2012高考数学 考前冲刺第二部分方法九 分类讨论思想方法VIP

用心 爱心 专心1 方法九 分类讨论思想方法方法九 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时 有时会遇到多种情况 需要对各种情况加以分类 并逐类求 解 然后综合得解 这就是分类讨论法 分类讨论是一种逻辑方法 是一种重要的数学思 想 同时也是一种重要的解题策略 它体现了化整为零 积零为整的思想与归类整理的方 法 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 综合性 探索性 能训练人的思维 条理性和概括性 所以在高考试题中占有重要的位置 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的 如 a 的定义分 a 0 a 0 a2 时分 a 0 a 0 和 a 0 三种情况讨论 这称为含参型 另外 某些不确定的数量 不确定的图形的形状或位置 不确定的结论等 都主要通 过分类讨论 保证其完整性 使之具有确定性 进行分类讨论时 我们要遵循的原则是 分类的对象是确定的 标准是统一的 不遗 漏 不重复 科学地划分 分清主次 不越级讨论 其中最重要的一条是 不漏不重 解答分类讨论问题时 我们的基本方法和步骤是 首先要确定讨论对象以及所讨论对 象的全体的范围 其次确定分类标准 正确进行合理分类 即标准统一 不漏不重 分类 互斥 没有重复 再对所分类逐步进行讨论 分级进行 获取阶段性结果 最后进行归 纳小结 综合得出结论 例 1 设 0 x0 且 a 1 比较 log 1 x 与 log 1 x 的大小 aa 分析 比较对数大小 运用对数函数的单调性 而单调性与底数 a 有关 所以对底 数 a 分两类情况进行讨论 解 0 x 1 0 1 x1 用心 爱心 专心2 当 0 a0 log 1 x 0 aaaaa 2 当 a 1 时 log 1 x 0 所以 aa log 1 x log 1 x log 1 x log 1 x log 1 x aaaaa 2 0 由 可知 log 1 x log 1 x aa 注 本题要求对对数函数 y log x 的单调性的两种情况十分熟悉 即当 a 1 时其 a 是增函数 当 0 a 1 时其是减函数 去绝对值时要判别符号 用到了函数的单调性 最后 差值的符号判断 也用到函数的单调性 例 2 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素 A B 含有 4 个元素 试求同时满足下面 两个条件的集合 C 的个数 CA B 且 C 中含有 3 个元素 C A 分析 由已知并结合集合的概念 C 中的元素分两类 属于 A 元素 不属于 A 而属于 B 的元素 并由含 A 中元素的个数 1 2 3 而将取法分三种 例 3 设 a 是由正数组成的等比数列 S 是前 n 项和 证明 nn 0 使得 lglgSS nn 2 2 n 1 lg S c 成立 并证明结论 lg lg ScSc nn 2 2 n 1 分析 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形 再应用比较法而求解 其中 在应用等比数列前 n 项和的公式时 由于公式的要求 分 q 1 和 q 1 两种情况 解 设 a 的公比 q 则 a 0 q 0 n1 用心 爱心 专心3 S c n 1 2 分两种情况讨论如下 当 q 1 时 S na 则 n1 S c S c S c na c n 2 a c n 1 a c a nn 2n 1 2 111 2 1 0 2 当 q 1 时 S 则 S c S c S c c n aq q n 1 1 1 nn 2n 1 2 aq q n 1 1 1 c c a q a c 1 q aq q n 1 2 1 1 aq q n 1 1 1 1 2 1 n 1 a q 0 a c 1 q 0 即 c 1 n 1 a q 1 1 而 S c S 0 使得 lg S c 成立 lg lg ScSc nn 2 2 n 1 注 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论 该题文科考生改问题为 证明 logS 和理科第一问类似 只是所利用的是底数是 0 5 时 loglog 0 50 52 2 SS nn 0 5 n 1 对数函数为单调递减 用心 爱心 专心4 例 4 设函数 f x ax 2x 2 对于满足 1 x0 求实数 a 2 的取值范围 分析 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值 最小 值等值域问题 需要先对开口方向讨论 再对其抛物线对称轴的位 置与闭区间的关系进行分类讨论 最后综合得解 解 当 a 0 时 f x a x 2 1 a 2 1 a 或 1 1 1220 a fa 1 1 4 1 2 1 0 a f aa 或 1 4 416820 a fa a 1 或 a 1 2 1 2 当 a 1 2 注 本题分两级讨论 先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a 0 a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种 即在闭 区间左边 右边 中间 本题的解答 关键是分析符合条件的二次函数的图像 也可以看 成是 数形结合法 的运用 例 5 解不等式 0 a 为常数 a xa xa a 46 21 1 2 分析 含参数的不等式 参数 a 决定了 2a 1 的符号和两根 4a 6a 的大小 故对 参数 a 分四种情况 a 0 a 0 a 0 a0 时 x6a 当 a 0 时 x 0 当 a 0 时 x 4a 当 a 时 6a x0 y 2y a 解得 y 1 2 1 a 0 a 1 由上可得 z 1 或 1 1 a1 a 注 本题用标准解法 设 z x y 再代入原式得到一个方程组 再解方程组 过程 十分繁难 而挖掘隐含 对 z 分两类讨论则简化了数学问题 另解 设 z x y 代入得 x y 2 2xy a 22 xy 22 xyxya xy 2222 2 20 当 y 0 时 x 2 x a 解得 x 1 所以 z 1 2 1 a1 a 用心 爱心 专心6 当 x 0 时 y 2 y a 解得 y 1 所以 1 2 1 a1 a 由上可得 z 1 或 1 1 a1 a 注 此题属于复数问题的标准解法 即设代数形式求解 其中抓住 2xy 0 而分 x 0 和 y 0 两种情况进行讨论求解 实际上 每种情况中绝对值方程的求解 也渗透了 分类讨论思想 例 7 在 xoy 平面上给定曲线 y 2x 设点 A a 0 a R 曲线上的点到点 A 的距离 2 的最小值为 f a 求 f a 的函数表达式 分析 求两点间距离的最小值问题 先用公式建立目标函数 转化为二次函数在约 束条件 x 0 下的最小值问题 而引起对参数 a 的取值讨论 解 设 M x y 为曲线 y 2x 上任意一点 则 2 MA x a y x a 2x x 2 a 1 x a x a 1 2a 1 2222222 由于 y 2x 限定 x 0 所以分以下情况讨论 2 当 a 1 0 时 x a 1 取最小值 即 MA 2a 1 2 min 当 a 1 0 时 x 0 取最小值 即 MA a 2 min 2 综上所述 有 f a 21a a a a 时 时 1 1 注 本题解题的基本思路是先建立目标函数 求二次函数的最大值和最小值问题我 们十分熟悉 但含参数 a 以及还有隐含条件 x 0 的限制 所以要从中找出正确的分类标 准 从而得到 d f a 的函数表达式 专题突破专题突破 1 集合 A x x 4 x R B x