三角函数求值问题基本解题方法

1 三角函数求值问题基本解题方法三角函数求值问题基本解题方法 三角函数的求值问题 由于涉及的三角公式较多 问题的解法也比较灵活 但也会呈现出一定的规律 性 凑角法凑角法 一些求值问题通过观察角之间的关系 并充分利用角之间的关系 往往是凑出特殊角 可以实现顺利解 答 例 例 求的值 tan204sin20 解析解析 原式 sin202sin40sin202sin 6020 cos20cos20 sin202 sin60 cos20cos60 sin20 3 cos20 评注评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答 即消除函数名称差异 或者式子结构的差异 或者角度之间的差异 凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异 本题注意若将第一步中的 分子化为 或者化为 都没有上面的方法简捷 sin 6040 2sin40 sin 3010 2sin 3010 请同学们进行操作比较 分析原因 并注意凑角也需谨慎选择 降幂法降幂法 一些涉及高次三角式的求值问题 往往借助已知及 或降幂公式 22 sincos1 等借助降幂策略解答 22 1 cos21 cos2 sin cos 22 例 例 若 求的值 2 coscos1 26 sinsin 解析解析 由 得 舍去 由 2 coscos1 15 cos 2 15 cos 2 又可得 2 coscos1 22 cos1 cossin 则 又由 得 故 263 sinsincoscos 2 coscos1 2 cos1 cos 代值可得 322 coscoscos 1cos cos 2cos 2coscos3cos1 26 3 55 sinsin 2 评注评注 若求出的值后直接简单代入 则运算量将大得多 而主动降幂后就截然不同了 涉及非cos 单角形式的三角函数问题 有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答 遇到 高次 问 题就特别注意联想 降幂法 解答 2 配对法配对法 根据一些三角式的特征 适当进行配对 有时可以实现问题的顺利解答 例 例 已知 且 求的值 0 2 x 222 coscos 2cos 31xxx x 解析解析 设 令 则 222 coscos 2cos 3mxxx 222 sinsin 2sin 3nxxx 3mn 其中 cos2cos4cos6mnxxx 2 cos62cos 31xx 又cos2cos4cos 3 cos 3 2cos cos3xxxxxxxx 2cos3 coscos3 1mnxxx 故 故可coscos3cos 2 cos 2 2cos cos2xxxxxxxx 4cos cos2 cos31mnxxx 解得 则 或 或 又 1 cos cos2 cos3 22 0 1 4 xxxmm cos0 x cos20 x cos30 x 则或 0 2 x 6 x 4 x 评注评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数 有很多对称的结论 如 等 因此在解决一些三角求值 求证等问题时 可以构造对偶式 实施配对策略 尝 22 sincos1 试进行巧妙解答 换元法换元法 很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值 但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的 问题 此时 利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题 例 例 求的值 sin75cos453cos15 解析解析 令 则原式15 sin 60 cos 30 3cos sincos60cossin60 coscos30sinsin30 3cos0 评注评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值 而近几年的高考和期末考试试题 则青睐于 已知复合角的三角函数值求值 因此备考时要特别注意此点 解答此类问题的换元法或整体思想也都十 分重要 对本题 若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开 则要繁杂得多 方程法方程法 根据已知构造所求量的方程解答 例 例 若 试求的值 33 cossin1xx sin x 解析解析 令 则 由已知 有cossinxxt 2 1 cos sin 1 2 xxt 2 2 t 3 即 得 2 22 1 cossin cossincossin 1 1 2 t xxxxxxt 32 32 1 2 0tttt 或 舍去 即 又 整理可得 解1t 2t cossin1xx 22 sincos1xx 2 sinsin0 xx 得或 sin0 x sin1x 评注评注 将已知转化为关于的方程是解题的关键 方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基sin x 本大法 如求三角函数的解析式等问题 一般地 若题目中有个需要确定的未知数 则只要构造个nn 方程解答即可 讨论法讨论法 涉及含有参数或正负情形的三角问题 往往需要借助讨论法进行解答 例 例 已知中 求 ABC 54 sin cos 135 AB cosC 解析解析 由 得 当时 因为是的内角 需要满足 5 sin 13 A 12 cos 13 A 12 cos 13 A A BABC 有 而余弦函数在区间是减函数 得0AB 0AB 0 但 故此情形不合题意 coscos cosABB 124 coscos 135 AB 可以验证符合题意 故 12 cos 13 A 33 coscos sinsincoscos 65 CABABAB 评注评注 分类讨论是将问题化整为零 进而化难为易的重要思想方法 一般含有绝对值的三角函数问 题 涉及未确定象限的角的问题等 都要首先考虑 讨论 平方法平方法 分析已知和所求 有时借助 取平方 的方法可以实现顺利解题 例 例 已知 求的值 sinsinsin0 coscoscos0 cos 解析解析 有 两式两边平方后对应相加 可得sinsinsin coscoscos 2222 sinsin2sinsin coscos2coscos 即 22 sin cos 1 1 cos 2 评注评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能 而 取 就是其中的重要一种 除了 取平方 外 常见的还有 取对数 取倒数 等操作 需要注意体会 本题就是借助平方关系实现整体消元后解 答的 猜想法猜想法 根据已知数据的特征进行必要的猜想 能更好的解决求值问题 4 例 例 已知 且为第二象限角 则 13 sincos 2 sin 解析解析 由及 可得 sin0 cos0 2222 13 sincos1 1 22 1 sin 2 评注评注 实际上 将与联立所得二元二次方程组只有两组解 13 sincos 2 22 sincos1 即或 依题意只可取前者 学习数学 要培养对数据的 13 sin cos 22 13 cos sin 22 敏感性 能根据数据特征进行积极联想 进而适当猜想 能有效提高解题速度 而且猜想是一种重要的 推理形式 并不是 胡猜乱想 要紧扣已知和所求进行 图象法图象法 根据已知条件 借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题 例 例 已知函数的图象与直线在轴右侧的与轴距离最近的相邻 sin1 1 f xAxA yA xx 三个交点的横坐标成等比数列 求实数的值 A 解析解析 如右图 设三个交点的坐标为 B b A 由三角函数图象的对称性 则有 C c A D d A 有 2 2 bc 3 23 2 cd bc 又 解得 故函数图象经过 3dc 222 3 34cbdcccc 3 4 c 3 4 A 代入可得 22A 评注评注 数和形是数学的两大支柱 三角函数的很多问题都有图形背景 在解决问题时 要充分借助 图形进行直观分析 往往能更快捷的实现问题的解答 注意培养做草图的能力 等比性质法等比性质法 借助比例的性质 有时可以实现快速解答三角函数问题 例 例 求证 2 cossin cossin 1 sincos1 sin1 cos 解析解析 若 或 因为 故 或 cos0 sin0 sin1 cos1 或sin1 cos1 验证可知等式成立 若 则由 及比例性质cos0 2 cos 1 sin 1 sin 2 sin 1 cos 1 cos O x D C B yA y 2 x 5 可得 acac bdbd cos1 sin1 sincos 1 sinc