三角函数知识点和经典例题

例例 1 1 若 A B C 是ABC 的三个内角 且 2 CCBA 则下列结论中正确的个 数是 CAsinsin CAcotcot CAtantan CAcoscos A 1 B 2 C 3 D 4 错解错解 CA CAsinsin CAtantan 故选 B 错因错因 三角形中大角对大边定理不熟悉 对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解正解 法 1CA 在ABC 中 在大角对大边 ACacsinsin 法 2 考虑特殊情形 A 为锐角 C 为钝角 故排除 B C D 所以选 A 例例 2 2 已知 角的终边关于y轴对称 则 与 的关系为 错解错解 角的终边关于y轴对称 22 k2 zk 错因错因 把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称 正解正解 角的终边关于y轴对称 22 Zkk 即 2zkk 说明说明 1 若 角的终边关于x轴对称 则 与 的关系为 2Zkk 2 若 角的终边关于原点轴对称 则 与 的关系为 12 Zkk 3 若 角的终边在同一条直线上 则 与 的关系为 Zkk 例例 3 3 已知 5 4 2 cos 5 3 2 sin 试确定 的象限 错解错解 0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 2 是第二象限角 即 2 2 2zkkk 从而 244zkkk 故 是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角 错因错因 导出 2 是第二象限角是正确的 由0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 即可确定 而题中 5 4 2 cos 5 3 2 sin 不仅给出了符号 而且给出了具体的函数值 通过其 值可进一步确定 2 的大小 即可进一步缩小 2 所在区间 正解正解 0 5 4 2 cos 0 5 3 2 sin 2 是第二象限角 又由 4 3 sin 2 2 5 3 2 sin 知zkkk 2 24 3 2 zkkk 24 2 3 4 故 是第四象限角 例例 4 4 已知角 的终边经过 0 3 4 aaaP 求 cot tan cos sin的值 错解错解 ayxrayax5 3 4 22 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 错因错因 在求得r的过程中误认为a 0 正解正解 若0 a 则ar5 且角 在第二象限 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 若0 a 则ar5 且角 在第四象限 3 4 3 4 cot 4 3 4 3 tan 5 4 5 4 cos 5 3 5 3 sin a a a a a a a a 说明说明 1 给出角的终边上一点的坐标 求角的某个三解函数值常用定义求解 2 本题由于所给字母a的符号不确定 故要对a的正负进行讨论 例例 5 5 1 已知 为第三象限角 则 2 是第 象限角 2是第 象 限角 2 若4 则 是第 象限角 解解 1 是第三象限角 即Zkkk 2 3 22 Zkkk 4 3 22 Zkkk 34224 当k为偶数时 2 为第二象限角 当k为奇数时 2 为第四象限角 而 2的终边落在第一 二象限或y轴的非负半轴上 2 因为 4 2 3 所以 为第二象限角 点评点评 为第一 二象限角时 2 为第一 三象限角 为第三 四象限角时 2 为第二 四象限角 但是它们在以象限角平分线为界的不同区域 例例 6 6 一扇形的周长为 20cm 当扇形的圆心角 等于多少时 这个扇形的面积最 大 最大面积是多少 解解 设扇形的半径为rcm 则扇形的弧长cmrl 220 扇形的面积25 5 220 2 1 2 rrrS 所以当cmr5 时 即2 10 r l cml 时 2 max 25cmS 点评点评 涉及到最大 小 值问题时 通常先建立函数关系 再应用函数求最值的方 法确定最值的条件及相应的最值 例例 7 7 已知 是第三象限角 化简 sin1 sin1 sin1 sin1 解解 原式 2 2 2 2 sin1 sin1 sin1 sin1 cos sin2 cos sin1sin1 又 是第三象限角 0cos 所以 原式 tan2 cos sin2 点评 点评 三角函数化简一般要求是 1 尽可能不含分母 2 尽可能不含根式 3 尽可能 使三角函数名称最少 4 尽可能求出三角函数式的值 本题的关健是如何应用基 本关系式脱去根式 进行化简 例例 8 8 若角 满足条件0sincos 02sin 则 在第 象限 A 一 B 二 C 三 D 四 解解 0cos 0sin sincos 0cossin 0sincos 02sin 角在第二象限 故选 B 例 9 已知 coscos 且0tan 1 试判断 cos sin sin cos 的符号 2 试判断 coslg sin 的符号 解解 1 由题意 0cos1 0sin1 0 cos sin 0 sin cos 所以0 cos sin sin cos 2 由题意知 为第二象限角 1cossin 所以0 coslg sin 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 已知钝角 的终边经过点 4sin 2sinP 且5 0cos 则 的值为 A 2 1 arctanB 1arctan C 2 1 arctan D 4 3 2 角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称 则 为 A B C 2k 1 k Z D k k Z 3 若 sin tg 0 k Z 则角 的集合为 A 2k 2 2k 2 B 2k 2 2k 2 C 2k 2 2k 2 k2 D 以上都不对 4 当 0 x 时 则方程 cos cosx 0 的解集为 A 6 5 6 B 3 2 3 C 3 D 3 2 5 下列四个值 sin3 cos3 tg3 ctg3 的大小关系是 A cos3 tg3 ctg3 sine B sin3 cos3 tg3 ctg3 C cot3 tan3 cos3 sin3 D sin3 tan3 cos3 cot3 6 已知 x 0 2 则下面四式 中正确命题的序号是 sinx x tgx sin cosx cosx cos sinx sin3x cos3x 1 cos sinx sin cosx cosx 7 有以下四组角 1 k 2 k 3 2k 4 k k z 其中终边相 2 2 2 2 同的是 A 1 和 2 B 1 2 和 3 C 1 2 和 4 D 1 2 3 和 4 8 若角 的终边过点 sin30 cos30 则 sin 等于 A B C D 1 2 1 2 9 函数 y 1 3 cos 2 x 的定义域是 值域是 三角函数基本关系式与诱导公式三角函数基本关系式与诱导公式 一 知识导学一 知识导学 三 典型例题导讲三 典型例题导讲 例例 1 已知 cot0 5 1 cossin 则 错解错解 两边同时平方 由 与 5 1 cossin 25 12 cossin 得 5 7 cossin 25 49 cossin4 cos sin cossin4coscossin2sin cos sin 2 222 cot 5 3 cos 5 4 sin 进而可求 解得 4 3 cot 或 cot 5 4 cos 5 3 sin 进而可求 解得 3 4 cot 错因错因 没有注意到条件 0 时 由于0cossin 所以 cossin 的值为正而导致错误 正解 正解 0 5 1 cossin 两边同时平方 有联立 与 5 1 cossin0 25 12 cossin 求出 5 3 cos 5 4 sin 4 3 cot 例例 2 若 sinA asinB cosA bcosB A B 为锐角且 a 1 0 b 1 求 tanA 的值 错解错解 由 BbA BaA coscos sinsin 得 tan A b a tan B 错因错因 对题目最终要求理解错误 不清楚最后结论用什么代数式表示 正解正解 由 BbA BaA coscos sinsin 2 2得 a2sin2B b2cos2B 1 cos2B 22 2 1 ba a sin2B 22 2 1 ba b tan 2B 1 1 2 2 a b B 为锐角 tan B 1 1 2 2 a b 得 tan A b a tan B 1 1 2 2 a b b a 例例 3 若函数 2 cos 2 sin 2 sin 4 2cos1 xx a x x xf 的最大值为 2 试确定常数 a 的值 15 4 44 1 1 1 sin sin 44 1 sin 2 cos 2 1 2 cos 2 sin cos4 cos2 2 2 2 2 a a a x a x a x xx a x x xf 解之得 由已知有 满足其中角 解 点评点评 本试题将三角函数 2 诱导公式有机地溶于式子中 考查了学 生对基础知识的掌握程度 这就要求同学们在学习中要脚踏实地 狠抓基础 例例 4 已知tan 2 2 求 1 tan 4 的值 2 6sincos 3sin2cos 的值 解解 1 tan 2 2 2 2tan 2 24 2 tan 1 43 1tan 2 所以 tantan tan1 4 tan 41tan 1tantan 4 4 1 1 3 4 7 1 3 2 由 I tan 3 4 所以 6sincos 3sin2cos 6tan1 3tan2 4 6 1 7 3 4 6 3 2 3 点评点评 本题设计简洁明了 入手容易 但对两角和与差的三角函数 同角间的基本 关系式要求熟练应用 运算准确 例例 5 化简 4 14 cos 4 14 sin zn nn 错解错解 原式 4 cos 4 sin nn 4 cos 4 sin 4 cos 4 2 sin 0 4 cos 4 cos 错因错因 对三角函数诱导公式不完全理解 不加讨论而导致错误 正解正解 原式 4 cos 4 sin nn 1 当 12zkkn 时 原式 4 2sin k 4 2cos k 4 sin 4 cos 4 cos 4 cos 0 2 当 2zkkn 时 原式 4 2sin k 4 2cos k 4 sin 4 cos 0 例例 6 若 3 1 6 sin 则 2 3 2 cos A 9 7 B 3 1 C 3 1 D 9 7 错解错解 2 3 2 cos 2 3 cos 2 3 cos 1 2 6 sin 2 9 7 错因错因 诱导公式应用符号错 正解正解 2 3 2 cos 2 3 cos 2 3 cos 1 2 6 sin 2 9 7 故选 A 例例 7 已知 5 1 cossin 0 2 xxx 1 求 sinx cosx 的值 2 求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 的值 解法一解法一 1 由 25 1 coscossin2sin 5 1 cossin 22 xxxxxx平方得 即 25 49 cossin21 cos sin 25 24 cossin2 2 xxxxxx 又 0cossin 0cos 0sin 0 2 xxxxx 故 5 7 cossin xx 2 x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222 125 108 5 1 2 25 12 sincos2 cossin xxxx 解法二解法二 1 联立方程 1 cossin 5 1 cossin 22 x xx 由 得 cos 5 1 sinxx 将其代入 整理得 012cos5cos25 2 xx 5 4 cos 5 3 sin 0 2 5 4 cos 5 3 cos x x xxx 或 故 5 7 cossin xx 2 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 22 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 125 108 5 3 5 4 2 5 4 5 3 sincos2 cossin xxxx 点评点评 本小题主要考查三角函数的基本公式 三角恒等变换 三角函数在各象限符号 等基本知识 以及推理和运算能力 例例 8 8 1 化简 1csc cos 2 2 cos2 csc2 sin2 sec2 1 2 设 sin 且 sin2 0 2 1 4 求 sin tan 解解 原式 cos2 csc2 sin2 tan2 cos2 cot2 cos2 sin2 cos2 csc2 1 cot2 csc2 2 解 由 sin cos sin2 0 2k 2 2k 2 1 4 1 4 k k k z 为第一象限或第二象限的角 2 cos 0 为第三角限角 1 4 sin tan 1 cos2 sin cos 15 点点评评 本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系 在求值过程中特别注意 三角函数值的符