南通四校2011高考数学一轮复习：第15章圆锥曲线与方程第2节巩固

1 已知 l 是双曲线 1 的一条渐近线 F 为双曲线的右焦 x2 9 y2 16 点 则 F 点到直线 l 的距离为 解析 易知双曲线的渐近线方程为 4x 3y 0 右焦点 F 的坐标为 5 0 由对称性取其中一条渐近线 4x 3y 0 因此由点到直线的距 离公式得 d 4 4 5 42 32 答案 4 2 双曲线 kx2 y2 1 的一条渐近线与直线 2x y 1 0 垂直 则 此双曲线的离心率是 解析 由题意知 k 0 因为双曲线的渐近线 y x 中有一条与 k 直线 2x y 1 0 垂直 所以 2 1 即 k 因此双曲线中 k 1 4 a 2 c 所以离心率 e 5 c a 5 2 答案 5 2 3 2010 年苏州调研 双曲线 1 的右焦点为 F 右准线与 x2 a2 y2 b2 一条渐近线交于点 A AOF 的面积为 则两条渐近线的夹角为 a2 2 解析 据题意令Error yA 故 S ab c AOF c a b 故双曲线渐近线的方程为 y x 因此 1 2 ab c a2 2 其夹角为直角 答案 90 4 2009 年高考江西卷改编 设 F1和 F2为双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 若 F1 F2 P 0 2b 是正三角形的 x2 a2 y2 b2 三个顶点 则双曲线的离心率为 解析 tan60 PO F1O 4b2 3c2 4 c2 a2 3c2 2b c3 c2 4a2 4 e 2 c2 a2 答案 2 5 2010 年南通市质检 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 x2 a2 y2 b2 右焦点分别为 F1 F2 P 是双曲线上一点 且 PF1 PF2 PF1 PF2 4ab 则双曲线的离心率是 解析 因为 PF1 PF2 所以有Error 即 4c2 4a2 8ab 所以 b 2a c2 5a2 即 e 5 答案 5 6 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的一个焦点是 F2 2 0 x2 a2 y2 b2 离心率 e 2 1 求双曲线 C 的方程 2 若以 k k 0 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N 线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 求实数 k 的取值范围 解 1 由已知得 c 2 e 2 a 1 b 3 所求的双曲线方程为 x2 1 y2 3 2 设直线 l 的方程为 y kx m k 0 点 M x1 y1 N x2 y2 的坐标满足方程组Error 将 式代入 式 整理得 3 k2 x2 2kmx m2 3 0 此方程有两个不等实根 于是 3 k2 0 且 2km 2 4 3 k2 m2 3 0 整理得 m2 3 k2 0 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 x0 y0 满足 x0 x1 x2 2 km 3 k2 y0 kx0 m 3m 3 k2 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 y x 3m 3 k2 1 k km 3 k2 此直线与 x 轴 y 轴的交点坐标分别为 0 0 4km 3 k2 4m 3 k2 由题设可得 4 1 2 4km 3 k2 4m 3 k2 整理得 m2 k 0 3 k2 2 2 k 将 式代入 式得 3