2012高考数学二轮复习 专题4立体几何专题质量检测（四）课下作业（浙江专版）

1 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2011 杭州模拟 空间四条直线a b c d满足a b b c c d d a 则必有 A a c B b d C b d或a c D b d且a c 解析 由空间直线的位置关系可得 答案 C 2 2011 温州八校联考 已知三个平面 若 且 与 相交但不 垂直 a b分别为 内的直线 则 A a a B a a C b b D b b 解析 C D 显然不对 与 相交但不垂直 排除 A 选 B 答案 B 3 2011 丽水模拟 半径为的球内接正四面体的体积为 3 A B 8 3 4 3 3 C 2 D 16 3 9 解析 设正四面体所在的正方体棱长为a 正方体外接球半径为R 则由a 2R 33 得a 2 正四面体的体积为a3 4 a3 a3 1 6 1 3 8 3 答案 A 4 2011 萧山模拟 一个体积为 12的正三棱柱的三视图如图所示 则这个三棱柱的 3 侧视图的面积为 2 A 6 B 8 3 C 8 D 12 3 解析 设正三棱柱的底面正三角形边长为a 高为h 则a 2 a 4 由a2h 12 3 23 3 4 则h 3 故三棱柱的侧视图的面积h 2 6 333 答案 A 5 2011 温州模拟 已知m n是两条直线 是两个平面 给出下列命题 若n n 则 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等 则 若n m为异面直线n n m m 则 其中正确命题的个 数是 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 解析 三点在平面 的异侧 则相交 答案 B 6 2011 杭州模拟 一个空间几何体的三视图如图所示 该几何体的体积为 12 则正视图中x的值为 8 5 3 A 5 B 4 3 C 3 D 2 解析 由图可知 该几何体上部为正四棱锥 四棱锥的高为 底面正方形 32 225 的边长为 2 下部为圆柱 圆柱的高为x 底面圆的直径为 4 V四棱锥 2 2 1 32 2 V圆柱 22 x 4 x V四棱锥 V圆柱 4 x 12 所以x 3 5 8 5 3 8 5 3 8 5 3 答案 C 7 四棱锥P ABCD的底面是矩形 AB 3 AD PA 2 PD 2 PAB 60 则异 2 面直线PC与AD所成的角的余弦值为 A B 1 2 2 11 11 C D 3 2 3 3 解析 如图 AD BC PCB为异面直线PC与AD所成的角 PD2 PA2 AD2 AD PA 再由底面ABCD是矩形 得 AD AB AD 平面PAB BC 平面PAB BC PB 即 PBC 90 PB2 PA2 AB2 2PA ABcos60 7 PC2 PB2 BC2 11 cos PCB 2 11 11 答案 B 8 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A B 1 3 2 3 C 1 D 2 解析 由所给三视图知 对应的几何体为一放倒的直三棱柱 ABC A B C 如右图所示 其高为 底面ABC满足 2 4 AB AC AB AC 1 故该几何体的体积为V S ABC AA 1 2 1 2 2 1 2 答案 C 9 2011 北京西城 如图 平面 平面 l A C是 内不同的两点 B D是 内不同的 两点 且A B C D 直线l M N分别是线段AB CD的中 点 下列判断正确的是 A 当 CD 2 AB 时 M N两点不可能重合 B M N两点可能重合 但此时直线AC与l不可能相交 C 当AB与CD相交 直线AC平行于l时 直线BD可以与l相交 D 当AB CD是异面直线时 直线MN可能与l平行 解析 当M N重合时 四边形ACBD为平行四边形 故AC BD l 此时直线AC与l不 可能相交 B 正确 易知 A C D 均不正确 答案 B 10 2011 重庆高考 高为的四棱锥S ABCD的底面是边长为 1 的正方形 点 2 S A B C D均在半径为 1 的同一球面上 则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A B 10 2 2 3 2 C D 3 22 解析 设题中的球的球心为O 球心O与顶点S在底面ABCD上的射影 分别是O1 E 则有OA OB OC OD OS 1 点O1是底面正方形ABCD的 中心 OO1 SE 且OO1 SE 在直角 OA2 O1A2 12 2 2 2 2 22 梯形OO1ES中 作OF SE于点F 则四边形OO1EF是矩形 EF OO1 SF SE EF 在 Rt SOF中 OF2 OS2 SF2 1 2 即 2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 O1E 2 2 在 Rt SO1E中 SO1 O1E2 SE2 2 2 2 2 2 10 2 答案 A 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 请把正确答案填在题中横线上 11 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的高为 3 底面是边长为 4 且 DAB 60 的菱形 AC BD O A1C1 B1D1 O1 则二面角 5 O1 BC D的大小为 解析 如图 过O作OF BC交BC于F 连接O1F OO1 平面AC BC O1F O1FO是二面角O1 BC D的平面角 OB 2 OBF 60 OF 在 Rt O1OF中 3 tan O1FO OO1 OF 3 33 O1FO 60 即二面角O1 BC D的大小为 60 答案 60 12 如图 在正三棱锥A BCD中 E F分别是AB BC的中点 EF DE 且BC 1 则 正三棱锥A BCD的体积是 解析 易得AC DE AC BD 从而AC 面ABD VA BCD S 1 3 ABD AC AB AD AC 1 6 2 24 答案 2 24 13 2011 兰溪模拟 已知 ABC的斜二测直观图是边长为 2 的等边 A B C 那么 原 ABC的面积为 解析 如图 作C D 平行于y 轴 交x 轴于D 在 A D C 中 由正弦定理得 a S ABC 2 2 2 a sin2 3 2 sin 46 1 266 答案 2 6 14 2011 福建宁德三县市联考 一简单组合体的三视图及尺寸如图所示 单位 cm 则该组合体的表面积为 cm2 6 解析 该组合体的表面积为 2S正视图 2S侧 视图 2S俯视图 12 800 cm2 答案 12 800 cm2 15 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若 AB AC AA1 2 BAC 120 则此球的表面积等于 解析 在 ABC中AB AC 2 BAC 120 可得BC 2 由正弦定理 可得 ABC 3 外接圆半径r 2 设此圆心为O 球心为O 在 Rt OO B中 易得球半径R 故此 5 球的表面积为 4 R2 20 答案 20 16 如下图为一个几何体的三视图 其中俯视图为正三角形 其中A1B1 2 AA1 4 则 该几何体的表面积为 解析 因为该几何体的俯视图是三角形 所以 几何体的底面一定是三角形 几何体的 侧视图的形状是长方形 所以 几何体的侧面是长方形 几何体的正视图是长方形 所以 几何体的正面是长方形 因此 这个几何体是直三棱柱 由已知A1B1 2 AA1 4 则几何体 的表面积S 2 2 2 2 4 3 24 2 1 2 3 23 答案 24 2 3 17 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 7 四棱柱 圆锥 圆柱 解析 三棱锥 四棱锥和圆锥的正视图都是三角形 当三棱柱的一个侧面平行于水平面 底面对着观察者时其正视图是三角形 其余的正视图均不是三角形 答案 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 18 本小题满分 14 分 2011 北京海淀模拟 斜三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面ACC1A1 平面ABC ACB 90 1 求证 BC AA1 2 若M N是棱BC上的两个三等分点 求证 A1N 平面 AB1M 证明 1 因为 ACB 90 所以AC CB 又侧面ACC1A1 平面ABC 且平面ACC1A1 平面ABC AC BC 平面ABC 所以BC 平面ACC1A1 而AA1 平面ACC1A1 所以BC AA1 2 连接A1B 交AB1于O点 连接MO 在 A1BN中 O M分别为A1B BN的中点 所以OM A1N 又OM 平面AB1M A1N 平面AB1M 所以A1N 平面AB1M 19 本小题满分 14 分 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB 侧面BB1C1C 已知BC 1 BCC1 BB1 2 3 1 求证 C1B 平面ABC 2 试在棱CC1 不包含端点C C1 上确定一点E的位置 使得EA EB1 解 1 证明 因为AB 侧面BB1C1C 故AB BC1 在 BC1C中 BC 1 CC1 BB1 2 BCC1 3 由余弦定理有 BC1 BC2 CC2 1 2 BC CC1 cos BCC1 1 4 2 2 cos 33 8 BC2 BC CC 2 12 1 C1B BC 而BC AB B且AB BC 平面ABC C1B 平面ABC 2 由EA EB1 AB EB1 AB AE A AB AE 平面ABE 从而B1E 平面ABE 且BE 平面ABE 故BE B1E 不妨设CE x 则C1E 2 x 则BE2 x2 x 1 又 B1C1C 2 3 则B1E2 x2 5x 7 在直角三角形BEB1中有x2 x 1 x2 5x 7 4 从而x 1 故当E为CC1的中点时 EA EB1 20 本小题满分 14 分 2011 杭州模拟 如图 平面PAD 平面 ABCD ABCD为正方形 PAD 90 且PA AD E F分别是线段 PA CD的中点 1 求证 PA 平面ABCD 2 求异面直线EF与BD所成角的余弦值 解 1 证明 由于平面PAD 平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD 而 PAD 90 即PA AD 且PA 平面PAD 由面面垂直的性质定理得 PA 平面ABCD 2 法一 取BC的中点M 连接EM FM 则FM BD EFM 或 其补角 就是异面直线EF与BD所成的角 设PA 2 则AD DC CB BA 2 AM AB2 1 2BC 25 BD 2 AB2 AD22 Rt MAE中 EM 同理EF EA2 AM266 9 又FM BD 1 22 MFE中 由余弦定理得 cos EFM EF2 FM2 ME2 2EF FM 3 6 理 法二 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设AB 2 则 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 1 F 1 2 0 1 2 1 CB 2 2 0 BD cos 3 6 21 本小题满分 15 分 2011 湖北高考 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 2 侧棱长为 3 点E在侧棱AA1上 点F在 2 侧 棱BB1上 且AE 2 BF 22 1 求证 CF C1E 2 求二面角E CF C1的大小 解 法一 1 证明 由已知可得 CC1 3 CE C1F 2 EF2 AB2 AE BF 2 222 2 2 23 EF C1E 22 2 26 于是有EF2 C1E2 C1F2 CE2 C1E2 CC 2 1 所以C1E EF C1E CE 又EF CE E 所以C1E 平面CEF 由CF 平面CEF 故CF C1E 2 在 CEF中 由 1 可得EF CF CE 2 63 于是有EF2 CF2 CE2 所以CF EF 又由 1 知CF C1E 且EF C1E E 所以CF 平面C1EF 又C1F 平面C1EF 故CF C1F 于是 EFC1即为二面角E CF C1的平面角 由 1 知 C1EF是等腰直角三角形 所以 EFC1 45 即所求二面角E CF C1的大小为 45 理 法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则由已知可得 10 A 0 0 0 B 1 0 C 0 2 0 3 C1 0 2 3 E 0 0 2 22 F 1 32 1 证明 0 2 1 C E 2 1 CF 32 0 2 2 0 1 C E CF 所以CF C1E 2 0 2 2 CF 2 设平面CEF的一个法向量为m x y z 由m m 得Error CE CF 即Error 解得Error 可取m 0 1 2 设侧面BC1的一个法向量为n 由n n 及 1 0 CB 1 CC CB 3 0 0 3 可取n 1 0 1 CC 23 设二面角E CF C1的大小为 于是由 为锐角可得 cos 所以 45 m n m n 6 3 2 2 2 即所求二面角E CF C1 大小为 45 22 本小题满分 15 分 2011 重庆高考 如图 在四面体 ABCD中 平面ABC 平面ACD AB BC AD CD CAD 30 1 若AD 2 AB 2BC 求四面体ABCD的体积 2 若二面角C AB D为 60 求异面直线AD与BC所成角的 余弦值 解 1 如图所示 设F为AC的中点 连接FD 由于AD CD 所以DF AC 又由平面ABC 平面ACD 知DF 平面ABC 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高 且DF ADsin30 1 AF ADcos30 3 在 Rt ABC中 因AC 2AF 2 AB 2BC 3 11 由勾股定理易知BC AB 2 15 5 4 15 5 故四面体ABCD的体积V S ABC DF 1 3 1 3 1 2 4 15 5 2 15 5 4 5 2 法一 如图所示 设G H分别为边CD BD的中点 则FG AD GH BC 从而 FGH 是异面直线AD与BC所成的角或其补角 设E为边AB的中点 则EF BC 由AB BC 知EF AB 又由平面ABC 平面ACD AD CD F为AC的中点 易得DF 平面ABC 故由三垂线定理知DE AB 所以 DEF为二面角C AB D的平面角 由题设知 DEF 60 设AD a 则DF AD sin CAD a 2 在 Rt DEF中 EF DF cot DEF a a 2 3 3 3 6 从而GH BC EF a 1 2 3