三角函数真题练习

一 解答题 共 31 小题 1 2 5 7 9 10 14 17 19 23 27 29 题每题 12 分 3 20 21 30 题每题 14 分 4 8 22 31 题每题 10 分 11 13 15 16 28 题每题 13 分 满分 394 分 1 2010 上海 已知 化简 lg cosx tanx 1 2 lg cos x lg 1 sin2x 0 2 2 22 4 考点 对数的运算性质 分析 根据三角函数的有关公式 先对对数的真数部分进行化简 然后再根据对数运算法则得出答案 解答 解 原式 lg cosx cosx lg cosx sinx lg sin2x cos2x 2sinxcosx 2 2 2 2 2 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 点评 本题主要考查对三角函数的基本关系 二倍角公式 诱导公式的等的应用 其次考查对数运算法则 要求对一 些基本的公式和运算法则能够熟练掌握 2 2010 湖南 已知函数 f x sin2x 2sin2x I 求函数 f x 的最小正周期 II 求函数 f x 的最大值及 f x 取最大值时 x 的集合 考点 三角函数的周期性及其求法 分析 1 先将函数 f x 化简为 f x sin 2x 1 根据 T 可得答案 2 4 2 2 2 令 2x 2k 可直接得到答案 4 2 解答 解 1 因为 f x sin2x 1 cos2x sin 2x 1 2 4 所以函数 f x 的最小正周期为 T 2 2 2 由 1 知 当 2x 2k 即 x k k Z 时 f x 取最大值 4 2 8 2 1 因此函数 f x 取最大值时 x 的集合为 x x k k Z 8 点评 本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法 属基础题 3 2010 浙江 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cos2C 1 4 I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 考点 正弦定理 三角函数中的恒等变换应用 余弦定理 专题 计算题 分析 1 注意角的范围 利用二倍角公式 2 利用正弦定理先求出边长 c 由二倍角公式求 cosC 用余弦定理解方程求边长 b 解答 解 解 因为 cos2C 1 2sin2C 及 0 C 所以 sinC 1 4 10 4 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 及 0 C 得 1 4 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 0 6 解得 b 或 2 66 所以 b 或 b 2 c 4 66 点评 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 4 ABC 中 D 为边 BC 上的一点 BD 33 sinB cos ADC 求 AD 5 13 3 5 考点 同角三角函数基本关系的运用 正弦定理 分析 先由 cos ADC 确定角 ADC 的范围 因为 BAD ADC B 所以可求其正弦值 最后由正弦定理可得答案 3 5 解答 解 由 cos ADC 0 知 B 3 5 2 由已知得 cosB sin ADC 12 13 4 5 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 由正弦定理得 所以 AD 33 5 13 33 65 25 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出现 这类题型难度比较低 一 般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保留 不会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或将边角互化 5 2010 陕西 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 考点 余弦定理 正弦定理 分析 先根据余弦定理求出 ADC 的值 即可得到 ADB 的值 最后根据正弦定理可得答案 解答 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos ADC 2 2 2 2 100 36 196 2 10 6 1 2 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 AB 10 60 45 10 3 2 2 2 5 6 点评 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用 属基础题 6 2010 辽宁 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2asinA 2b c sinB 2c b sinC 求 A 的大小 若 sinB sinC 1 试判断 ABC 的形状 考点 解三角形 三角函数的化简求值 专题 计算题 分析 利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边 求得 a b 和 c 关系式 代入余弦定理中求得 cosA 的 值 进而求得 A 把 中 a b 和 c 关系式利用正弦定理转化成角的正弦 与 sinB sinC 1 联立求得 sinB 和 sinC 的值 进而根 据 C B 的范围推断出 B C 可知 ABC 是等腰的钝角三角形 解答 解 由已知 根据正弦定理得 2a2 2b c b 2c b c 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 故 1 2 120 由 得 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 又 sinB sinC 1 得 1 2 因为 0 B 90 0 C 90 故 B C 所以 ABC 是等腰的钝角三角形 点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用 在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角 角化边 达到解题的目的 7 2010 辽宁 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2asinA 2a c sinB 2C b sinC 求 A 的大小 求 sinB sinC 的最大值 考点 余弦定理的应用 分析 根据正弦定理 设 把 sinA sinB sinC 代入 2asinA 2a c sinB 2C b sinC 求出 a2 b2 c2 bc 再与余弦定理联立方程 可求出 cosA 的值 进而求出 A 的值 根据 中 A 的值 可知 c 60 B 化简得 sin 60 B 根据三角函数的性质 得出最大值 解答 解 设 则 a sinAt b sinBt c sinCt 2asinA 2a c sinB 2C b sinC 2a 2a c 2C b 2a2 2b c b 2c b c 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 故 cosA A 120 1 2 由 得 sinB sinC sinB sin 60 B cosB sinB 3 2 1 2 sin 60 B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 点评 本题主要考查了余弦函数的应用 其主要用来解决三角形中边 角问题 故应熟练掌握 8 2010 江西 已知函数 f x 1 cotx sin2x msin x sin x 4 4 1 当 m 0 时 求 f x 在区间上的取值范围 8 3 4 2 当 tana 2 时 求 m 的值 3 5 考点 同角三角函数间的基本关系 弦切互化 专题 综合题 分析 1 把 m 0 代入到 f x 中 然后分别利用同角三角函数间的基本关系 二倍角的正弦 余弦函数公式以及 特殊角的三角函数值把 f x 化为一个角的正弦函数 利用 x 的范围求出此正弦函数角的范围 根据角的范围 利用正弦函数的图象即可得 到 f x 的值域 2 把 f x 的解析式利用二倍角的正弦 余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于 sin2x 和 cos2x 的式子 把 x 换成 根据 tan 的值 利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出 sin2 和 cos2 的值 把 sin2 和 cos2 的值代入到 f 中得到关于 m 的方程 求出 m 的值即可 3 5 解答 解 1 当 m 0 时 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4 1 由已知 得 从而得 f x 的值域为 8 3 4 2 4 2 2 1 0 1 2 2 2 因为 1 2 4 4 sin2x sinxcosx 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 所以 1 2 2 1 2 1 2 3 5 当 tan 2 得 2 2 2 2 2 1 2 4 5 2 3 5 代入 式 解得 m 0 点评 考查三角函数的化简 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求值问题 依托三角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中档题 9 2010 安徽 ABC 的面积是 30 内角 A B C 所对边长分别为 a b c cosA 12 13 求 若 c b 1 求 a 的值 考点 同角三角函数间的基本关系 平面向量数量积的运算 余弦定理的应用 专题 计算题 分析 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求 bc 的值 考虑已知 ABC 的面积是 30 cosA 所以先求 12 13 sinA 的值 然后根据三角形面积公式得 bc 的值 第二问中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理 即可 根据同角三角函数关系 由 cosA 得 sinA 的值 再根据 ABC 面积公式得 bc 156 直接求数量积 12 13 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 代入已知条件 c b 1 及 bc 156 求 a 的值 解答 解 由 cosA 得 sinA 12 13 1 12 13 25 13 又sinA 30 bc 156 1 2 bccosA 156 144 12 13 a2 b2 c2 2bccosA c b 2 2bc 1 cosA 1 2 156 1 25 12 13 a 5 点评 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用余弦定理解三角形以及运算求解能 力 10 2010 重庆 设 ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3b2 3c2 3a2 4bc 2 求 sinA 的值 求的值 2 4 4 1 2 考点 余弦定理的应用 弦切互化 专题 计算题 分析 先把题设条件代入关于 A 的余弦定理中 求得 cosA 的值 进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值 利用三角形的内角和 把 sin B C 转化为 sin A 进而利用诱导公式 两角和公式和化简整理后 4 4 把 sinA 和 cosA 的值代入即可 解答 解 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 3 又0 故 1 2 1 3 原式 2 4 4 1 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 点评 本题主要考查了余弦定理的应用 同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值 考 查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力 11 2010 浙江 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 3 4 2 2 2 求角 C 的大小 求 sinA sinB 的最大值 考点 余弦定理的应用 专题 计算题 分析 1 根据三角形的面积公式题中所给条件可得 absinC 可求出 tanC 的值 3 4 2 2 2 1 2 再由三角形内角的范围可求出角 C 的值 2 根据三角形内角和为 180 将角 AB 转化为同一个角表示 然后根据两角和的正弦定理可得答案 解答 解 由题意可知absinC 2abcosC 1 2 3 4 所以 tanC 3 因为 0 C 所以 C 3 解 由已知 sinA sinB sinA sin C A sinA sin A 2 3 sinA cosA sinA sinA cosA sin A 3 2 1 2 3 2 3 23 63 当 ABC 为正三角形时取等号 所以 sinA sinB 的最大值是 3 点评 本题主要考察余弦定理 三角形面积公式 三角变换等基础知识 同时考查三角运算求解能力 12 2010 重庆 设函数 f x cos x 2 x R 2 3 2 2 1 求 f x 的值域 2 记 ABC 内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 f B 1 b 1 c 求 a 的值 3 考点 正弦函数的定义域和值域 正弦定理 余弦定理 专题 计算题 分析 I 将 f x cos x 2化简 变形后可以用三角函数的有界性有值域 2 3 2 2 II 由 f B 1 求出 B 利用余弦定理建立关于 a 的方程求出 a 解答 解 I f x cos x 2 2 3 2 2 cosxcos sinxsin cosx 1 2 3 2 3 cosx sinx cosx 1 1 2 3 2 cosx sinx 1 1 2 3 2 sin x 1 5 6 因此函数 f x 的值域为 0 2 II 由 f B 1 得 sin B 1 1 即 sin B 0 即 B 0 或 B 或 5 6 5 6 5 6 6 5 6 又 B 是三角形的内角 所以 B 6 由余弦定理得 b2 a2 b2 2abcosB 即 1 a2 3 3a 整理 a2 3a 2 0 解得 a 1 或 a 2 答 I 函数 f x 的值域为 0 2 II a 1 或 a 2 点评 考察利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形 属基本题型 用来训练答题者熟练三角恒等变形 公式与余弦定理 13 2010 山东 已知函数 f x sin x cos x cos2 x 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求函数 1 2 y g x 在区间上的最小值 0 16 考点 三角函数中的恒等变换应用 函数 y Asin x 的图象变换 分析 1 本小题主要考察综合运用三角函数公式 三角函数的性质 进行运算 变形 转换和求解的能力 2 要求三角函数的有关性质的问题 题目都要变形到 y Asin x 的形式 变形时利用诱导公式和二倍角公式 逆用 解答 解 f x sin x cos x cos2 x f x sin xcos x 1 2 2 sin2 x cos2 x 1 2 1 2 1 2 sin 2 x 2 2 4 1 2 由于 0 依题意得 2 2 所以 1 由 知 f x sin 2x 2 2 4 1 2 g x f 2x sin 4x 2 2 4 1 2 0 x 时 4x 16 4 4 2 sin 4x 1 2 2 4 1 g x 1 2 2 g x 在此区间内的最小值为 1 点评 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式 1 化简的标准 第一 尽量使函数种类最少 次数最低 而且尽量化成积的形式 第二 能求出值的要求出值 第三 根号内的三角函数式尽量开出 14 2010 北京 已知函数 f x 2cos2x sin2x 4cosx 求的值 3 求 f x 的最大值和最小值 考点 三角函数的最值 二倍角的余弦 专题 计算题 分析 把 x 代入到 f x 中 利用特殊角的三角函数值求出即可 3 利用同角三角函数间的基本关系把 sin2x 变为 1 cos2x 然后利用二倍角的余弦函数公式把 cos2x 变为 2cos2x 1 得到 f x 是关于 cosx 的二次函数 利用配方法把 f x 变成二次函数的顶点式 根据 cosx 的值域 利用二次函数 求最值的方法求出 f x 的最大值和最小值即可 解答 解 I 3 2 2 3 2 3 4 3 1 3 4 2 9 4 f x 2 2cos2x 1 1 cos2x 4cosx 3cos2x 4cosx 1 3 2 3 2 7 3 因为 cosx 1 1 所以当 cosx 1 时 f x 取最大值 6 当时 取最小值 2 3 7 3 点评 考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值 此题以三角函数为平台 考 查二次函数求最值的方法 15 2010 四川 证明两角和的余弦公式 C cos cos cos sin sin 由 C 推导两角和的正弦 公式 S sin sin cos cos sin 已知 ABC 的面积 且 求 cosC 1 2 3 3 5 考点 两角和与差的余弦函数 同角三角函数基本关系的运用 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 证明题 分析 I 建立单位圆 在单位圆中作出角 找出相应的单位圆上的点的坐标 由两点间距离公式建立方程化简 整理既得 由诱导公式 cos sin 变形整理可得 2 II 求出角 A 的正弦 再由 用 cosC cos A B 求解即可 1 2 3 3 5 解答 解 1 如图 在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin cos 2 2 sin cos cos 2 2 cos cos sin sin 2 2 sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 则 S bcsinA bccosA 3 0 1 2 1 2 A 0 cosA 3sinA 2 又 sin2A cos2A 1 sinA cosA 10 10 3 10 10 由题意 cosB 得 sinB 3 5 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 10 10 点评 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力 16 2010 天津 在 ABC 中 证明 B C 若 cosA 求 sin的值 1 3 4 3 考点 正弦定理的应用 三角函数中的恒等变换应用 专题 证明题 分析 1 先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比 交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出 sin B C 0 再由 B C 的范围可判断 B C 得证 2 先根据 1 确定 A 与 B 的关系 再由诱导公式可求出 cos2B 的值 然后由基本关系式可求 sin2B 的值最后由 二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案 解答 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为 B C 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B 于是 sin2B 1 22 2 2 3 从而 sin4B 2sin2Bcos2B 4 2 9 cos4B 22 22 7 9 所以 4 3 4 3 4 3 4 2 7 3 18 点评 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 17 2010 天津 已知函数 f x 2sinxcosx 2cos2x 1 x R 3 求函数 f x 的最小正周期及在区间 0 上的最大值和最小值 2 若 f x0 x0 求 cos2x0的值 6 5 4 2 考点 三角函数中的恒等变换应用 函数 y Asin x 的图象变换 分析 先将原函数化简为 y Asin x b 的形式 1 根据周期等于 2 除以 可得答案 又根据函数图象和性质可得在区间 0 上的最值 2 2 将 x0代入化简后的函数解析式可得到 sin 2x0 再根据 x0的范围可求出 cos 2x0 的值 6 3 5 6 最后由 cos2x0 cos 2x0 可得答案 6 6 解答 解 1 由 f x 2sinxcosx 2cos2x 1 得 3 f x 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 33 6 所以函数 f x 的最小正周期为 因为 f x 2sin 2x 在区间 0 上为增函数 在区间 上为减函数 6 6 6 2 又 f 0 1 f 2 f 1 所以函数 f x 在区间 0 上的最大值为 2 最小值为 1 6 2 2 由 1 可知 f x0 2sin 2x0 6 又因为 f x0 所以 sin 2x0 6 5 6 3 5 由 x0 得 2x0 4 2 6 2 3 7 6 从而 cos 2x0 6 1 2 2 0 6 4 5 所以 cos2x0 cos 2x0 cos 2x0 cos sin 2x0 sin 6 6 6 6 6 6 3 4 3 10 点评 本小题主要考查二倍角的正弦与余弦 两角和的正弦 函数 y Asin x 的性质 同角三角函数的基本关系 两角差的余弦等基础知识 考查基本运算能力 18 2010 广东 已知函数 f x Asin 3x A 0 x 0 在时取得最大值 4 12 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 的解析式 3 若 求 sin 2 3 12 12 5 考点 三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 专题 计算题 分析 1 根据 T 可直接得到答案 2 2 先根据最大值求出振幅 A 的值 再由时取得最大值可求出 的值 进而可得到函数 f x 的解析式 12 3 根据 求出 cos2 的值 最后根据二倍角公式得到 sin 的值 2 3 12 12 5 解答 解 1 由周期计算公式 可得 T 2 3 2 由 f x 的最大值是 4 知 A 4 即 sin 1 12 4 3 12 4 4 0 4 4 5 4 4 2 4 f x 4sin 3x 4 3 f 4sin 3 即 sin 3 2 3 4 2 3 12 4 12 5 2 3 12 4 3 5 2 2 3 5 2 3 5 1 2 2 3 5 2 1 5 5 5 点评 本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的基本性质 周期和最值 属基础题 19 2010 广东 f x 3sin x 0 x 且以为最小周期 6 2 1 求 f 0 2 求 f x 的解析式 3 已知 f 求 sin 的值 4 12 9 5 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的化简求值 专题 计算题 分析 1 直接把 x 0 代入函数 f x 3sin x 求 f 0 即可 6 2 根据函数的周期求出 即可求 f x 的解析式 3 利用 f 化简求出 cos 利用三角函数的平方关系求 sin 的值 4 12 9 5 3 5 解答 解 1 f 0 3sin 0 3 6 1 2 3 2 2 T 4 2 2 所以 f x 3sin 4x 6 3 f 3sin 4 3sin 4 12 4 12 6 2 9 5 cos 3 5 sin 1 2 4 5 点评 本题是基础题 考查三角函数的值的求法 函数解析式的求法 三角函数基本关系式的应用 考查计算能力 常考题 20 已知 ABC 的内角 A B 及其对边 a b 满足 a b acotA bcotB 求内角 C 考点 正弦定理的应用 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 分析 先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦 化简整理求得 sin A sin B 进而根据 A B 的范 4 3 4 围 求得 A 和 B 的关系 进而求得 A B 则 C 的值可求 4 3 4 2 解答 解 由已知及正弦定理 有 sinA sinB sinA sinB cosA cosB sinA cosA cosB sinB sin A sin B 4 3 4 0 A 0 B A B 4 4 3 4 3 4 7 4 A B 4 3 4 A B C A B 2 2 点评 本题主要考查了正弦定理的应用 解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题 21 2010 四川 证明两角和的余弦公式 C cos cos cos sin sin 由 C 推导两角和的正弦公式 S sin sin cos cos sin 已知 4 5 3 2 1 3 2 求 cos 考点 两角和与差的正弦函数 同角三角函数基本关系的运用 两角和与差的余弦函数 专题 计算题 分析 I 建立单位圆 在单位圆中作出角 找出相应的单位圆上的点的坐标 由两点间距离公式建立方程化简 整理既得 由诱导公式 cos sin 变形整理可得 2 II 求出角 A 的正弦 再由 用 cosC cos A B 求解即可 1 2 3 3 5 解答 解 如图 在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin cos 2 2 sin cos cos 2 2 cos cos sin sin 2 2 sin cos cos sin 6 分 cos 3 2 4 5 sin 3 5 tan 2 1 3 cos sin 3 10 10 10 10 cos cos cos sin sin 4 5 3 10 10 3 5 10 10 3 10 10 点评 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力 22 2010 湖北 已经函数 2 2 2 1 2 2 1 4 函数 f x 的图象可由函数 g x 的图象经过怎样变化得出 求函数 h x f x g x 的最小值 并求使用 h x 取得最小值的 x 的集合 考点 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的定义域和值域 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 综合题 分析 先利用诱导公式把函数 f x 中余弦函数转化成正弦函数 进而利用图象平移的法则 求得答案 把函数 f x 和 g x 的解析式代入 h x 中 利用两角和公式化简整理 进而根据余弦函数的性质求得函 数的最小值以及此时 x 的集合 解答 解 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 所以要得到 f x 的图象只需要把 g x 的图象向左平移个单位长度 再将所得的图象向上平移个单位长度即 4 1 4 可 1 2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 4 1 4 当 2x 2k z k Z 时 h x 取得最小值 4 2 2 1 4 1 2 2 4 h x 取得最小值时 对应的 x 的集合为 3 8 点评 本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用 两角和公式 图象的平移等知识点 三角函数中公式多且复杂 平时应注意多积累 23 2010 山东 已知函数 f x sin2xsin cos2xcos sin 0 其图象过点 1 2 1 2 2 6 1 2 求 的值 将函数 y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求函数 1 2 g x 在 0 上的最大值和最小值 4 考点 y Asin x 中参数的物理意义 三角函数的最值 分析 1 由已知中函数 f x sin2xsin cos2xcos sin 0 其图象过点 我们将 1 2 1 2 2 6 1 2 代入函数的解析式 结合 的取值范围 我们易示出 的值 6 1 2 2 由 1 的结论 我们可以求出 y f x 结合函数图象的伸缩变换 我们可以得到函数 y g x 的解析式 进 而根据正弦型函数最值的求法 不难求出函数的最大值与最小值 解答 解 函数 f x sin2xsin cos2xcos sin 0 1 2 1 2 2 又因为其图象过点 6 1 2 1 2 1 2 2 6 2 6 1 2 2 0 解得 3 2 由 1 得 3 f x sin2xsin cos2xcos sin 1 2 1 2 2 1 2 2 6 1 2 4 6 x 0 4 4x 6 6 5 6 当 4x 时 g x 取最大值 6 2 1 2 当 4x 或时 g x 取最小值 6 6 5 6 1 4 点评 本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用 图象变换及三角函数的最值问题 分析问题与 解决问题的能力 已知函数图象求函数 y Asin x A 0 0 的解析式时 常用的解题方法是待定系数法 由图中的最大值或最小值确定 A 由周期确定 由适合解析式的点的坐标来确定 但由图象求得的 y Asin x A 0 0 的解析式一般不唯一 只有限定 的取值范围 才能得出唯一解 否则 的值不确定 解析式也就不唯一 24 2010 湖南 已知函数 f x sin2x 2sin2x 3 求函数 f x 的最大值 求函数 f x 的零点的集合 考点 三角函数的最值 集合的含义 函数的零点 专题 计算题 分析 先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简 再由正弦函数的最值可得到答案 令 f x 0 可得到 2sin xcos x 2sin2x 进而可得到 sin x 0 或 tan x 即可求出对应的 x 的取值集合 得 33 到答案 解答 解 f x sin2x 2sin2x sin2x cos2x 1 2sin 2x 1 33 6 故函数 f x 的最大值等于 2 1 1 由 f x 0 得 2sin xcos x 2sin2x 于是 sin x 0 或cos x sin x 即 tan x 333 由 sin x 0 可知 x k 由 tan x 可知 x k 3 3 故函数 f x 的零点的集合为 x x k 或 x k k Z 3 点评 本题主要考查二倍角公式 两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质 三角函数是高考的重点 每 年必考 要强化复习 25 2010 湖北 已知函数 f x cos x cos x g x sin2x 3 3 1 2 1 4 求函数 f x 的最小正周期 求函数 h x f x g x 的最大值 并求使 h x 取得最大值的 x 的集合 考点 三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 专题 计算题 分析 对于求函数 f x 的最小正周期 可以先将函数按照两角和 两角差的余弦公式展开后 再利用降幂公 式化成一个角一个函数的形式后 用公式 T 周期即可求出 2 对于函数 h x f x g x 把 f x 与 g x 解析式带入后 依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个 函数为 h x cos 2x 由于定义域为全体实数 R 故易知最值为 而此时角 2x 应为 x 轴正半轴的所有 2 2 4 2 2 4 角的取值 即 2x 2k k Z 由此确定角 x 的取值几何即可 4 解答 解 1 f x cos x cos x cosx sinx cosx cosx cos2x 3 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 3 4 2 1 2 8 3 3 2 8 cos2x f x 的最小正周期为 1 2 1 4 2 2 2 h x f x g x cos2x sin2x cos2x sin2x coscox2x sinsin2x cos 2x 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 当 2x 2k k Z 即 x k k Z 时 h x 取得最大值 且此时 x 取值集合为 x x k k Z 4 8 2 2 8 点评 本题主要考查三角函数的周期和最值问题 并兼顾检测了学生对两角和 差的正余弦公式和降幂公式等 属于 三角函数的综合性问题 而解决有关复合角三角函数问题的关键还是在于对三角函数性质的掌握 本题难度系数 0 6 26 2010 福建 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处 并以 30 海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方 向以 v 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 t 小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向与航行速度的大小 使得 小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 考点 函数模型的选择与应用 专题 应用题 数形结合 分析 1 如图设小艇的速度为 v 时间为 t 相遇 则由余弦定理得 OC2 AC2 OA2 2 AC OAcos OAC 即 vt2 400 900t2 1200tcos600 900t2 600t 400 再由二次函数法求解最值 900 1 3 2 300 2 根据题意 要用时最小 则首先速度最高 即为 30 海里 小时 然后是距离最短 则由 1 可得 OC2 AC2 OA2 2 AC OAcos OAC 即 30t 2 400 900t2 1200tcos600解得 t 再解得相应角 2 3 解答 解 1 如图设小艇的速度为 v 时间为 t 相遇 则由余弦定理得 OC2 AC2 OA2 2 AC OAcos OAC 即 vt2 400 900t2 1200tcos600 900t2 600t 400 900 1 3 2 300 当 t 时 取得最小值 此时 v 30 1 33 2 要用时最小 则首先速度最高 即为 30 海里 小时 则由 1 可得 OC2 AC2 OA2 2 AC OAcos OAC 即 30t 2 400 900t2 1200tcos600解得 t 此时 BOD 30 2 3 此时 在 OAB 中 OA OB AB 20 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 点评 本题主要考查函数模型的建立和应用 主要涉及了余弦定理 二次函数法求最值 还考查了数形结合的思想 27 2010 安徽 设 ABC 是锐角三角形 a b c 分别是内角 A B C 所对边长 并且 2 3 3 2 求角 A 的值 若 求 b c 其中 b c 12 2 7 考点 余弦定理的应用 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 分析 1 先根据两角和与差的正弦公式展开得到角 A 的正弦值 再由角 A 的范围确定角 A 的值 2 先根据向量数量积的运算和角 A 的值得到 cb 24 再由 a 2和余弦定理可求出 b c 的值 7 解答 解 1 因为 sin2A sin2B 3 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 4 2 2 3 4 所以 sinA 又 A 为锐角 所以 A 3 2 3 2 由可得 cbcosA 12 12 由 1 知 A 所以 cb 24 3 由余弦定理知 a2 b2 c2 2bccosA 将 a 2及 代入可得 c2 b2 52 7 2 得 c b 2 1