广东省惠州市2015届高三第一次调研考试数学（文）试卷

广东省惠州市广东省惠州市 20152015 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学试题数学试题 文科 文科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号 填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S为柱体的底面积 h为锥体的高 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分分 每小题给出的四个选项中 只有每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求 1 复数 1 i Z i 其中i为虚数单位 的虚部是 A 1 2 B 1 2 i C 1 2 D 1 2 i 2 已知集合 lg3Ax yx 2Bx x 则AB A 3 2 B 3 C 2 D 3 3 下列函数在定义域内为奇函数的是 A 1 yx x B sinyxx C 1yx D cosyx 4 命题 2 1 11xx 若则 的逆否命题是 A 2 1 1 1xxx 若则或 B 若11 x 则1 2 x C 若1x 或1x 则1 2 x D 若1x 或1x 则1 2 x 5 若向量 1 2 BA 4 5 CA 则BC A 5 7 B 3 3 C 3 3 D 5 7 6 若函数 32 22f xxxx 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 得数据如下 1 2f 1 5 0 625f 1 25 0 984f 1 375 0 260f 1 4375 0 162f 1 40625 0 054f 那么方程 32 220 xxx 的一个最接近的近似根为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 7 执行如图所示的程序框图 若输入n的值为7 则输出的s的值为 A 22 B 16 C 15 D 11 5 12 3 2 O y x 7 题 8 题 8 函数 2sin 0 2 f xxxR 的部分图象如图所示 则 的值 分别是 A 2 3 B 2 6 C 4 6 D 4 3 9 若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为3 则其渐近线的斜率为 A 2 B 2 C 1 2 D 2 2 10 已知函数 2 2 2 0 2 1 2 0 xx x f xfaf af xx x 若则实数a的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 1 1 D 2 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 计算 33 log 18log 2 12 变量x y满足线性约束条件 22 22 0 0 xy xy x y 则目标函数zxy 的最大值为 4 3 2 3 3 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 D C B A F E 13 若某几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积等于 二 选做题 第 二 选做题 第 1414 1515 题为选做题 考生只选做其中一题 两题全答的 只计前一题的题为选做题 考生只选做其中一题 两题全答的 只计前一题的 得分 得分 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为 33cos 1 3sin x y 为参数 以Ox为极轴建立极坐标系 直线极坐标方程为 cos0 6 则圆C截直线所得弦长为 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 AB是圆O的直径 BC是圆O的切线 切点为B OC平行于弦AD 若3OB 5OC 则CD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写分 解答须写出文出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 设函数 31 cossin1 22 f xxx 1 求函数 xf的值域和函数的单调递增区间 2 当 9 5 f 且 2 63 时 求 2 sin 2 3 的值 17 本题满分本题满分 1212 分分 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20525 女生 101525 合计 302050 1 用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽 人 其中男生抽多少人 2 在上述抽取的 人中选 人 求恰有一名女生的概率 18 本小题满分 14 分 如图所示的多面体中 ABCD是菱形 BDEF是矩形 ED 面ABCD 3 BAD 1 求证 BCFAED平面平面 2 若 BFBDaABDEF 求四棱锥的体积 O D C B A 19 本小题满分 14 分 已知等差数列 n a的首项 1 1 a 公差0 d 且 2514 a a a分别是等比数列 n b的 234 b b b 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 设数列 n c对任意正整数n均有 12 1 12 n n n ccc a bbb 成立 求 122014 ccc 的值 20 本题满分 本题满分 1414 分 分 已知椭圆 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 6 3 e 过 1 C的左焦点 1 F的直线 20l xy 被圆 222 2 3 3 0 Cxyrr 截得的弦长为2 2 1 求椭圆 1 C的方程 2 设 1 C的右焦点为 2 F 在圆 2 C上是否存在点P 满足 2 12 2 a PFPF b 若存在 指出有几个这样的点 不必求出点的坐标 若不存在 说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x 1 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线方程 2 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 广东省惠州市广东省惠州市 20152015 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学试题 文科 答案 题号 1234567 89 10 答案 CCADBCBABC 1 解析 化简得iz 2 1 2 1 则虚部为 2 1 故选C 2 C 解析 lg33Ax yxx x 2Bx x 所以 2 AB 故选 C 3 解析 根据奇函数的定义可知 A 正确 4 解析 由逆否命题的变换可知 命题 若1 2 x 则11 x 的逆否命题是 若1x 或1x 则1 2 x 故选 D 5 解析 3 3BCBAAC 6 解析 因为 1 40625 0 0540f 1 4375 0 1620f 由零点存在定 理知 最接近的近似根为1 4 7 解析 程序执行过程中 i s的值依次为1 1is 1 2si 1 1 3si 1 12 4si 1 123 5si 1 1234 6si 1 12345 7si 输出s的值为 16 8 解析 由图知 f x在 5 12 x 时取到最大值2 且最小正周期T满足 35 4123 T 故 2 A 32 3 2 4 5 2sin 2 2 12 5 sin 1 6 5 2 2 623 kkk Z 所以 2sin 2 3 xf x 或由 5 2 12 f 逐个检验知 2sin 2 3 xf x 9 解析 试题分析 双曲线的离心率 222 2 13 cabb e aaa 所以2 b a 其渐近线的方程为 b yx a 其斜率为2 故选 B 10 解析 由偶函数定义可得 f x是偶函数 故 faf a 原不等式等价于 1 f af 又根据偶函数定义 f af a 1 f 函数 f x在 0 单调递增 1a 1 1 a 或利用图象求a范围 选 C 11 2 12 4 3 13 24 14 4 2 15 4 11 解析 3333 18 log 18log 2loglog 92 2 12 解析 作出不等式组 22 22 0 0 xy xy x y 所表示的可行域如图所示 联立 22 22 xy xy 得 2 2 3 3 A 作直线 l zxy 则z为直线l在x轴上的截 距 当直线l经过可行域上的点A时 直线l在x轴上的截距最大 此时z取最 大值 即 max 224 333 z 13 解析 由三视图可知 原几何体是一个三棱柱被截去了一个 小三棱锥得到的 如图 11 1 3 4 5 3 4 324 23 2 V 14 解析 圆 33cos 1 3sin x C y 为参数 表示的曲线是以点 3 1为 圆心 以3为半径的圆 将直线cos0 6 的方程化为直角坐标方程为 30 xy 圆心 3 1到直线30 xy 的距离d 2 2 331 1 31 故圆C截直线所得弦长 22 2 314 2 15 解析 由于 OC AD BOCBAD 而ODOA 因此ODABAD 2x y 2 x 2y 2 l z x y A O y x2 1 1 2 3 2 4 3 第 13 题图 ODABOC OC AD CODODA CODBOC ODOB OCOC BOCDOC 故CDBC 由于BC切圆O于点 B 易知OBBC 由勾股定理可得 2222 53BCOCOB 4 因此 4CDBC 1616 解 依题意 31 cossin1 22 f xxx sin 1 3 x 2 分 1 函数 xf的值域是 0 2 4 分 令 kxk2 23 2 2 解得 5 22 66 kxk 7 分 所以函数 xf的单调增区间为 5 2 2 66 kkkZ 8 分 2 由 9 sin 1 35 f 得 4 sin 35 因为 2 63 所以 23 得 3 cos 35 10 分 2 sin 2 sin2 33 43 2sin cos 2 3355 24 25 12 分 17 17 解 解 1 1 在喜欢打蓝球的学生中抽 人 则抽取比例为 61 305 男生应该抽取 1 204 5 人 分 2 2 在上述抽取的 6 名学生中 女生的有 2 人 男生 4 人 女生 2 人记 A B 男生 4 人 为 c d e f 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为 A B A c A d A e A f B c B d B e B f c d c e c f d e d f e f共 15 种情况 8 分 其中恰有 1 名女生情况有 A c A d A e A f B c B d B e B f 共 8 种情况 10 分 故上述抽取的 人中选 人 恰有一名女生的概率 概率为 8 P 15 12 分 O D C B A F E 18 证明 1 由ABCD是菱形 BCAD BCADE ADADE 面面 BCADE 面 3 分 由BDEF是矩形 BFDE BFADE DEADE 面面 BFADE 面 BCBCF BFBCF BCBFB 面面 6 分 2 连接AC ACBDO 由ABCD是菱形 ACBD 由ED 面ABCD ACABCD 面 EDAC ED BDBDEF EDBDD 面 AOBDEF 面 10 分 则AO为四棱锥ABDEF 的高 由ABCD是菱形 3 BAD 则ABD 为等边三角形 由BFBDa 则 3 2 ADa AOa 2 BDEF Sa 23 133 326 A BDEF Vaaa 14 分 19 解 1 2514 1 14 1 13adadad 且 2514 aaa成等比数列 2 14 1 1 13 ddd 即2d 2 分 1 1 221 n ann 4 分 又 2235 3 9 baba 1 1 3 1 3 n n qbb 6 分 2 12 1 12 n n n ccc a bbb 1 2 1 c a b 即 112 3cba 又 112 121 2 n n n ccc an bbb 得 1 2 n nn n c aa b 9 分 1 22 3 2 n nn cbn 1 3 1 2 3 2 n n n c n 11 分 则 122014 1 122014 32 32 32 3ccc 122013 32 333 2013 2014 3 1 3 323 1 3 14 分 20 20 解 因为直线l的方程为 20l xy 令0y 得2x 即 1 2 0 F 1 分 2c 又 6 3 c e a 2 6a 222 2bac 椭圆 1 C的方程为 22 1 1 62 xy C 分 2 存在点 P 满足 2 12 2 a PFPF b 圆心 2 3 3 C到直线 20l xy 的距离为 332 2 2 d 又直线 20l xy 被圆 22 2 66310Cxyxym 截得的弦长为2 2 由垂径定理得 22 222 2 l rd 故圆 2 C的方程为 22 2 3 3 4Cxy 分 设圆 2 C上存在点 P x y 满足 2 12 2 a PFPF b 即 12 3PFPF 且 12 F F的坐标为 12 2 0 2 0 FF 则 2222 2 3 2 xyxy 整理得 22 59 24 xy 它表示圆心在 5 0 2 C 半径是 3 2 的圆 22 2 537 3 30 22 CC 分 故