届高考模拟试题 数学理 届高考模拟试题 数学理 1 1 本试卷分选择题 填空题和解答题三部分 共 21 个小题 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知命题p xR 2 10 xx 则命题p 是 B A xR 01 2 xx B Rx 01 2 xx C xR 01 2 xx D Rx 01 2 xx 解 全称命题的否定是特称命题 故选 B 2 已知 x y R i 是虚数单位 且 1 2xiyi 则 1 x yi 的值为 A A 4 B 4 C 1 D 1 解 由 1 2xiyi 得2 2 yx 所以 1 i x y 4 2 1 24 ii 故选 A 3 设 M 为实数区间 a 0 且 a 1 若 a M 是 函数 log 1 a f xx 在 0 1 上单 调递增 的一个充分不必要条件 则区间 M 可以是 D A 1 B 1 2 C 0 1 D 0 1 2 解析 因为 y x 1 在 0 1 上是减函数 则 log 1 a f xx 在 0 1 上单调递增的 充要条件是01a 据题意 0 1 M 故选 D 4 某单因素单峰试验的因素范围是 3 18 用均分分批试验法寻找最佳点 每批安排 4 个试 验 若第一批试点中从左到右第 3 个试点是好点 则第一批试验后的存优范围是 C A 6 12 B 10 14 C 9 15 D 11 13 解 将区间 3 18 均分为 5 等分 第一批 4 个试点值分别为 6 9 12 15 由题设 12 是好点 则存优范围是 9 15 故选 C 5 将函数cos2yx 的图象作平移变换 得到函数sin 2 6 yx 的图象 则这个平移变换 可以是 D A 向左平移 6 个单位长度 B 向左平移 3 个单位长度 C 向右平移 6 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 解 因为 3 2cos 26 2cos 6 2sin xxxy 所以将函数cos2yx 向 右平移 3 个单位长度 即得到函数sin 2 6 yx 的图象 故选 D 6 已知某圆锥曲线 C 的极坐标方程是 2 2 225 9 16cos 则曲线 C 的离心率为 A 用心 爱心 专心 A 4 5 B 5 3 C 3 5 D 4 5 解 方程 2 2 225 9 16cos 可化为225 cos25sin9 222 即 1 9 cos 25 sin 22 化为直角坐标方程为1 925 22 xy 所以曲线 C 为椭圆 其离 心率为 4 5 故选 A 7 师大附中在高二年级开展农村生活体验活动 现需将某 7 个学生分配到甲 乙 丙三个农 户家居住 每家至多住 3 人 则不同的分配方法共有 C A 350 种 B 525种 C 1050种 D 2100 种 解 据题意有两种分批方案 按 3 3 1 的人数分配到三个农户家 有 420 3 3 2 2 3 4 3 7 A A CC 种方法 按 2 2 3 的人数分配到三个农户家 有630 3 3 2 2 3 5 2 7 A A CC 种方 法 所以共有 1050 种不同分配方法 故选 C 8 如图 一个质点从原点出发 在 x 轴 y 轴的平行方向按 0 0 0 1 1 1 1 0 2 0 2 2 的规律向前移动 且每秒钟移动一个单位长度 那么到第 2009 秒时 这个质点所处位置的坐标是 B A 14 44 B 15 44 C 44 14 D 44 15 解 由图可知 质点走完一个矩形回路所走路程依次为 3 5 7 2n 1 个单位长度 由 3 5 7 2n 1 2009 得 n 43 当质点走完第 43 个正方形时 共走了 1935 个 单位长度 余下 74 个单位长度从 43 0 44 44 有 45 个单位 再向左走 29 个单位即 可 此时质点的坐标为 15 44 故选 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3535 分 把答案填写在题中的横线上分 把答案填写在题中的横线上 9 已知集合 4 Ax xa 2 650 Bx xx 若AB R 则实数a的取值范 围是 1 5 解 由已知可得 4 4 Aaa 1 5 B 因为AB R 则 41 45 a a 即15a 故a的取值范围是 1 5 10 某企业在今年九月生产了 A B C 三种产品共 3000 件 根据分层抽样的结果 企业统计 员制作了如下统计表格 产品类别ABC 产品数量 件 1300 样本容量130 由于统计员不小心 表格中 A C 产品的有关数据已被污染看不清楚 但统计员记得 A 产 品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10 件 根据以上信息 可得 C 产品的数量是 800 件 解 设 C 产品的样本容量为x 因为抽样比例为 1301 130010 则乡村爱情xx 解得80 x 所以 C 产品的数量是80 10800 件 x y O 12 34 1 2 3 4 用心 爱心 专心 11 已知平面向量 a b c 满足 a c b c 2 c 2 若存在实数 使得 c a b 则 的值为 2 乡村爱情 解 由已知 c ca bc 即 2 c a c b c 乡村爱情 又 c 2 a c 0 b c 2 所以 2 4 即2 乡村爱情 12 已知实数 x y 满足21234xy 乡村爱情由柯西不等式可得 x y 的最小值为 2 解 由柯西不等式 得 22222 21 23 11 21 123 1 xyxy 即 2 224 16xy 所以 x y 2 当且仅当21232xy 即 31 22 xy 时等 号成立 故 x y 的最小值为 2 13 某饮料店的日销售收入 y 单位 百元 与当天平均气温 x 单位 C 之间有下列数据 x 2 1012 y54221 甲 乙 丙三位同学对上述数据进行了研究 分别得到了 x 与 y 之间的三个线性回归方程 3yx 2 8yx 2 6yx 其中正确方程的序号是 解 因为 2 1 0 12 0 5 x 5422 1 2 8 5 y 由于回归方程 y bxa 必过点 x y 将点 0 2 8 逐一代入验证得 乡村爱情方程 满足要 求 14 如图 在 ABC 中 AB AC 4 BC 6 以 AB 为直径的圆交乡村爱情BC 于点 D 过点 D 作该圆 的切线 交 AC 于点 E 则 CE 9 4 乡村爱情 解 设圆心为 O 连结 OD AD 则 OD DE AD BC 因为 AB AC 所以 D 为 BC 的中点 从而 OD 是 ABC 的乡村爱情 中位线 所以 OD AC 于是 AC DE 在 Rt ADC 中 由射影定理 得 CD2 CE CA 乡村爱情 因为 CD 3 CA 4 所以 CE 9 4 15 对于函数 f x 若在其定义域内存在两个实数 a b a b 使当 x a b 时 f x 的值 域也是 a b 则称函数 f x 为 科比函数 1 给出下列两个函数 1f xx 2 f xx 其中是 科比函数 的函数序号 是 2 若函数2 xkxf是 科比函数 乡村爱情则实数 k 的取值范围是 2 4 9 解 1 因为 1f xx 是增函数 乡村爱情若 f x 为 科比函数 则 f a a f b b 即 a 1 a b 1 b 无解 所以 1f xx 不是 科比函数 因为当 x 0 1 时 2 f xx 0 1 所以 2 f xx 是 科比函数 2 因为2 xkxf是增函数 若2 xkxf是 科比函数 则存在实数 a b 2 a b 使 f aa f bb 即 2 2 bkb aka 所以 a b为方程2 xkx的 两个实数根 从而方程2kxx 有两个不等实根 乡村爱情 A B C D E 用心 爱心 专心 令2xt 则 2 2 0 kttt 当 t 0 时 k 2 当 t 1 2 时 k 9 4 由图可知 当 9 2 4 k 时 直线 y k 与曲线 2 2 0 yttt 有两个不同交点 即方 程 2 2 0 kttt 有两个不等实根 故实数 k 的取值范围是 2 4 9 乡村爱情 乡村爱情 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题个小题 共共 7575 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 AB 2 BC 1 cosC 4 3 乡村爱情 求 sinA 的值 求CABC 的值 解 因为 cosC 4 3 则 sinC 4 7 cos1 2 C 乡村爱情 3 分 据正弦定理 有 A BC C AB sinsin 所以 sinA 7 sin14 4 82 BCC AB 乡村爱情 6 分 由余弦定理 得CBCACBCACABcos2 222 设 AC b 则 4 3 212 2 bb乡村爱情 即023b2 2 b 乡村爱情 8 分 解得 b 2 或 b 1 2 舍去 乡村爱情 AC 2 乡村爱情 乡村爱情 9 分 故 33 cos1 2 42 BC CACB CACB CAC uu u r uu ruur uu ruuruu r 12 分 17 本小题满分 12 分 本次高三数学月考试卷中共有 8 个选择题 乡村爱情每小题都有 4 个选项 其中有且只有一个 选项是正确的 乡村爱情选对得 5 分 不选或选错都得 0 分 某同学对每道题都选出了一个答案 已 确定第 1 4 题的答案都是正确的 对第 5 6 两道题 乡村爱情他都可判断出其中有两个选项是错 误的 但对另两个选项都不能确定哪个正确 对第 7 题 乡村爱情他可判断出其中一个选项是错误 的 但对另三个选项不能确定哪个正确 对第 8 题 他不理解题意只能乱猜 且各题答对 与否相互独立 求该同学在这次月考中选择题至少答对 7 道题的概率 估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是多少分 解 设该同学在这次月考中选择题 答对 8 道题 为事件 A 答对 7 道题 为事件 B 则事件 A 与 B 互斥 1 分 据题意 第 1 4 题都答对为必然事件 第 5 6 题答对的概率都为 1 2 第 7 题答对的概率为 1 3 第 8 题答对的概率为 1 4 且各题答对与否相互独立 乡村爱情 2 分 所以 11111 223448 P A 乡村爱情 用心 爱心 专心 3 分 1 2 1111111311217 22342234223448 P BC 5 分 171 48486 p ABP AP B 故该同学在这次月考中选择题至少答对 7 道题的概率是 1 6 6 分 设该同学在这次月考中选择题的总得分为 分乡村爱情 则 的可能取值为 20 25 30 35 40 乡村爱情 7 分 若 20 则只答对第 1 4 题 其余各题都答错 所以 11231 20 22348 P 8 分 若 25 则第 5 8 题只答对 1 题 乡村爱情 所以 1 2 11231113112117 25 22342234223448 PC 9 分 若 30 则第 5 8 题只答对 2 题 11 22 112311131121111117 30 223422342234223448 PCC 10 分 由 知 7 35 48 P 1 40 48 P 所以 11717711340 202530354028 84848484848 E 11 分 估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是 30 分 12 分 18 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 乡村爱情AC BC AC BC CC1 M N 分别是 A1B B1C1的 中点 求证 MN 平面 A1BC 乡村爱情 求直线 BC1和平面 A1BC 所成角的大小 乡村爱情 解 解法一 由已知 BC AC BC CC1 乡村爱情 所以 BC 平面 ACC1A1 连结 AC1 则 BC AC1 乡村爱情 2 分 由已知 侧面 ACC1A1是正方形 所以 A1C AC1 3 分 又 1 BCACC 所以 AC1 平面 A1BC 乡村爱情 4 分 因为侧面 ABB1A1是正方形 M 是 A1B 的中点 连结 AB1 则点 M 是 AB1的中点 5 分 B A1B1 C1 N A C M 用心 爱心 专心 又点 N 是 B1C1的中点 则 MN 是 AB1C1的中位线 所以 MN AC1 故 MN 平面 A1BC 6 分 因为 AC1 平面 A1BC 设 AC1与 A1C 相交于点 D 连结 BD 则 C1BD 为直线 BC1和平面 A1BC 所成角 9 分 设 AC BC CC1 a 则 1 2 2 C Da 1 2BCa 10 分 在 Rt BDC1中 sin C1BD 1 1 1 2 C D BC 11 分 所以 C1BD 30 故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30 12 分 解法二 据题意 CA CB CC1两两垂直 以 C 为原点 CA CB CC1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间 直角坐标系 如图 2 分 设 AC BC CC1 a 则 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 BaBa aA aCCa 1 0 A aa 0 2 2 22 a a aa MNa 4 分 所以 1 BAaa a 1 0 CAaa 0 22 aa MN 5 分 于是 1 0MN BA 1 0MN CA 即 MN BA1 MN CA1 6 分 又 111 BACAA 故 MN 平面 A1BC 7 分 因为 MN 平面 A1BC 则MN 为平面 A1BC 的法向量 又 1 0 BCa a 9 分 则 2 1 1 1 1 2 cos 2 2 2 2 a BCMN BC MN BCMN aa 所以 1 60BC MN 11 分 B A1B1 C1 N A C M D B A1B1 C1 N A C M x y z 用心 爱心 专心 故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30 12 分 19 本小题满分 13 分 某地需要修建一条大型输油管道通过 120 公里宽的沙漠地带 该段输油管道两端的输油 站已建好 余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压 站 又称泵站 经预算 修建一个增压站的工程费用为 432 万元 铺设距离为x公里的相邻 两增压站之间的输油管道费用为 3 xx 万元 设余下工程的总费用为y万元 试将y表示成关于x的函数 需要修建多少个增压站才能使y最小 解 I 设需要修建k个增压站 则 1 120kx 即 120 1k x 2 分 所以 332 12012051840 432 1 432 1 120312ykkxxxxx xxx 5 分 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离 则 0 x 120 6 分 故 y 与 x 的函数关系是 2 51840 120312 0120 yxx x 7 分 II 设 2 51840 120312 0120 f xxx x 则 3 22 51840240 240 216 fxxx xx 9 分 由 0fx 得 3 216x 又 0 x 120 则6120 x 10 分 所以 f x在区间 6 120 内为增函数 在区间 0 6 内为减函数 11 分 所以当6x 时 f x取最小值 此时 120120 1119 6 k x 12 分 故需要修建 19 个增压站才能使y最小 13 分 20 本小题满分 13 分 如图 抛物线的顶点 O 在坐标原点 焦点在 y 轴负半轴上 过点 M 0 2 作直线 l 与 抛物线相交于 A B 两点 且满足 4 12 OAOB 求直线 l 和抛物线的方程 当抛物线上一动点 P 从点 A 到 B 运动时 求 ABP 面积的最大值 解 据题意可设直线 l 的方程为2ykx 抛物线方程为 2 2 0 xpy p 2 分 由 2 2 2 ykx xpy 得 2 240 xpkxp 3 分 设点 1122 A x yB xy 则 x y O P A B M 用心 爱心 专心 2 121212 2 424xxpk yyk xxpk 所以 2 1212 2 24OAOBxxyypkpk 4 分 因为 4 12 OAOB 所以 2 24 2412 pk pk 解得 1 2 p k 5 分 故直线l的方程为22yx 抛物线方程为 2 2 xy 6 分 解法一 据题意 当抛物线过点 P 的切线与l平行时 APB 面积最大 7 分 设点 00 P xy 因为yx 由 00 22xx 2 00 1 2 2 yx 所以 2 2 P 9 分 此时 点 P 到直线l的距离 22 2 2 2 244 5 55 2 1 d 10 分 由 2 22 2 yx xy 得 2 440 xx 11 分 所以 2222 1212 1 412 4 4 4 4 10ABkxxxx 12 分 故 ABP 面积的最大值为 114 5 4 108 2 225 AB d 13 分 解法二 由 2 22 2 yx xy 得 2 440 xx 7 分 所以 2222 1212 1 412 4 4 4 4 10ABkxxxx 8 分 设点 2 1 2 P tt 22 222 2 t 点 P 到直线l的距离d 9 分 则 2 2 22 1 22 2 8 2 22 222 2 2 5 2 1 tt t dt 当2t 时 dmax 4 5 5 此时点 2 2 P 12 分 故 ABP 面积的最大值为 114 5 4 108 2 225 AB d